MathTest.uz
Stereometriya

Kub

Nima uchun muhim?

Kub mavzusi stereometriyaning asosiy geometrik shakllaridan biri boʻlib, unda fazoviy fikrlash va uch oʻlchovli geometriyani tushunish uchun asos yaratiladi. Bu mavzu O'zbekiston maktab dasturida, shuningdek, xalqaro imtihonlar (Milliy sertifikat, SAT)da keng qoʻllaniladi. Kubning yuzasi, hajmi va diagonallari bilan bogʻliq masalalarni hal qilishda algebra va geometriya oʻrtasidagi bogʻliqlikni oʻrganish mumkin.

O'quv maqsadlari

  • Kubning asosiy elementlarini (qirra, yuz, uch) aniqlay olish.
  • Kubning hajmi va yuzini berilgan qirra uzunligi asosida hisoblay olish.
  • Kubning diagonallarini (yuz va fazoviy) formulalar yordamida hisoblay olish.
  • Kub bilan bogʻliq geometrik masalalarni yechishda fazoviy tasavvurni rivojlantirish.
  • Kubning boshqa geometrik shakllar bilan qiyosiy tahlilini oʻtkazish.
Kub (yoki toʻgʻri kub) fazoviy geometriyaning eng oddiy va muhim shakllaridan biri hisoblanadi. Uning barcha qirralari teng va burchaklari toʻgʻri burchaklardan iborat. Qadimgi yunonlar tomonidan oʻrganilgan kub, hozirgi vaqtda ham muhandislik, arxitektura va kompyuter grafikasida keng qoʻllaniladi. Formal ta’rifga koʻra, kub — bu barcha yuzlari kvadratlardan iborat boʻlgan uch oʻlchovli shakl boʻlib, uning barcha qirralari teng uzunlikka ega va burchaklari 90 gradusga teng.

Ta'riflar

Kub

Kub — bu barcha yuzlari teng kvadratlardan iborat boʻlgan uch oʻlchovli shakl boʻlib, uning barcha qirralari teng uzunlikka ega va burchaklari 90 gradusga teng.

Kub — bu kubik shakl, masalan, oʻyin kubogi yoki quti kabi. Uning barcha tomonlari teng va burchaklari toʻgʻri burchaklardan iborat.

Misol: Qirra uzunligi 5 sm boʻlgan kubning hajmi $5^3 = 125$ sm³ ga teng.

Bu emas: Toʻgʻri burchakli prizma, chunki uning barcha yuzlari kvadrat emas (masalan, bir yuzasi toʻrtburchak boʻlishi mumkin).

💡 Kub — bu toʻgʻri prizmaning maxsus holati, bunda barcha qirralari teng.

Fazoviy diagonal

Kubning ikki uchi orasidagi eng uzun masofa boʻlib, uning uzunligi $a\sqrt{3}$ ga teng, bunda $a$ — qirra uzunligi.

Fazoviy diagonal — bu kubning bir uchidan boshqa uchiga toʻgʻri chiziqda oʻtuvchi masofa. U kubning ichidan oʻtadi.

Misol: Qirra uzunligi 2 sm boʻlgan kubning fazoviy diagonali $2\sqrt{3}$ sm ga teng.

Bu emas: Yuz diagonalining uzunligi $a\sqrt{2}$ ga teng, chunki u kubning yuzasi boʻylab oʻtadi, ichidan emas.

💡 Fazoviy diagonalni hisoblash uchun Pifagor teoremasining uch oʻlchovli versiyasidan foydalaniladi.

Yuz diagonal

Kubning bir yuzidagi ikki uchi orasidagi masofa boʻlib, uning uzunligi $a\sqrt{2}$ ga teng, bunda $a$ — qirra uzunligi.

Yuz diagonal — bu kubning bir yuzidagi kvadratning diagonali. U kubning yuzasi boʻylab oʻtadi.

Misol: Qirra uzunligi 3 sm boʻlgan kubning yuz diagonali $3\sqrt{2}$ sm ga teng.

Bu emas: Fazoviy diagonal, chunki u kubning ichidan oʻtadi, yuzidan emas.

💡 Yuz diagonalini hisoblash uchun oddiy Pifagor teoremasidan foydalaniladi.

Fundamental tushunchalar

Kubning elementlari

Kubning asosiy elementlari qirralar, yuzlar va uchlar hisoblanadi. Kubda 12 ta qirra, 6 ta yuz va 8 ta uch mavjud. Barcha qirralar teng uzunlikka ega, barcha yuzlar teng kvadratlardan iborat, barcha burchaklar 90 gradusga teng.

