Chiziqli funksiya doimiy tezlikdagi o‘zgarishni modellashtiradi va algebra bilan geometriyani bog‘laydi. Narxning miqdorga bog‘lanishi, masofa-vaqt, sensor kalibrovkasi, trend, koordinata va grafiklar y=kx+b modeli orqali tushuntiriladi. Slope, intercept, parallel/perpendikulyar va kesishish tushunchalari keyingi funksiyalar, sistemalar, analitik geometriya va data tahlil uchun tayanchdir.
O‘zaro perpendikulyar Ox va Oy son o‘qlaridan tashkil topgan tekislik.
Nuqtani (x,y) orqali joylashtiradigan tekislik.
Misol: A(2,-3).
Bu emas: Faqat bitta son bilan tekislikdagi nuqta aniqlanmaydi.
💡 Ox gorizontal, Oy vertikal.
Nuqtaning tartiblangan juftlikdagi birinchi koordinatasi.
Nuqtaning gorizontal koordinatasi.
Misol: A(3,5) da x=3.
Bu emas: 5 abssissa emas.
💡 Ox bo‘yicha o‘lchanadi.
Nuqtaning tartiblangan juftlikdagi ikkinchi koordinatasi.
Nuqtaning vertikal koordinatasi.
Misol: A(3,5) da y=5.
Bu emas: 3 ordinata emas.
💡 Oy bo‘yicha o‘lchanadi.
Har bir ruxsat etilgan x qiymatiga aynan bitta y qiymatini mos qo‘yuvchi bog‘lanish.
x kiritiladi, bitta y chiqadi.
Misol: $f(x)=4x-1$.
Bu emas: Bir x ga ikki xil y berilsa funksiya emas.
💡 Bu mavzuda linear model markaziy.
$f(a)$ — funksiya formulasida x o‘rniga a qo‘yilganda hosil bo‘ladigan qiymat.
x=a dagi y.
Misol: $f(x)=4x-1$, $f(6)=23$.
Bu emas: $f(6)=4x-1$ yakuniy qiymat emas.
💡 Domain sharti bo‘lsa avval tekshiriladi.
$y=kx+b$ ko‘rinishidagi, grafigi to‘g‘ri chiziq bo‘lgan funksiya.
Doimiy slope li funksiya.
Misol: $y=3x-2$.
Bu emas: $y=x^2$ chiziqli emas.
💡 k,b real sonlar.
$k=\Delta y/\Delta x$ — x bir birlik o‘zgarganda y ning o‘zgarish tezligi.
Chiziqning qiyaligi.
Misol: $k=2$ bo‘lsa x 1 ga oshganda y 2 ga oshadi.
Bu emas: b slope emas.
💡 Vertical line uchun slope aniqlanmagan.
$x=0$ dagi nuqta $(0,b)$.
Chiziq Oy ni qayerda kesadi.
Misol: $y=2x+5$ → (0,5).
Bu emas: (5,0) x-intercept.
💡 y=kx+b dagi b.
$y=0$ bo‘lgandagi x qiymati va $(x,0)$ nuqta.
Chiziq Ox ni qayerda kesadi.
Misol: $y=3x-6$ → (2,0).
Bu emas: (0,-6) y-intercept.
💡 k≠0 bo‘lsa x=-b/k.
$y-y_1=k(x-x_1)$.
Slope va bitta nuqta ma’lum bo‘lsa line tenglamasi.
Misol: $k=2$, (1,3): y-3=2(x-1).
Bu emas: $y=2x+3$ har doim shu berilgan nuqtadan o‘tmaydi.
💡 Slope-interceptga yoyish mumkin.
$Ax+By+C=0$, A va B bir vaqtda 0 emas.
To‘g‘ri chiziqning umumiy algebraik shakli.
Misol: $3x+4y-12=0$.
Bu emas: $0x+0y+1=0$ chiziq emas.
💡 B≠0 bo‘lsa slope -A/B.
Tekislikda kesishmaydigan va bir xil yo‘nalishga ega turli chiziqlar.
Slope bir xil, intercept boshqa.
Misol: $y=3x-7$ va $y=3x-10$.
Bu emas: Bir xil tenglama parallel turli chiziq emas, ustma-ust.
💡 Nonvertical holatda k1=k2.
90° burchak ostida kesishadigan chiziqlar.
Slope lar negative reciprocal.
Misol: $k_1=2$, $k_2=-1/2$.
Bu emas: k1=k2 parallel holat.
💡 Nonvertical/nonhorizontal holatda k1k2=-1.
Bir xil geometrik chiziqni ifodalovchi ekvivalent tenglamalar.
Barcha nuqtalari umumiy.
Misol: $x+y=20$ va $2x+2y=40$.
Bu emas: Bir xil slope, turli intercept parallel.
💡 Umumiy formda barcha koeffitsientlar proporsional.
Ikki chiziqqa bir vaqtda tegishli nuqta.
Ikki line tenglamasini bir vaqtda qanoatlantiradi.
Misol: $y=x+3$ va $y=-2x+6$ → (1,4).
Bu emas: Faqat bitta line ustidagi nuqta yetarli emas.
💡 Tenglamalar sistemasi orqali topiladi.
Bitta to‘g‘ri chiziqda yotuvchi uch yoki undan ortiq nuqtalar.
Ular uchun pairwise slope mos.
Misol: (1,2),(2,5),(4,11) slope 3.
Bu emas: Slope lar turli bo‘lsa kollinear emas.
💡 Determinant usuli vertical holatni ham qamraydi.
$x/a+y/b=1$ — chiziq Ox da (a,0), Oy da (0,b) ni kesadi.
O‘qlardan ajratgan kesmalarni bevosita ko‘rsatadi.
Misol: $x/5+y/12=1$.
Bu emas: $a=0$ yoki b=0 bo‘lsa bu shakl ma’nosiz.
💡 Segment length va area uchun qulay.
$Ax+By+C=0$ chiziq va $(x_0,y_0)$ nuqta orasidagi eng qisqa perpendikulyar masofa.
Nuqtadan linega tushirilgan perpendikulyar uzunligi.
Misol: $3x+4y-12=0$ dan O gacha 12/5.
Bu emas: Oddiy |C| masofa emas, normal uzunligiga bo‘linadi.
💡 Formula denominatorida sqrt(A²+B²).
(x,y) da birinchi gorizontal, ikkinchi vertikal koordinata; ularni almashtirish boshqa nuqta beradi.
$(x,y)$
Gorizontal o‘qqa akslantirish x ni saqlab, vertikal masofani teskarilaydi.
$(x,y)→(x,-y)$
Vertikal o‘qqa akslantirish y ni saqlaydi.
$(x,y)→(-x,y)$
180° aylanishga teng.
$(x,y)→(-x,-y)$
f(a) da x o‘rniga a ning barcha nusxalari qo‘yiladi.
$f(a)$
Ratsional formula denominatorini nol qiladigan argument funksiya qiymatini bermaydi.
$denominator≠0$
Doimiy slope sabab har bir teng x o‘zgarishida y bir xil miqdorga o‘zgaradi.
$Δy=kΔx$
k>0 o‘suvchi, k<0 kamayuvchi, k=0 gorizontal chiziq.
$sign(k)$
x=0 qo‘yilganda y=b, shuning uchun grafik (0,b) dan o‘tadi.
$(0,b)$
Chiziq chapdan o‘ngga ko‘tarilsa k>0, tushsa k<0; Oy ni 0 dan yuqorida kessa b>0, pastda b<0.
$k sign + b sign$
Distinct x koordinatalarda vertical change / horizontal change olinadi.
$k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)$
Slope topilib, bir nuqta bilan point-slope equation quriladi.
$two points → one line$
Ox kesishishda y=0; Oy kesishishda x=0.
$Ox:y=0, Oy:x=0$
Interceptlar a va b bo‘lsa coordinate axes bilan right triangle katetlari |a|,|b|.
$S=|ab|/2$
Kesishish nuqtasi ikkala line equationni qanoatlantiradi, ya’ni 2×2 system solution.
$L₁∩L₂$
Bir xil slope bo‘lsa interceptlar turli → parallel; intercept ham bir xil → same line.
$k₁=k₂$
Direction vectors 90° bo‘lganda nonvertical slopes negative reciprocal bo‘ladi.
$k₁k₂=-1$
Ax+By+C=0 dan slope -A/B; proportional A,B line directionsni bir xil qiladi.
$k=-A/B$
A,B,C bir line ustida bo‘lsa AB va AC slope lar bir xil; determinant 0 vertical case’da ham ishlaydi.