$Qirra uzunligi: $a$, yuzlar soni: $6$, qirralar soni: $12$, uchlar soni: $8$$

{"Barcha qirralar teng uzunlikda: $a$.","Barcha yuzlar teng kvadratlardan iborat.","Barcha ichki burchaklar 90 gradusga teng.","Simmetriya markazi mavjud."}

Kubning hajmi va yuzasi

Kubning hajmi uning ichidagi boʻshliqni egallagan hududni bildiradi, yuzasi esa uning tashqi tomonini qoplagan maydonni bildiradi. Hajm va yuzani hisoblash uchun qirra uzunligi maʼlum boʻlishi kerak.

$Hajm: $V = a^3$, yuzasi: $S = 6a^2$$

{"Hajm kubning oʻlchamiga toʻgʻridan-toʻgʻri bogʻliq.","Yuzasi qirra uzunligining kvadratiga toʻgʻridan-toʻgʻri proporsional.","Agar qirra uzunligi ikki baravar oshsa, hajm 8 baravar, yuzasi esa 4 baravar oshadi."}

Kubning diagonallari

Kubning ikki turdagi diagonallari mavjud: yuz diagonali va fazoviy diagonal. Yuz diagonali kubning bir yuzidagi ikki uchi orasidagi masofa, fazoviy diagonal esa kubning bir uchidan boshqa uchiga oʻtuvchi eng uzun masofa hisoblanadi.

$Yuz diagonali: $d_{yuz} = a\sqrt{2}$, fazoviy diagonal: $d_{fazoviy} = a\sqrt{3}$$

{"Yuz diagonali kubning yuzasida joylashgan.","Fazoviy diagonal kubning ichidan oʻtadi.","Ikkala diagonal ham Pifagor teoremasi yordamida hisoblanadi."}

Kub va boshqa koʻp yuzlilar bilan solishtirish

Kub boshqa koʻp yuzlilar, masalan, tetraedr, oktaedr yoki prizmalar bilan solishtirilishi mumkin. Kubning barcha yuzlari kvadratlardan iborat boʻlsa, boshqa koʻp yuzlilarning yuzalari turli shakllardan iborat boʻlishi mumkin. Kubning simmetriya darajasi boshqa koʻp yuzlilarga nisbatan yuqori.

$Kub uchun Euler formulasi: $V - E + F = 2$, bunda $V$ — uchlar soni, $E$ — qirralar soni, $F$ — yuzlar soni.$

{"Kubning simmetriya markazi mavjud.","Kubning barcha qirralari teng uzunlikda.","Kub boshqa koʻp yuzlilar bilan birlashtirilib, murakkabroq shakllar hosil qilishi mumkin."}

Formula kutubxonasi

Kubning yuzi

$$S = 6a^2$$
  • $a$ — kubning qirrasi uzunligi

Kubning barcha olti yuzasining yig'indisi.

Shart: a > 0

Xususiy holatlar: Agar kubning yon tomonlari turli uzunliklarga ega bo'lsa (prizma), bu formula qo'llanilmaydi.

Kubning hajmi

$$V = a^3$$
  • $a$ — kubning qirrasi uzunligi

Kubning ichki hajmini ifodalaydi.

Shart: a > 0

Xususiy holatlar: Agar kubning tomonlari teng bo'lmasa, bu formula qo'llanilmaydi.

Kubning diagonali

$$d = a\sqrt{3}$$
  • $a$ — kubning qirrasi uzunligi
  • $d$ — kubning fazoviy diagonali uzunligi

Kubning bir uchidan qarama-qarshi uchigacha bo'lgan to'g'ri chiziq uzunligi.

Shart: a > 0

Xususiy holatlar: Agar kubning tomonlari teng bo'lmasa, bu formula qo'llanilmaydi.

Teoremalar va isbotlar

📐 Kubning simmetriya markaziga ega ekanligi

Kubning barcha diagonallari bir nuqtada kesishadi va bu nuqta kubning simmetriya markazidir.

Kubning markazidan uning barcha tomonlariga, yuzlariga va uchlariga teng masofada joylashgan nuqta mavjud.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Berilgan: ABCDA₁B₁C₁D₁ kubining diagonallari AC₁, BD₁, CA₁ va DB₁.

Isbotlash kerak: Kubning barcha diagonallari bir nuqtada kesishadi va bu nuqta kubning simmetriya markazidir.