$det=0$
Ax+By+C qiymatining absolut miqdori normal vector uzunligiga bo‘linganda perpendicular distance olinadi.
$d=|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)$
x saqlanadi, y ishora almashtiradi.
y saqlanadi, x ishora almashtiradi.
Ikkala koordinata ishora almashtiradi.
Xususiy holatlar: 180° rotation bilan bir xil.
x=a dagi output.
Shart: a function domainida
Xususiy holatlar: Ratsional funksiyada denominator≠0.
Doimiy o‘zgarish tezligiga ega line.
Xususiy holatlar: b=0 bo‘lsa y=kx direct proportion.
Rise/run nisbatini beradi.
Shart: x₂≠x₁
Xususiy holatlar: x₂=x₁ bo‘lsa vertical line va slope undefined.
Slope va bitta nuqtadan chiziq equation.
Ikki nuqtadan line equationni bir qadamda beradi.
Shart: x₂≠x₁
General equationdan k=-A/B, b=-C/B.
Shart: B≠0
Oy bilan kesishish.
Ox bilan kesishish.
Shart: k≠0
Xususiy holatlar: Nuqta (-b/k,0).
Ox/Oy kesishish nuqtalari.
Shart: A≠0,B≠0
O‘qlardan ajratilgan kesmalarni bevosita beradi.
Shart: a,b≠0
Xususiy holatlar: Kesishishlar (a,0),(0,b).
Coordinate axes bilan hosil bo‘lgan right triangle area.
Shart: a,b finite
Xususiy holatlar: Signs area’da absolut bilan yo‘qoladi.
(a,0) va (0,b) orasidagi masofa.
Xususiy holatlar: 3-4 intercept →5.
Kesishish x koordinatasini beradi.
Shart: k₁≠k₂ unique intersection uchun
Xususiy holatlar: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂).
Bir xil direction.
Shart: Turli chiziqlar uchun b₁≠b₂
Xususiy holatlar: b₁=b₂ bo‘lsa coincident.
Slope lar negative reciprocal.
Shart: Slope lar finite va nonzero holatda
Xususiy holatlar: Horizontal/vertical pair alohida natural extension.
Normal/direction ratios proportional.
Xususiy holatlar: Constants proportional bo‘lmasa parallel distinct.
Tenglamalar bir xil geometrik line.
Shart: Nisbatlar ma’noli yoki proportional-vector ma’nosida
Direction vectors perpendicular bo‘lishi uchun ekvivalent dot-product shart.
Uch nuqta yo‘nalish vektorlari proporsional bo‘lsa bir chiziqda yotadi.
Point-line perpendicular distance.
Shart: A²+B²>0
Point-line formulada (0,0) special case.
Shart: A²+B²>0
Origin orqali o‘tuvchi linear function.
Xususiy holatlar: k=y/x, x≠0.
Tekislikdagi ikki turli nuqta orqali aynan bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi.
Ikki distinct nuqta direction va locationni birga belgilaydi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
$y=kx+b$ da k>0 bo‘lsa funksiya o‘suvchi, k<0 bo‘lsa kamayuvchi, k=0 bo‘lsa doimiy.
x oshganda Δy=kΔx.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
Ikki nonvertical turli line parallel bo‘lishi uchun va faqat shunda ularning slope lari teng.
Bir xil rise/run line yo‘nalishini bir xil qiladi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
Ikki nonvertical/nonhorizontal line perpendikulyar bo‘lishi uchun va faqat shunda $k_1k_2=-1$.
90° rotation direction vector komponentlarini aylantiradi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
$Ax+By+C=0$ line va $(x_0,y_0)$ point orasidagi perpendicular distance $|Ax_0+By_0+C|/\sqrt{A^2+B^2}$.
(A,B) linega normal vector; equation residual normal yo‘nalishdagi signed displacementni o‘lchaydi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
💡 Maslahat: Ox ga simmetriyada x saqlanadi, y ishora almashtiradi.
✅ Javob: $(5,-2)$
Nega bu usul ishlaydi: Ox gorizontal o‘q bo‘lgani uchun vertikal koordinata teskarilanadi.
⚠️ x ishorasini ham almashtirib yubormang.
💡 Maslahat: Oy ga simmetriyada y saqlanadi.