  1. Kubni koordinata sistemasida joylashtiramiz: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A₁(0,0,a), B₁(a,0,a), C₁(a,a,a), D₁(0,a,a).
  2. Diagonal AC₁ ning tenglamasini yozamiz: (x,y,z) = (ta, ta, ta), t ∈ [0,1].
  3. Diagonal BD₁ ning tenglamasini yozamiz: (x,y,z) = (a - sa, sa, sa), s ∈ [0,1].
  4. AC₁ va BD₁ ni tenglashtiramiz: ta = a - sa, ta = sa, ta = sa → t = s = 0.5.
  5. Demak, AC₁ va BD₁ nuqta (a/2, a/2, a/2) da kesishadi.
  6. Xuddi shunday usul bilan boshqa diagonallar ham (a/2, a/2, a/2) nuqtada kesishishini isbotlash mumkin.
  7. Bu nuqta kubning barcha tomonlaridan, yuzlaridan va uchlaridan teng masofada joylashganligi sababli, kubning simmetriya markazidir.

Kubning barcha diagonallari bir nuqtada (kubning markazida) kesishadi va bu nuqta uning simmetriya markazidir.

📐 Kubning yuzalararo burchaklari

Kubning ikki yuzasi orasidagi burchak 90° ga teng.

Kubning yuzalari bir-biriga perpendikulyar joylashgan.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Berilgan: ABCDA₁B₁C₁D₁ kubining ikki yuzasi, masalan ABCD va ADD₁A₁.

Isbotlash kerak: ABCD va ADD₁A₁ yuzalari orasidagi burchak 90° ga teng.

  1. ABCD yuzasining normal vektorini aniqlaymiz: n₁ = (0,0,1).
  2. ADD₁A₁ yuzasining normal vektorini aniqlaymiz: n₂ = (1,0,0).
  3. Yuzalararo burchakni normal vektorlar orasidagi burchak sifatida hisoblaymiz: cosθ = (n₁·n₂)/(|n₁||n₂|) = 0.
  4. cosθ = 0 bo'lganligi sababli, θ = 90°.
  5. Xuddi shunday usul bilan boshqa yuzalar uchun ham burchak 90° ekanligini isbotlash mumkin.

Kubning har ikki yuzasi orasidagi burchak 90° ga teng.

Yechilgan misollar

oson Kubning yon qirrasi $a = 5$ sm ga teng. Kubning hajmini toping.

💡 Maslahat: Kubning hajmi formulasini eslang: $V = a^3$.

  1. Kubning yon qirrasi berilgan: $a = 5$ sm.
  2. Kubning hajmi formulasini qo'llaymiz: $V = a^3$.
  3. Qiymatlarni almashtiramiz: $V = 5^3 = 125$ sm³.

✅ Javob: 125 sm³

Nega bu usul ishlaydi: Kubning hajmi uning yon qirrasi kubiga tengligi sababli bu usul ishlaydi.

Muqobil usul: Hajmni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash mumkin, chunki kubning barcha tomonlari teng.

⚠️ Ko'pincha $a^2$ yoki boshqa darajalar bilan adashib ketishadi.

oson Kubning hajmi $V = 64$ sm³. Uning yon qirrasini toping.

💡 Maslahat: Kubning hajmi formulasidan foydalaning: $V = a^3$.

  1. Kubning hajmi berilgan: $V = 64$ sm³.
  2. Kubning hajmi formulasidan foydalanib: $a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{64}$.
  3. Hisoblaymiz: $a = 4$ sm.

✅ Javob: 4 sm

Nega bu usul ishlaydi: Kubning hajmi uning yon qirrasi kubiga tengligi sababli bu usul ishlaydi.

Muqobil usul: Hisoblagich yordamida $\sqrt[3]{64}$ ni topish mumkin.

⚠️ Kub ildizni hisoblamay, $a = V$ deb adashish mumkin.

oson Kubning to'liq sirti $S = 96$ sm². Uning yon qirrasini toping.

💡 Maslahat: Kubning to'liq sirti formulasini eslang: $S = 6a^2$.

  1. Kubning to'liq sirti berilgan: $S = 96$ sm².
  2. Kubning to'liq sirti formulasidan foydalanib: $6a^2 = 96$.
  3. Ildizdan chiqarish uchun: $a^2 = 16$, shundan $a = 4$ sm.

✅ Javob: 4 sm

Nega bu usul ishlaydi: Kubning to'liq sirti uning yon qirrasi kvadratining olti barobari ekanligi sababli bu usul ishlaydi.