✅ Javob: $(1,7)$
Nega bu usul ishlaydi: Vertikal o‘qqa akslantirish gorizontal koordinata ishorasini o‘zgartiradi.
⚠️ y=7 ni -7 qilib yubormang.
💡 Maslahat: Ikkala koordinata ishorasini almashtiring.
✅ Javob: $(-3,-2)$
Nega bu usul ishlaydi: Koordinata boshiga simmetriya 180° aylanish bilan teng.
⚠️ Faqat bitta koordinatani o‘zgartirmang.
💡 Maslahat: x o‘rniga 6 qo‘ying.
✅ Javob: $23$
Nega bu usul ishlaydi: Funksiya qiymati argumentni formulaga substitution qilish bilan topiladi.
⚠️ f(6) ni 4x-1 ko‘rinishda qoldirmang.
💡 Maslahat: Avval denominator nol emasligini tekshiring.
✅ Javob: $5$
Nega bu usul ishlaydi: Ratsional funksiya qiymati substitution va domain check bilan topiladi.
⚠️ Denominatorni 4 emas, x-1 formulasi bo‘yicha hisoblang.
💡 Maslahat: Denominator nol bo‘lmasligi kerak.
✅ Javob: $x=2$
Nega bu usul ishlaydi: Berilgan output qiymati funksiya tenglamasini x ga nisbatan yechishga aylantiradi.
⚠️ x=-2 ni denominator sabab ruxsat etilgan deb olmang.
💡 Maslahat: $x^2=4$ tenglamani yeching.
✅ Javob: $x=\pm2$
Nega bu usul ishlaydi: Bir output bir nechta inputga mos kelishi mumkin; bu funksiya ta’rifiga zid emas.
⚠️ Faqat musbat ildizni yozmang.
💡 Maslahat: Nuqta koordinatalarini formulaga qo‘ying.
✅ Javob: $k=\frac32$
Nega bu usul ishlaydi: Grafikdagi har nuqta function equationni qanoatlantiradi.
⚠️ k=2/3 deb teskari olmang.
💡 Maslahat: x=-4,y=14 ni qo‘ying.
✅ Javob: $k=-6$
Nega bu usul ishlaydi: Berilgan nuqta parametrli line equationga qo‘yiladi.
⚠️ -4k ishorasini yo‘qotmang.
💡 Maslahat: Nuqtani tenglamaga qo‘ying.
✅ Javob: $b=13$
Nega bu usul ishlaydi: b — y-intercept bo‘lsa ham uni har qanday berilgan nuqtadan algebraik topish mumkin.
⚠️ b=7 deb faqat y koordinatani yozmang.
💡 Maslahat: Avval slope ni toping.
✅ Javob: $y=3x-6$
Nega bu usul ishlaydi: Ikki distinct nuqta slope va locationni yagona aniqlaydi.
Muqobil usul: Point-slope formdan foydalanish mumkin.
⚠️ Slope denominatorida x₂-x₁ ni unutmang.
💡 Maslahat: k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁).
✅ Javob: $y=2x-3$
Nega bu usul ishlaydi: Slope va bitta nuqta line equationni beradi.
⚠️ Numerator va denominator tartibini aralashtirmang.
💡 Maslahat: Rise/run ni hisoblang.
✅ Javob: $k=\frac12$
Nega bu usul ishlaydi: Slope y o‘zgarishining x o‘zgarishiga nisbatidir.
⚠️ Δx ni 3-1 deb xato hisoblamang.
💡 Maslahat: Point-slope form ishlating.
✅ Javob: $y=2x+1$
Nega bu usul ishlaydi: Point-slope formula slope va berilgan nuqtani bir vaqtda saqlaydi.
⚠️ b ni slope bilan teng deb qabul qilmang.
💡 Maslahat: Ox uchun y=0, Oy uchun x=0.
✅ Javob: $(2,0)$ va $(0,-6)$
Nega bu usul ishlaydi: Har o‘qdagi nuqtada boshqa koordinata 0 bo‘ladi.
⚠️ Ox kesishishda x=0 qo‘ymang.
💡 Maslahat: Navbat bilan y=0 va x=0 qo‘ying.
✅ Javob: $(-3,0)$ va $(0,-2)$
Nega bu usul ishlaydi: General line interceptlari boshqa koordinatani nol qilish orqali topiladi.
⚠️ -C/A va -C/B ishoralarini tekshiring.
💡 Maslahat: Interceptlarni toping.
✅ Javob: $18$
Nega bu usul ishlaydi: Koordinata o‘qlari perpendicular, shuning uchun interceptlar right triangle katetlari.
Muqobil usul: S=|ab|/2 formulasi.
⚠️ Manfiy y-intercept sabab yuzani manfiy yozmang.
💡 Maslahat: Interceptlar (5,0) va (0,12).
✅ Javob: $13$
Nega bu usul ishlaydi: Intercept form endpointlarni bevosita beradi; distance formula 5-12-13 uchligini hosil qiladi.
⚠️ 5+12=17 deb uzunliklarni oddiy qo‘shmang.
💡 Maslahat: y ifodalarini tenglashtiring.
✅ Javob: $(5,17)$
Nega bu usul ishlaydi: Kesishish nuqtasi ikkala equationni bir vaqtda qanoatlantiradi.
⚠️ x topib y ni hisoblashni unutmaying.
💡 Maslahat: Slope va interceptlarni taqqoslang.
✅ Javob: Parallel
Nega bu usul ishlaydi: Bir xil slope bir xil yo‘nalish beradi, turli intercept esa ustma-ustlikni chiqaradi.
⚠️ Bir xil slope ni “bir xil chiziq” deb avtomatik qabul qilmang.
💡 Maslahat: Ikkinchi equationni 2 ga bo‘ling.
✅ Javob: Ustma-ust
Nega bu usul ishlaydi: Barcha koeffitsient va constantlar bir xil proporsiyada.
⚠️ Δ=0 bo‘ldi deb darhol parallel distinct demang.
💡 Maslahat: Slope lar productini tekshiring.
✅ Javob: Perpendikulyar
Nega bu usul ishlaydi: Nonvertical slopes negative reciprocal bo‘lsa directions 90°.
⚠️ Slope lar yig‘indisi 0 bo‘lishi shart emas.
💡 Maslahat: Berilgan slope -1, perpendicular slope 1.
✅ Javob: $y=x+1$
Nega bu usul ishlaydi: Perpendicular slope negative reciprocal bo‘ladi.
⚠️ Perpendicular linega ham k=-1 ni ishlatmang.
💡 Maslahat: Avval berilgan chiziq slope ini toping.
✅ Javob: $y=2x-1$
Nega bu usul ishlaydi: Parallel lines bir xil slope ga ega.
⚠️ Parallel line uchun original interceptni ham ko‘chirib yubormang.
💡 Maslahat: Oy da x=0.
✅ Javob: $n=2$
Nega bu usul ishlaydi: Oy dagi kesishish nuqtasida ikkala line bir xil y beradi va x=0.
Muqobil usul: Ikkala linega x=0 qo‘yib constantsni tenglashtirish mumkin.
⚠️ Oy uchun y=0 deb adashtirmang.
💡 Maslahat: x=2 da y lar teng.
✅ Javob: $a=2$
Nega bu usul ishlaydi: Kesishish nuqtasida ikkala funksiya bir x uchun bir xil y qiymatga ega.
⚠️ Abssissa 2 degani y=2 emas.
💡 Maslahat: Origin uchun point-line distance special case.
✅ Javob: $\frac{12}{5}$
Nega bu usul ishlaydi: (A,B) normal vector length denominatorni beradi.
⚠️ Faqat |C|=12 deb yozmang.
💡 Maslahat: Birinchi ikki nuqta slope ini toping.
✅ Javob: $a=11$
Nega bu usul ishlaydi: Kollinear nuqtalarda direction/slope bir xil.
Muqobil usul: Determinant=0 usuli ham ishlaydi.
⚠️ Slope denominatorlarini turlicha tartibda olmang.
💡 Maslahat: Avval line equationni toping.
✅ Javob: $5$
Nega bu usul ishlaydi: Ikki intercept chiziqli funksiyani to‘liq aniqlaydi.
⚠️ (-6,0) ni b=-6 deb adashtirmang.
💡 Maslahat: Avval line equation, so‘ng interceptlar.
✅ Javob: $18$
Nega bu usul ishlaydi: Ikki nuqtadan line topilib, intercept geometry area formulasiga ulanadi.
⚠️ Intercept belgilari yuzada absolut qiymat bilan olinadi.
❌ Ox simmetriyada x ishorasini almashtirish.
Ox ga akslantirish gorizontal koordinatani saqlaydi.
✅ Faqat y ishorasini almashtiring.
(5,2)→(5,-2).
❌ Oy simmetriyada y ishorasini almashtirish.
Oy ga akslantirish vertikal koordinatani saqlaydi.
✅ Faqat x ishorasini almashtiring.
(-1,7)→(1,7).
❌ f(a) da x ning faqat bitta nusxasini a bilan almashtirish.
Formula ichidagi barcha x lar bir xil argumentni ifodalaydi.
✅ Barcha x o‘rniga a qo‘ying.
x³+2x² da ikkala darajadagi x ham almashtiriladi.
❌ Ratsional funksiya qiymatida domainni tekshirmaslik.
Denominator 0 bo‘lsa funksiya aniqlanmagan.
✅ Avval denominator≠0 shartini tekshiring.
(2x+7)/(x-1) da x≠1.
❌ Slope ni Δx/Δy deb olish.
Slope vertical change / horizontal change.
✅ k=Δy/Δx.
(2,3),(3,5): k=2/1=2.
❌ Slope numerator va denominatorida nuqtalar tartibini aralashtirish.
Ikkala ayirmada bir xil nuqta tartibi bo‘lishi kerak.
✅ (y₂-y₁)/(x₂-x₁) yozing.
Agar numerator 2−5 bo‘lsa denominator ham x₁−x₂ tartibida bo‘lsin.
❌ b ni har doim berilgan nuqtaning y koordinatasi deb olish.
b faqat x=0 dagi y qiymati.
✅ Nuqtani equationga qo‘yib b ni toping.
(-1,7), y=6x+b → b=13.
❌ Ox intercept uchun x=0 qo‘yish.
Ox dagi har nuqtada y=0.
✅ Ox: y=0; Oy: x=0.
y=3x-6 → Ox (2,0).
❌ Manfiy intercept sabab area ni manfiy yozish.
Geometrik uzunlik va yuza manfiy bo‘lmaydi.
✅ Katet uzunliklarida absolut qiymat oling.
a=3,b=-12 → S=18.
❌ Bir xil slope bo‘lsa chiziqlar albatta ustma-ust deyish.
Turli y-interceptli bir xil slope chiziqlar parallel va distinct.
✅ Slope va interceptni ikkalasini tekshiring.
y=3x-7 va y=3x-10.
❌ Perpendikulyar slope lar yig‘indisi 0 bo‘lishi kerak deb o‘ylash.
Shart negative reciprocal, ya’ni product -1.
✅ k₂=-1/k₁.
2 va -1/2.
❌ Parallel chiziq tuzishda original b ni ham ko‘chirish.
Bir xil b bo‘lsa aynan bir line chiqishi mumkin; berilgan yangi nuqta boshqa intercept beradi.
✅ Faqat slope ni saqlab, nuqtadan b ni toping.
(3,5) orqali k=2 → b=-1.
❌ Perpendicular linega original slope ni ishlatish.
90° direction uchun negative reciprocal kerak.
✅ k_perp=-1/k.
k=-1 → k_perp=1.
❌ General formdagi line relationni faqat A koeffitsient orqali solishtirish.
Direction A va B juftligiga bog‘liq.
✅ A:B yoki slope -A/B ni solishtiring.
(4,2) va (6,3) proportional.
❌ Kollinearlikda faqat koordinatalarni ko‘z bilan taxmin qilish.
Slope yoki determinant aniq algebraik test beradi.
✅ AB va AC slope larini tenglashtiring.
(1,2),(2,5),(4,a) → a=11.
❌ Point-line distance formulada denominatorni unutish.
Ax+By+C residual scale ga bog‘liq; normal vector uzunligiga normallashtirish kerak.
✅ sqrt(A²+B²) ga bo‘ling.
3x+4y-12=0, O → 12/5.
❌ Intercept segment uzunligini |a|+|b| deb olish.
Interceptlar orasidagi segment right triangle hypotenuse.
✅ sqrt(a²+b²) ishlating.
5 va 12 → 13.
❌ Chizma masshtabiga qarab k yoki b ni taxmin qilish.
Grafik rasm masshtabda bo‘lmasligi mumkin; belgilangan nuqta/interceptlardan foydalanish kerak.
✅ Aniq koordinata yoki direction/intercept ishorasini o‘qing.
k sign uchun chapdan o‘ngga ko‘tarilish/tushishni tekshiring.
Chiziqli funksiya degani faqat y=kx.
Umumiy ko‘rinish y=kx+b; y=kx faqat b=0 special case.
Slope chiziqning y-interceptidir.
Slope k qiyalik/o‘zgarish tezligi, b esa y-intercept.
Bir x qiymatiga ikki xil x input x²=4 kabi chiqsa bu funksiya emas.
x²=4 da savol bir y qiymatiga qaysi x lar mosligini so‘raydi; funksiya har bir x ga aynan bitta y beradi.
Ikki nuqta orqali bir nechta chiziq o‘tishi mumkin.
Ikki distinct nuqta aynan bitta to‘g‘ri chiziqni aniqlaydi.
Bir xil slope li chiziqlar doim bir xil chiziq.
Intercept turli bo‘lsa ular parallel distinct.
Perpendikulyar chiziqlar slope lari faqat ishora jihatdan qarama-qarshi.
Magnitude ham reciprocal bo‘lishi kerak: k₂=-1/k₁.
x-intercept formuladagi b ga teng.
b y-intercept; x-intercept y=0 orqali topiladi.
Ax+By+C=0 shakl chiziqli funksiya emas.
B≠0 bo‘lsa u y=(-A/B)x-C/B ko‘rinishga keladi.
Grafikdan slope ni line balandligi bilan o‘lchash mumkin.
Slope rise/run nisbatidir va koordinata scale ga bog‘liq ravishda hisoblanadi.
Nuqtadan linegacha masofa nuqtaning istalgan line nuqtasigacha masofasi.
Masofa eng qisqa, ya’ni perpendikulyar segment uzunligidir.
Doimiy tezlikda masofa-vaqt grafigi chiziqli bo‘lib slope tezlikni bildiradi.
Doimiy tarif + birlik narx modeli y=kx+b ko‘rinishda: b boshlang‘ich to‘lov, k marginal narx.
Chiziqli trend ikki o‘zgaruvchi orasidagi taxminiy doimiy o‘zgarish tezligini ifodalaydi.
Sensor signalini fizik kattalikka aylantirish ko‘pincha slope/interceptli linear calibration orqali bajariladi.
Parallel, perpendikulyar va coordinate line equations chizmalar va konstruktsiyalarda ishlatiladi.
Koordinata tekisligi nuqtalar, yo‘nalish va masofalarni aniq ifodalaydi.
Reflection va affine linear transformations ekrandagi obyektlarni ko‘chirish/akslantirish uchun ishlatiladi.
Line intersection, collinearity va point-line distance algebra va geometriyani birlashtiradi.
Chiziqli funksiyada slope ning rise/run ma’nosi, y-interceptning x=0 dagi roli va parallel/perpendikulyar/kesishuvchi chiziqlar munosabatini bitta vizualda bog‘laydi.
Cheat sheet: 1) Ox simmetriya (x,y)→(x,-y); 2) Oy: (x,y)→(-x,y); 3) O: (x,y)→(-x,-y); 4) f(a) — x o‘rniga a; 5) y=kx+b: k=slope, b=y-intercept; 6) k=(y2-y1)/(x2-x1); 7) point-slope y-y1=k(x-x1); 8) x-intercept uchun y=0, y-intercept uchun x=0; 9) intercept triangle area=|ab|/2; 10) parallel: k1=k2; 11) perpendicular: k1k2=-1; 12) kesishish nuqtasi ikki line tenglamasi sistemasining yechimi; 13) collinear nuqtalarda slope bir xil; 14) point-line distance=|Ax0+By0+C|/sqrt(A²+B²).
Keyingi mavzularda kvadrat ildiz va yuqori darajali funksiyalar bilan ishlaganda funksiya qiymati, grafik, aniqlanish sohasi va koordinata geometriyasi ko‘nikmalari qayta ishlatiladi.
Oldin bilishingiz kerak: Chiziqli tenglamalar, Chiziqli tenglamalar sistemasi, Koordinatalar sistemasi
Bog'liq mavzular: Chiziqli tengsizlik va tengsizliklar sistemasi
Keyingi mavzular: Kvadrat funksiya, To'g'ri chiziq va aylana tenglamasi