Muqobil usul: Hisoblagich yordamida $a = \sqrt{16}$ ni topish mumkin.

⚠️ Ko'pincha $a = S$ deb adashish yoki $6a^2$ ni hisoblamaslik mumkin.

oson Kubning diagonali $d = 5\sqrt{3}$ sm. Uning yon qirrasini toping.

💡 Maslahat: Kubning diagonali formulasini eslang: $d = a\sqrt{3}$.

  1. Kubning diagonali berilgan: $d = 5\sqrt{3}$ sm.
  2. Kubning diagonali formulasidan foydalanib: $a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.
  3. Ikkala tomonni $\sqrt{3}$ ga bo'lib: $a = 5$ sm.

✅ Javob: 5 sm

Nega bu usul ishlaydi: Kubning diagonali uning yon qirrasi va $\sqrt{3}$ ko'paytmasiga tengligi sababli bu usul ishlaydi.

Muqobil usul: Diagonalni kvadratga ko'tarib, $a^2 = \frac{d^2}{3}$ dan foydalanish mumkin.

⚠️ Diagonalni kvadratga ko'tarib, noto'g'ri formuladan foydalanish mumkin.

ortacha Kubning yon qirrasi $a = 6$ sm. Uning yuzasiga chizilgan aylana radiusini toping.

💡 Maslahat: Kubning yuzasiga chizilgan aylana radiusini topish uchun kubning yon qirrasi bilan bog'liq formula kerak.

  1. Kubning yon qirrasi berilgan: $a = 6$ sm.
  2. Kubning yuzasiga chizilgan aylana radiusini topish uchun formula: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
  3. Qiymatlarni almashtiramiz: $r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ sm.

✅ Javob: 3√2 sm

Nega bu usul ishlaydi: Kubning yuzasiga chizilgan aylana radiusini topish uchun uning yon qirrasi bilan bog'liq formula ishlatiladi.

Muqobil usul: Kubning yuzasiga chizilgan aylana radiusini topish uchun kubning diagonali yordamida ham hisoblash mumkin.

⚠️ Ko'pincha formulani noto'g'ri eslab, $r = a$ deb adashish mumkin.

ortacha Kubning hajmi $V = 216$ sm³. Uning diagonali uzunligini toping.

💡 Maslahat: Avval kubning yon qirrasini toping, so'ngra diagonalni hisoblang.

  1. Kubning hajmi berilgan: $V = 216$ sm³.
  2. Kubning yon qirrasini toping: $a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{216} = 6$ sm.
  3. Kubning diagonali formulasidan foydalanib: $d = a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ sm.

✅ Javob: 6√3 sm

Nega bu usul ishlaydi: Kubning diagonali uning yon qirrasi va $\sqrt{3}$ ko'paytmasiga tengligi sababli bu usul ishlaydi.

Muqobil usul: Diagonalni kvadratga ko'tarib, $d^2 = 3a^2$ dan foydalanish mumkin.

⚠️ Diagonalni hisoblamay, faqat yon qirrani topib qolish mumkin.

ortacha Kubning yon qirrasi $a = 4$ sm. Uning yuzasiga chizilgan sfera yuzasining maydonini toping.

💡 Maslahat: Kubning yuzasiga chizilgan sfera radiusini toping, so'ngra uning yuzasini hisoblang.

  1. Kubning yon qirrasi berilgan: $a = 4$ sm.
  2. Kubning yuzasiga chizilgan sfera radiusini toping: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ sm.
  3. Sfera yuzasining formulasidan foydalanib: $S = 4\pi r^2 = 4\pi (2\sqrt{2})^2 = 4\pi \cdot 8 = 32\pi$ sm².

✅ Javob: 32π sm²

Nega bu usul ishlaydi: Kubning yuzasiga chizilgan sfera radiusini topish uchun uning yon qirrasi bilan bog'liq formula ishlatiladi, so'ngra sfera yuzasini hisoblaymiz.

Muqobil usul: Sfera yuzasini hisoblash uchun $S = 2\pi r d$ dan foydalanish mumkin, lekin bu yerda $d$ sfera diametridir.

⚠️ Sfera radiusini noto'g'ri hisoblab, yuzani noto'g'ri hisoblash mumkin.

ortacha Kubning yon qirrasi $a = 3$ sm. Uning ichiga joylashtirilgan konusning hajmini toping, agar konusning balandligi kubning yon qirrasi bilan bir xil bo'lsa.

💡 Maslahat: Konusning hajmi formulasini eslang: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Konusning radiusini toping.

  1. Kubning yon qirrasi berilgan: $a = 3$ sm.
  2. Konusning balandligi kubning yon qirrasi bilan bir xil: $h = a = 3$ sm.
  3. Konusning radiusini toping: $r = \frac{a}{2} = \frac{3}{2}$ sm.
  4. Konusning hajmini hisoblang: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot 3 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{9}{4} \cdot 3 = \frac{9\pi}{4}$ sm³.

✅ Javob: 9π/4 sm³

Nega bu usul ishlaydi: Konusning hajmini hisoblash uchun uning radiusini va balandligini bilish yetarli, bu yerda ular kubning yon qirrasi bilan bog'liq.

Muqobil usul: Konusning hajmini integral yordamida ham hisoblash mumkin, lekin bu yerda oddiy formula yetarli.

⚠️ Konusning radiusini noto'g'ri hisoblab, hajmni noto'g'ri hisoblash mumkin.

murakkab Kubning yon qirrasi $a = 8$ sm. Uning ichiga joylashtirilgan to'rtta bir xil sharlarning umumiy hajmini toping, agar ular kubning burchaklarida joylashgan bo'lsa.

💡 Maslahat: To'rtta sharning umumiy hajmini hisoblash uchun har bir sharning radiusini toping va ularning hajmini hisoblang.

  1. Kubning yon qirrasi berilgan: $a = 8$ sm.
  2. Kubning burchagida joylashgan sharning radiusini toping. Sharning markazidan kubning yuzasigacha bo'lgan masofa $r + r\sqrt{2} = a$ bo'lishi kerak.
  3. Shunday qilib, $r(1 + \sqrt{2}) = 8$, shundan $r = \frac{8}{1 + \sqrt{2}} = 8(\sqrt{2} - 1)$ sm.
  4. Bitta sharning hajmini hisoblang: $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (8(\sqrt{2} - 1))^3$.
  5. To'rtta sharning umumiy hajmini hisoblang: $V = 4V_1 = \frac{16}{3}\pi (8(\sqrt{2} - 1))^3$ sm³.

✅ Javob: (16/3)π(8(√2−1))³ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Kubning burchagida joylashgan sharning radiusini topish uchun geometrik munosabatlar va algebraik hisoblar ishlatiladi.

Muqobil usul: Sharning radiusini topish uchun koordinatalar sistemasidan foydalanish mumkin.

⚠️ Sharning radiusini noto'g'ri hisoblab, umumiy hajmni noto'g'ri hisoblash mumkin.

murakkab Kubning yon qirrasi $a = 10$ sm. Uning ichiga joylashtirilgan ikkita bir xil silindrning umumiy hajmini toping, agar ular kubning qarama-qarshi yuzalariga parallel joylashgan bo'lsa va silindrlarning diametri kubning yon qirrasi bilan bir xil bo'lsa.

💡 Maslahat: Silindrlarning hajmini hisoblash uchun ularning radiusini va balandligini toping.

  1. Kubning yon qirrasi berilgan: $a = 10$ sm.
  2. Silindrlarning diametri kubning yon qirrasi bilan bir xil: $d = a = 10$ sm, shundan $r = \frac{d}{2} = 5$ sm.
  3. Silindrlarning balandligini toping: $h = a = 10$ sm.
  4. Bitta silindrning hajmini hisoblang: $V_1 = \pi r^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 10 = 250\pi$ sm³.
  5. Ikki silindrning umumiy hajmini hisoblang: $V = 2V_1 = 500\pi$ sm³.

✅ Javob: 500π sm³

Nega bu usul ishlaydi: Silindrlarning hajmini hisoblash uchun ularning radiusini va balandligini bilish yetarli, bu yerda ular kubning yon qirrasi bilan bog'liq.

Muqobil usul: Silindrlarning hajmini integral yordamida ham hisoblash mumkin, lekin bu yerda oddiy formula yetarli.

⚠️ Silindrlarning radiusini noto'g'ri hisoblab, umumiy hajmni noto'g'ri hisoblash mumkin.

Umumiy xatolar

❌ Kubning diagonali uzunligini hisoblashda a tomonini kvadratga ko'tarib olish: d = a^2

Bu noto'g'ri formula, chunki kubning diagonali uchun to'g'ri formula d = a√3 bo'lib, u fazoviy diagonalni hisoblaydi.

✅ Kubning diagonali uchun fazoviy diagonal formulasidan foydalanish: d = a√3, yoki yuz diagonalini hisoblash uchun d_yuz = a√2.

Agar a = 2 bo'lsa, noto'g'ri hisob: d = 4, to'g'ri hisob: d = 2√3 ≈ 3.464

❌ Kubning hajmini topishda yuzani a^2 deb hisoblab, undan hajmni hisoblash: V = a^2 * a = a^3 (to'g'ri), lekin ba'zan o'quvchilar V = a^2 deb xato qiladi.

Bu xato o'quvchilarning hajm va yuzani chalkashtirib yuborishidan kelib chiqadi. Hajm kub birliklarda, yuz esa kvadrat birliklarda o'lchanadi.

✅ Kubning hajmini V = a^3 formulasi bilan hisoblash, bu erda a - kubning tomon uzunligi.

Agar a = 3 bo'lsa, noto'g'ri hisob: V = 9, to'g'ri hisob: V = 27

❌ Kubning yuzini hisoblashda barcha 6 ta yuzni hisoblamasdan, faqat 3 ta yuzni hisoblab, natijani 2 ga ko'paytirish: S = 3a^2 * 2 = 6a^2 (to'g'ri), lekin ba'zan o'quvchilar S = 3a^2 deb xato qiladi.

Bu xato o'quvchilarning kubning barcha yuzlarini hisoblamasdan, faqat bir qismini hisoblayotganidan kelib chiqadi.

✅ Kubning yuzini S = 6a^2 formulasi bilan hisoblash, chunki kubning 6 ta teng yuzi mavjud.

Agar a = 1 bo'lsa, noto'g'ri hisob: S = 3, to'g'ri hisob: S = 6

Noto'g'ri tasavvurlar

Kubning diagonali uning yuzidagi diagonal bilan bir xil ekanligini tushunish.

Kubning yuzidagi diagonal (d_yuz = a√2) va fazoviy diagonal (d_fazoviy = a√3) turli uzunliklarga ega. Fazoviy diagonal kubning ikki uchi orasidagi eng uzun masofani ifodalaydi.

Kubning hajmi uning yuzidan katta ekanligini tushunmaslik.

Kubning hajmi uning yuzidan alohida tushuncha. Hajm kub birliklarda (masalan, sm³), yuz esa kvadrat birliklarda (masalan, sm²) o'lchanadi. Hajmni hisoblash uchun tomonni kubga ko'tarish kerak.

Kubning barcha yuzlari bir xil ekanligini, ammo ularning yo'nalishi yoki o'lchami haqida noto'g'ri tasavvurga ega bo'lish.

Kubning barcha yuzlari teng va kvadrat shaklga ega, ammo ular fazoda turli yo'nalishlarda joylashgan. Har bir yuz boshqa yuzlarga nisbatan perpendikulyar.

Amaliy qo'llanilishi

Arxitektura va qurilish

Kub shaklidagi binolar yoki xonalarning hajmini va yuzini hisoblashda ishlatiladi. Masalan, kub shaklidagi suv idishining sig'imini yoki devor yuzasini hisoblash.

Kompyuter grafikasi va 3D modellashtirish

Kublar 3D grafikada asosiy primitiv shakllardan biri hisoblanadi. Ular ob'ektlarni modellashtirishda, kolliziya aniqlashda va sahnalarni qurishda ishlatiladi.

O'yinlar ishlab chiqish

Kublar o'yinlardagi 3D ob'ektlarni modellashtirishda keng qo'llaniladi. Masalan, Minecraft kabi o'yinlarda bloklar kub shaklida bo'lib, ulardan murakkab tuzilmalar yaratiladi.

Kub -- interaktiv 3D shakl

Sichqoncha/barmoq bilan aylantirib ko'ring.

Xulosa

Kubning asosiy xususiyatlari: 1) barcha qirralari teng uzunlikdagi 12 ta qirraga ega; 2) barcha yuzlari teng kvadratlardan iborat; 3) 8 ta uchidan iborat; 4) diagonallari teng uzunlikda va bir-birini kesib oʻtadi; 5) hajmi $a^3$ ga, yuzasi esa $6a^2$ ga teng, bunda $a$ — qirra uzunligi.

Kub mavzusidan soʻng, sferalar, piramidalar yoki boshqa koʻp yuzlilar kabi boshqa uch oʻlchovli shakllarni oʻrganish mantiqan toʻgʻri keladi.

Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang