Algebra

Kvadrat tenglama va uning ildizlari

murakkab 180 daqiqa kvadrat tenglamaquadratic equationdiskriminantquadratic formulafactorizationdouble rootparameterreal rootsrational equationdomain restrictionscompleting the squaredegenerate case

Nima uchun muhim?

Kvadrat tenglama algebra, geometriya, fizika, optimallashtirish va ko‘plab amaliy modellar uchun markaziy modeldir. Bu mavzu faqat formulani yodlash emas: tenglamani standart shaklga keltirish, eng qulay usulni tanlash, ildizlar sonini diskriminant orqali oldindan bilish, rational tenglamada taqiqlangan qiymatlarni saqlash va parametr yetakchi koeffitsientni nolga aylantirganda tenglama turining o‘zgarishini ko‘rish muhim.

O'quv maqsadlari

Kvadrat tenglamani ax²+bx+c=0 standart shaklda tanish va a≠0 shartini tushuntirish
To‘liq va noto‘liq kvadrat tenglamalarni farqlash
x²=k tipida 0, 1 yoki 2 haqiqiy yechim holatlarini ajratish
ax²+bx=0 tenglamani x umumiy ko‘paytuvchi orqali yechish
ax²+c=0 tenglamani square-root usuli bilan yechish
Perfect-square trinomial ko‘rinishidagi tenglamani tez yechish
Factorlash va zero-product property orqali kvadrat tenglamani yechish
Kvadrat formulani to‘g‘ri qo‘llash
D=b²−4ac diskriminantni hisoblash va ma’nosini izohlash
D>0, D=0, D<0 holatlarida real ildizlar sonini aniqlash
Takroriy/double rootni aniqlash
Kasrli koeffitsientli kvadrat tenglamani maxrajlardan xalos qilib yechish
Rational tenglamada LCD orqali kvadrat tenglamaga keltirish va exclusionsni saqlash
Parametrli kvadrat tenglamada D shartlarini tuzish
Parametr yetakchi koeffitsientni nol qilganda linear/degenerate holatni alohida tekshirish
Ildizlar orasidagi masofani diskriminant orqali topish
Kvadrat tenglamaga olib keluvchi matnli masalani model qilish
Ko‘paytma ko‘rinishidagi bir nechta kvadrat factorlar tenglamasini yechish
Yuqori darajali ifodada perfect-square yoki substitution strukturani topish
Savol bankidagi noto‘g‘ri javob/notationni algebraik va domain QA orqali ajratish

Kvadrat tenglama — eng yuqori darajasi 2 bo‘lgan tenglama: ax²+bx+c=0, bunda a≠0. a=0 bo‘lsa tenglama kvadrat emas — linear yoki hatto ayniyat/qarama-qarshilikka aylanadi. Shu bitta shart parametrli masalalarda hal qiluvchi ahamiyatga ega. Kvadrat tenglamani yechishning yagona yo‘li yo‘q. Agar factorization ko‘rinib tursa, factorlash eng tez; perfect square bo‘lsa kvadrat ildiz olish qulay; umumiy holatda quadratic formula ishlaydi. D=b²−4ac diskriminant esa formuladagi radical osti bo‘lib, tenglama nechta real ildizga ega ekanini yechmasdan aytadi. Bankning yuqori qatlamida rational tenglamalar ham shu mavzuga biriktirilgan. Ularni yechishda birinchi qadam — denominatorlarni nol qiluvchi qiymatlarni taqiqlash; keyin LCD bilan maxrajlardan xalos bo‘lib kvadrat tenglamaga kelish. Parametrli masalada esa har doim avval a(x² coefficient) nol bo‘ladimi, keyin diskriminant holati tekshiriladi.

Ta'riflar

Kvadrat tenglama · Quadratic equation · Квадратное уравнение

ax²+bx+c=0 ko‘rinishidagi, a≠0 bo‘lgan bir noma’lumli tenglama.

Eng katta x darajasi 2 bo‘lgan tenglama.

Misol: 2x²−3x−5=0.

Bu emas: 0·x²+3x−1=0 kvadrat emas; u linear.

💡 a≠0 — ta’rifning ajralmas qismi.

Standart shakl · Standard form · Стандартный вид

Kvadrat tenglamaning barcha hadlari bir tomonda, ikkinchi tomoni 0 bo‘lgan ax²+bx+c=0 yozuvi.

Tenglamani koeffitsientlari ko‘rinadigan tartibga keltirish.

Misol: 3x²=5x+2 → 3x²−5x−2=0.

Bu emas: 3x²=5x+2 hali standard form emas.

💡 Diskriminant va formula uchun avval standard form.

Yetakchi koeffitsient · Leading coefficient · Старший коэффициент

x² oldidagi a koeffitsient.

Kvadrat hadning koeffitsienti.

Misol: −4x²+7x−1=0 da a=−4.

Bu emas: b=7 yetakchi koeffitsient emas.

💡 a=0 bo‘lsa tenglama turi o‘zgaradi.

Chiziqli koeffitsient · Linear coefficient · Линейный коэффициент

x oldidagi b koeffitsient.

Birinchi darajali had koeffitsienti.

Misol: 2x²−5x+1=0 da b=−5.

Bu emas: c=1 linear coefficient emas.

💡 Ishorani koeffitsient bilan birga oling.

Ozod had · Constant term · Свободный член

x qatnashmagan c had.

Doimiy son had.

Misol: x²+6x−7=0 da c=−7.

Bu emas: 6 — b koeffitsienti, c emas.

💡 Had yo‘q bo‘lsa koeffitsient 0.

Tenglama ildizi · Root/Solution · Корень уравнения

Tenglamaga qo‘yilganda tenglikni rost qiladigan x qiymati.

Tenglamani qanoatlantiradigan son.

Misol: x²−5x+6=0 uchun x=2 va x=3.

Bu emas: x=4 bu tenglamaning ildizi emas.

💡 Har topilgan kandidat original tenglamada ruxsat etilgan bo‘lishi kerak.

To‘liq kvadrat tenglama · Complete quadratic equation · Полное квадратное уравнение

ax²+bx+c=0 da a,b,c ning barchasi noldan farqli.

Uch turdagi had ham mavjud.

Misol: 2x²+3x−5=0.

Bu emas: x²−9=0 noto‘liq.

💡 Yechish usuli factorlash yoki quadratic formula bo‘lishi mumkin.

Noto‘liq kvadrat tenglama · Incomplete quadratic equation · Неполное квадратное уравнение

b=0 yoki c=0 (yoki ikkalasi) bo‘lgan kvadrat tenglama.

x had yoki constant had yetishmaydi.

Misol: 3x²−12=0; x²−6x=0.

Bu emas: x²+5x+6=0 to‘liq.

💡 Ko‘pincha umumiy factor yoki square-root usuli tezroq.

Keltirilgan kvadrat tenglama · Monic quadratic · Приведённое квадратное уравнение

a=1 bo‘lgan x²+px+q=0 kvadrat tenglama.

x² coefficienti 1.

Misol: x²−7x+12=0.

Bu emas: 2x²−7x+3=0 monic emas.

💡 a≠0 bo‘lsa barcha hadni a ga bo‘lib monic qilish mumkin.

Diskriminant · Discriminant · Дискриминант

D=b²−4ac miqdor.

Quadratic formula ichidagi radical osti; real ildizlar sonini belgilaydi.

Misol: x²−5x+6=0 da D=25−24=1.

Bu emas: b²+4ac diskriminant emas.

💡 D ning ishorasi real root countni beradi.

Kvadrat formula · Quadratic formula · Формула корней

ax²+bx+c=0, a≠0 uchun x=(-b±√(b²−4ac))/(2a).

Har qanday haqiqiy koeffitsientli kvadrat tenglama uchun universal yechim formula.

Misol: 2x²−3x−2=0 → x=(3±5)/4.

Bu emas: Denominatorni 2 bilan cheklash, 2a ni unutish noto‘g‘ri.

💡 D<0 bo‘lsa real roots yo‘q.

Takroriy ildiz · Double root · Кратный корень

D=0 bo‘lganda x=−b/(2a) bir qiymat ikki martalik algebraik ildiz.

Ikki formula branchi bitta songa birlashadi.

Misol: (x−3)²=0 da x=3.

Bu emas: x=3 va x=3 ni ikki xil real son deb sanash noto‘g‘ri.

💡 Grafik x-o‘qiga tegadi.

Nol ko‘paytma xossasi · Zero-product property · Свойство нулевого произведения

AB=0 bo‘lsa A=0 yoki B=0.

Factorlangan tenglamani alohida tenglamalarga ajratish qoidasi.

Misol: (x−2)(x+5)=0 → x=2 yoki −5.

Bu emas: A+B=0 dan A=0 yoki B=0 kelmaydi.

💡 Factorlash bilan yechishning mantiqiy asosi.

Kvadratni to‘ldirish · Completing the square · Выделение полного квадрата

x²+px ifodaga (p/2)² qo‘shib perfect square hosil qilish usuli.

Quadratic expressionni (x+h)²=k shakliga olib kelish.

Misol: x²+6x+5=0 → (x+3)²=4.

Bu emas: x²+6x=(x+6)² noto‘g‘ri.

💡 Quadratic formula ham shu usuldan kelib chiqadi.

Ekvivalent tenglama · Equivalent equation · Равносильное уравнение

Bir xil yechimlar to‘plamiga ega tenglamalar.

Ruxsat etilgan algebraik transformatsiya yechimlarni saqlaydi.

Misol: 2x²−8=0 ↔ x²−4=0.

Bu emas: Nol bo‘lishi mumkin bo‘lgan ifodaga shartsiz bo‘lish ekvivalentlikni buzishi mumkin.

💡 Rational tenglamalarda domain bilan birga qaraladi.

Taqiqlangan qiymat · Excluded value · Недопустимое значение

Original rational tenglama denominatorini nol qiladigan x qiymati.

Tenglamaga qo‘yish mumkin bo‘lmagan son.

Misol: 1/(x−2)=3 da x=2 taqiqlangan.

Bu emas: LCD bilan ko‘paytirgandan keyin x=2 ni qayta ruxsat etish noto‘g‘ri.

💡 Exclusions yechishdan oldin yoziladi.

Parametr · Parameter · Параметр

Tenglamaning koeffitsientlarini boshqaradigan, masalada ma’lum son sifatida qaraladigan belgi.

Turli qiymatlarda turli tenglama hosil qiladigan harf.

Misol: x²−ax+4=0 da a parametr.

Bu emas: x noma’lum bo‘lsa x parametr emas.

💡 Parametr root count va tenglama turini o‘zgartirishi mumkin.

Degenerativ holat · Degenerate case · Вырожденный случай

Parametr sabab x² oldidagi koeffitsient 0 bo‘lib, kvadrat tenglama linear, ayniyat yoki qarama-qarshilikka aylangan holat.

Kvadrat tenglama “kvadrat bo‘lishdan chiqadi”.

Misol: ax²+4x+4=0 da a=0 → 4x+4=0.

Bu emas: a=0 da ham D bilan kvadrat formula ishlatish noto‘g‘ri.

💡 Parametrli root-count masalalarda birinchi tekshiruv.

Ildizlar orasidagi masofa · Distance between roots · Расстояние между корнями

Ikki real ildiz uchun |x₁−x₂|.

Son o‘qida ildizlar orasidagi masofa.

Misol: x²−8x+12=0 roots 2 va 6, masofa 4.

Bu emas: x₁−x₂ ni ishorasiz masofa deb olish noto‘g‘ri.

💡 D>0 bo‘lsa √D/|a| formula bilan topiladi.

Haqiqiy ildizlar soni · Number of real roots · Число действительных корней

Tenglamaning real sonlar to‘plamidagi turli yechimlari soni.

0, 1 yoki 2 bo‘lishi mumkin (haqiqiy quadratic uchun).

Misol: x²+1=0 → 0 real ildiz.

Bu emas: D=0 dagi double rootni 2 ta turli real ildiz deb sanash noto‘g‘ri.

💡 Parametrli masalalarda “1 ta yechim” degenerative linear case’ni ham o‘z ichiga olishi mumkin.

Fundamental tushunchalar

Standard formga keltirish birinchi qadam

Hadlarni bir tomonga yig‘ib, a,b,c ni ishoralari bilan aniqlang.

$ax^2+bx+c=0$

a≠0 bo‘lsa quadratic.

x²=k — uch holat

k>0 bo‘lsa ikki symmetric root, k=0 bo‘lsa bitta root, k<0 bo‘lsa real root yo‘q.

$x^2=k$

k>0: ±√k; k=0:0; k<0: ∅ real.

ax²+bx=0 — x ni factorlash

Constant had yo‘q bo‘lsa x umumiy factor.

$x(ax+b)=0$

x=0 yoki x=−b/a.

ax²+c=0 — square-root usuli

Linear had yo‘q bo‘lsa x² ni ajratib root olish ko‘pincha eng tez.

$x^2=-c/a$

RHS signi real root sonini belgilaydi.

Perfect-square trinomialni tanish

a²±2ab+b² patterni takroriy rootni darhol ko‘rsatadi.

$(px+q)^2=0$

Bitta distinct root.

Factorlash — tezkor usul

Quadratic integer/rational factorlarga oson ajralsa zero-product property formuladan tezroq.

$(mx+p)(nx+q)=0$

Har factor alohida 0.

Quadratic formula universal usul

Factorlash ko‘rinmasa ham formula barcha a≠0 quadraticlarni qamrab oladi.

$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$

D=b²−4ac.

Diskriminant — root-count sensor

Formula ichidagi radical osti real branches sonini oldindan bildiradi.

$D=b^2-4ac$

D>0:2; D=0:1; D<0:0 real.

Double root — factor kvadrati

D=0 bo‘lsa quadratic perfect-square scale ko‘rinishiga keladi.

$a(x-r)^2=0$

r=−b/(2a).

Completing square — formula ortidagi geometriya

Linear coefficientning yarmini square qilib qo‘shish quadraticni shifted squarega aylantiradi.

$x^2+px=(x+p/2)^2-(p/2)^2$

Universal derivation tool.

Kasrli koeffitsientlarni avval tozalash

Sonli denominatorlar bo‘lsa EKUK/LCD bilan butun koeffitsientli quadraticga o‘tish hisobni osonlashtiradi.

$LCM\cdot equation$

Faqat nol bo‘lmagan sonli LCD bo‘lsa domain o‘zgarmaydi.

Rational equation: domain first

Variable denominatorli tenglamada denominator=0 qiymatlarni avval chiqarib tashlang.

$D_i(x)\ne0$

Keyin LCD bilan denominatorlarni yo‘qoting.

LCDdan keyin quadratic reduction

Rational tenglama ko‘pincha denominatorlar olib tashlangach ax²+bx+c=0 ga keladi.

$rational\to polynomial\to quadratic$

Final candidates original domain bilan tekshiriladi.

Reciprocal structure

x va 1/x qatnashgan tenglamani x≠0 shartida x ga ko‘paytirib quadraticga keltirish mumkin.

$px+q/x=r$

px²−rx+q=0.

Parametrli quadraticda ikki bosqich

Avval leading coefficient nol bo‘ladimi, so‘ng haqiqiy quadratic bo‘lsa D shartini qo‘llang.

$A(t)x^2+B(t)x+C(t)=0$

1) A=0; 2) A≠0 va D.

“1 ta haqiqiy yechim” faqat D=0 emas

A parametrga bog‘liq bo‘lsa A=0 holatida linear tenglama ham aynan bitta yechim berishi mumkin.

$A=0,B\ne0$

Bitta linear root.

Degenerate no-solution / identity

A=0 dan keyin B ham 0 bo‘lishi mumkin; C ga qarab 0 yoki cheksiz yechim chiqadi.

$0x+C=0$

C≠0: ∅; C=0: barcha real.

Ildizlar masofasi diskriminantdan

Quadratic formula branches ayirmasi √D/a ga keladi; masofa absolute olinadi.

$|x_1-x_2|=\sqrt D/|a|$

D≥0.

Grafik talqin

ax²+bx+c parabola; roots — x-o‘q bilan kesishish nuqtalarining x koordinatalari.

$y=ax^2+bx+c$

D>0 kesadi, D=0 tegadi, D<0 kesmaydi.

Ko‘paytma tenglama — union of roots

P(x)Q(x)=0 bo‘lsa P=0 yoki Q=0; bir necha quadratic factorlar rootslari birlashtiriladi.

$\prod_i P_i(x)=0$

Duplicate roots bir marta distinct root sifatida sanalishi mumkin.

Matnli masala → quadratic model

Ketma-ket sonlar, to‘g‘ri to‘rtburchak yuzi, masofa kabi shartlar product/square munosabat orqali quadraticga olib keladi.

$model\to equation\to admissible root$

Kontekstga mos bo‘lmagan manfiy root rad etilishi mumkin.

Bank QA: marked answerni ham tekshirish

Source extractiondagi variantlar diskriminant, exact algebra va domain bilan mustaqil tekshiriladi; noto‘g‘ri marked answer canonical lessonni boshqarmaydi.

$3396,3399,3400,3416,3420,3421,3425 — flagged$

Canonical examples faqat qayta tasdiqlangan patternlardan.

Formula kutubxonasi

Kvadrat tenglama standard form

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0$$

Quadratic tenglamaning asosiy formasi.

Shart: a,b,c real; a≠0

Xususiy holatlar: a=0 bo‘lsa quadratic emas.

Square equation

$$x^2=k$$

Kvadratni berilgan songa tenglaydi.

Shart: k real

Xususiy holatlar: k>0: ±√k; k=0:0; k<0: real yechim yo‘q.

Common-x factor

$$ax^2+bx=x(ax+b)$$

Constant had 0 bo‘lganda factorlash.

Xususiy holatlar: x=0 yoki x=−b/a.

No-linear-term roots

$$ax^2+c=0\Longrightarrow x=\pm\sqrt{-c/a}$$

b=0 quadratic yechimi.

Shart: a≠0 va −c/a≥0 real roots uchun

Xususiy holatlar: −c/a=0 bo‘lsa bitta root 0.

Quadratic formula

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Har qanday quadraticning universal root formulasi.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: D<0 bo‘lsa real roots yo‘q.

Discriminant

$$D=b^2-4ac$$

Quadratic formula radical osti.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: D perfect square bo‘lsa rational roots ehtimoli yuqori.

Two real roots criterion

$$D>0$$

Ikki distinct real root.

Shart: a≠0

Double root criterion

$$D=0$$

Bitta distinct real root, algebraik multiplicity 2.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: Parametrli equationda a=0 degenerative holat alohida.

No real roots criterion

$$D<0$$

Real sonlarda yechim yo‘q.

Shart: a≠0

Double root value

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Takroriy root qiymati.

Shart: a≠0,D=0

Completing-square identity

$$x^2+px=\left(x+\frac p2\right)^2-\frac{p^2}{4}$$

Linear hadli expressionni shifted squarega aylantiradi.

Quadratic completed-square form

$$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a}$$

Quadratic expressionni vertex/complete-square formga bog‘laydi.

Shart: a≠0

Shifted-square equation

$$(x-h)^2=k\Longrightarrow x=h\pm\sqrt{k}$$

Completing square natijasini yechadi.

Shart: k≥0 real roots uchun

Xususiy holatlar: k=0 bo‘lsa x=h.

Factorized quadratic

$$a(x-r_1)(x-r_2)=0$$

Roots factorlar orqali ko‘rinadi.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: r₁=r₂ double root bo‘lishi mumkin.

Distance between real roots

$$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt D}{|a|}$$

Ikki formula branchi orasidagi masofa.

Shart: a≠0,D≥0

Xususiy holatlar: D=0 da masofa 0.

Linear-over-x reduction

$$px+\frac qx=r\Longrightarrow px^2-rx+q=0$$

x va 1/x tenglamani quadraticga keltiradi.

Shart: x≠0

Reciprocal-square substitution

$$\frac p{x^2}+\frac qx=r,\quad y=\frac1x\Longrightarrow py^2+qy-r=0$$

1/x bo‘yicha quadratic yaratadi.

Shart: x≠0

General parameter quadratic

$$A(t)x^2+B(t)x+C(t)=0$$

Parametr koeffitsientlarni boshqaradi.

Xususiy holatlar: A(t)=0 holati quadratic emas.

Parameter discriminant

$$D(t)=B(t)^2-4A(t)C(t)$$

Parametrli quadratic root countini beradi.

Shart: A(t)≠0

Exactly one real solution criterion

$$\bigl(A\ne0\land D=0\bigr)\lor\bigl(A=0\land B\ne0\bigr)$$

Quadratic double root yoki degenerate linear root holatlarini birlashtiradi.

Shart: A,B,C real functions of parameter

Xususiy holatlar: A=B=0 bo‘lsa C alohida tekshiriladi.

Degenerate linear solution

$$A=0,\ B\ne0\Longrightarrow x=-\frac CB$$

Quadratic family linear tenglamaga tushganda.

Degenerate consistency

$$A=0,\ B=0\Longrightarrow C=0\text{ yoki }C\ne0$$

0=C tenglamaning ayniyat yoki qarama-qarshilikligini ajratadi.

Xususiy holatlar: C=0: cheksiz yechim; C≠0: yechim yo‘q.

Clearing rational denominators

$$\sum_i\frac{P_i(x)}{Q_i(x)}=0\Longrightarrow L(x)\sum_i\frac{P_i(x)}{Q_i(x)}=0$$

Rational tenglamani polynomial tenglamaga aylantiradi.

Shart: Q_i(x)≠0; L — common denominator

Xususiy holatlar: Final candidates original exclusions bilan tekshiriladi.

Zero-product rule

$$F_1(x)F_2(x)\cdots F_n(x)=0\Longrightarrow F_i(x)=0\text{ biror }i\text{ uchun}$$

Ko‘paytma tenglamani factor equationsga ajratadi.

Perfect-square quadratic

$$p^2x^2+2pqx+q^2=(px+q)^2$$

D=0 patternini tez tanish.

Xususiy holatlar: (px+q)^2=0 → x=−q/p.

Teoremalar va isbotlar

📐 Kvadrat formula teoremasi

Har qanday $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$ tenglamaning ildizlari $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$ formula bilan beriladi (real ildizlar uchun radical osti nonnegative bo‘lishi kerak).

Completing square x ni markaz $-b/(2a)$ atrofida ajratadi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: ax²+bx+c=0, a≠0.

Isbotlash kerak: x=(-b±√(b²−4ac))/(2a) ekanini chiqarish.

a ga bo‘ling: x²+(b/a)x+c/a=0.
c/a ni o‘ng tomonga o‘tkazing: x²+(b/a)x=−c/a.
Har ikki tomonga (b/2a)² qo‘shing.
Chap tomon (x+b/2a)² bo‘ladi; o‘ng tomon (b²−4ac)/(4a²)=D/(4a²).
Square root oling: x+b/(2a)=±√D/(2|a|); algebraik branchni denominator 2a bilan yozish x=(-b±√D)/(2a) formulani beradi.

Quadratic formula completing square’dan olinadi. ∎

📐 Diskriminant bo‘yicha real ildizlar soni

Haqiqiy koeffitsientli quadraticda D=b²−4ac musbat bo‘lsa 2, nol bo‘lsa 1, manfiy bo‘lsa 0 ta real ildiz mavjud.

Quadratic formula ichida ±√D branchlari aynan shu uch holatni yaratadi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: ax²+bx+c=0, a≠0, D=b²−4ac.

Isbotlash kerak: D ishorasi real ildizlar sonini belgilashini ko‘rsatish.

Agar D>0 bo‘lsa √D>0 va ± branchlar ikki turli real son beradi.
Agar D=0 bo‘lsa +0 va −0 bir xil qiymat: x=−b/(2a).
Agar D<0 bo‘lsa real sonlarda √D aniqlanmagan.
Shuning uchun mos ravishda 2, 1 yoki 0 ta real ildiz mavjud.

Diskriminant classification isbotlandi. ∎

📐 Parametrli tenglamada yagona yechim kriteriyasi

A(t)x²+B(t)x+C(t)=0 oilasi aynan bitta real yechimga ega bo‘lishi uchun yoki A≠0 va D=0, yoki A=0 va B≠0 bo‘lishi kerak; A=B=0 holati alohida tekshiriladi.

Parametr quadratic family’ni linear tenglamaga ham aylantirishi mumkin.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: A(t)x²+B(t)x+C(t)=0 parametrli tenglama.

Isbotlash kerak: Aynan bitta real yechim beradigan holatlarni to‘liq ajratish.

A(t)≠0 bo‘lsa tenglama quadratic; aynan bitta distinct real root uchun D(t)=0 zarur va yetarli.
A(t)=0, B(t)≠0 bo‘lsa tenglama linear Bx+C=0 va aynan bitta real rootga ega.
A(t)=0, B(t)=0, C(t)≠0 bo‘lsa qarama-qarshilik va yechim yo‘q.
A(t)=B(t)=C(t)=0 bo‘lsa ayniyat va cheksiz yechim.
Demak aynan bitta real yechim faqat birinchi ikki branchdan chiqadi.

Yagona-yechim kriteriyasi to‘liq isbotlandi. ∎

📐 Rational tenglamada maxrajlardan xalos bo‘lish

Original domain’da barcha denominatorlar noldan farqli bo‘lsa, rational tenglamani ularning umumiy maxrajiga ko‘paytirish yechimlarni saqlovchi polynomial tenglamaga olib keladi; topilgan kandidatlar original exclusions bilan tekshiriladi.

Nol bo‘lmagan common denominatorga ko‘paytirish tenglikni saqlaydi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Σ Pᵢ(x)/Qᵢ(x)=0 rational tenglama va original domain Qᵢ(x)≠0.

Isbotlash kerak: Common denominatorga ko‘paytirish domain ichida yechimlarni saqlashini ko‘rsatish.

Original domain’da har bir Qᵢ(x)≠0, shuning uchun ularning common multiple’i L(x) ham nol emas.
Tenglikning har ikki tomonini bir xil nonzero L(x) ga ko‘paytirish ekvivalent transformatsiya.
Denominatorlar qisqarib polynomial equation hosil bo‘ladi.
Polynomial equation yechimlari ichidan original Qᵢ(x)=0 qiladigan qiymatlar qabul qilinmaydi.
Shuning uchun clearing denominators faqat original domain bilan birga ekvivalent.

Rational-to-polynomial reduction isbotlandi. ∎

📐 Ildizlar orasidagi masofa teoremasi

D≥0 bo‘lgan $ax²+bx+c=0$ uchun real ildizlar orasidagi masofa $|x_1-x_2|=\sqrt D/|a|$.

Quadratic formula ikki branchining farqida −b hadlari bekor bo‘ladi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: ax²+bx+c=0 ning real ildizlari x₁,x₂ va D≥0.

Isbotlash kerak: |x₁−x₂|=√D/|a| ekanini ko‘rsatish.

x₁=(-b+√D)/(2a), x₂=(-b−√D)/(2a) deb oling.
x₁−x₂=[2√D]/(2a)=√D/a.
Masofa nonnegative bo‘lishi kerak, shuning uchun absolute value oling.
|x₁−x₂|=|√D/a|=√D/|a|.

Ildizlar orasidagi masofa formulasi isbotlandi. ∎

Yechilgan misollar

oson Tenglamani yeching: $x^2=16$.

💡 Maslahat: Square-root usuli.

x²=16 dan x=±√16.
√16=4.

✅ Javob: x=\pm4

Nega bu usul ishlaydi: Musbat k uchun x²=k ikki symmetric real root beradi.

⚠️ √16=4 bo‘lsa ham tenglama rootslari ±4.

oson Tenglamani yeching: $27-x^2=31$.

💡 Maslahat: x² ni ajrating.

27−x²=31 ⇒ −x²=4.
x²=−4.
Real son kvadrati manfiy bo‘la olmaydi.

✅ Javob: \varnothing\text{ (real sonlarda)}

Nega bu usul ishlaydi: x²=k da k<0 bo‘lsa real root yo‘q.

⚠️ Manfiy RHSdan ±2 deb yozmang.

oson Tenglamani yeching: $49x^2-4=0$.

💡 Maslahat: Difference of squares yoki square-root usuli.

49x²=4.
x²=4/49.
x=±2/7.

✅ Javob: x=\pm\frac27

Nega bu usul ishlaydi: Linear had yo‘q; x² ni bevosita ajratish eng qisqa.

Muqobil usul: (7x−2)(7x+2)=0.

⚠️ 2/7 o‘rniga 7/2 qilib yubormang.

oson Tenglamani yeching: $x^2-6x=0$.

💡 Maslahat: x ni umumiy factor qiling.

x²−6x=x(x−6).
x(x−6)=0.
x=0 yoki x=6.

✅ Javob: x=0,6

Nega bu usul ishlaydi: Zero-product property factorlangan equationni ikki linearga ajratadi.

⚠️ x ga bo‘lib x=0 rootni yo‘qotmang.

oson Tenglamani yeching: $4x^2+4x+1=0$.

💡 Maslahat: Perfect-square trinomialni taning.

4x²+4x+1=(2x+1)².
(2x+1)²=0.
2x+1=0.

✅ Javob: x=-\frac12

Nega bu usul ishlaydi: Perfect square nol bo‘lishi uchun uning asosi nol bo‘ladi.

Muqobil usul: D=16−16=0 va x=−4/8.

⚠️ D=0 dagi rootni ikki distinct root deb sanamang.

oson Tenglamani yeching: $x^2-4x+3=0$.

💡 Maslahat: Ko‘paytmasi 3, yig‘indisi −4 bo‘lgan factorlarni toping.

x²−4x+3=(x−1)(x−3).
Har bir factorni 0 ga tenglang.

✅ Javob: x=1,3

Nega bu usul ishlaydi: Factorlash integer rootsni darhol beradi.

Muqobil usul: Quadratic formula bilan ham x=(4±2)/2.

⚠️ Factorlar ishorasini tekshiring: (x+1)(x+3) boshqa polynomial.

oson Tenglamani yeching: $2x^2+12x-14=0$.

💡 Maslahat: Avval 2 ga bo‘ling.

x²+6x−7=0.
(x−1)(x+7)=0.
x=1 yoki x=−7.

✅ Javob: x=1,-7

Nega bu usul ishlaydi: Common numerical factorni olib tashlash factorlashni yengillashtiradi.

Muqobil usul: D=36+28=64.

⚠️ −14 ni +14 deb o‘qimang.

oson Tenglamani yeching: $\frac{x^2+3x}{3}=\frac{4x+3}{4}$.

💡 Maslahat: 12 ga ko‘paytirib maxrajlarni tozalang.

4(x²+3x)=3(4x+3).
4x²+12x=12x+9.
4x²=9.
x=±3/2.

✅ Javob: x=\pm\frac32

Nega bu usul ishlaydi: Sonli denominatorlarni LCD bilan yo‘qotish domainni o‘zgartirmaydi.

⚠️ 4 va 3 ni noto‘g‘ri cross-multiply qilmang.

oson Tenglamani yeching: $(x-4)^2+(x-2)^2=20$.

💡 Maslahat: Qavslarni ochib quadraticga keltiring.

(x²−8x+16)+(x²−4x+4)=20.
2x²−12x=0.
2x(x−6)=0.

✅ Javob: x=0,6

Nega bu usul ishlaydi: Ikki square yig‘indisi kengaygach oddiy noto‘liq quadraticga keladi.

⚠️ −8x va −4x ni unutib yubormang.

oson Tenglamani yeching: $(x^2-9)(x^2-4)=0$.

💡 Maslahat: Har bir factorni 0 ga tenglang.

x²−9=0 ⇒ x=±3.
x²−4=0 ⇒ x=±2.
Rootlarni birlashtiring.

✅ Javob: x=-3,-2,2,3

Nega bu usul ishlaydi: Zero-product property har bir factor rootslarini beradi.

⚠️ Faqat musbat rootsni olib qolmang.

ortacha Tenglamani quadratic formula bilan yeching: $3x^2+7x-6=0$.

💡 Maslahat: a=3,b=7,c=−6.

D=7²−4·3·(−6)=49+72=121.
x=(−7±11)/6.
Branches: 4/6 va −18/6.

✅ Javob: x=\frac23,-3

Nega bu usul ishlaydi: Formula factorlash ko‘rinmasa ham to‘g‘ridan-to‘g‘ri ishlaydi.

Muqobil usul: (3x−2)(x+3)=0.

⚠️ c manfiy bo‘lgani uchun −4ac musbat qo‘shiladi.

ortacha Tenglamaning real ildizlari sonini toping: $x^2+6x+12=0$.

💡 Maslahat: Diskriminant yetarli.

D=6²−4·1·12=36−48=−12.
D<0.

✅ Javob: 0\text{ ta real ildiz}

Nega bu usul ishlaydi: D<0 bo‘lsa quadratic formula radicali real emas.

⚠️ Complex roots mavjud bo‘lishi mumkin, lekin savol real roots haqida.

ortacha Tenglamani yeching: $x+\frac1x=\frac52$.

💡 Maslahat: x≠0; tenglamani 2x ga ko‘paytiring.

2x²+2=5x.
2x²−5x+2=0.
(2x−1)(x−2)=0.

✅ Javob: x=\frac12,2

Nega bu usul ishlaydi: Reciprocal equation denominator tozalangach quadraticga aylanadi.

⚠️ x=0 ni domain sabab qabul qilib bo‘lmaydi.

ortacha Tenglamani yeching: $\frac{12}{x^2}+\frac1x=1$.

💡 Maslahat: x≠0; x² ga ko‘paytiring.

12+x=x².
x²−x−12=0.
(x−4)(x+3)=0.

✅ Javob: x=4,-3

Nega bu usul ishlaydi: 1/x va 1/x² terms polynomial quadraticga keltiriladi.

Muqobil usul: y=1/x substitution ham mumkin.

⚠️ Original x≠0 restrictionni saqlang.

ortacha Tenglamani yeching: $x^2+3mx+2m^2=0$.

💡 Maslahat: m parametr bo‘lsa ham x bo‘yicha factorlang.

x²+3mx+2m²=(x+m)(x+2m).
Zero-product propertyni qo‘llang.

✅ Javob: x=-m,-2m

Nega bu usul ishlaydi: Parametr koeffitsient sifatida turadi; factor pattern saqlanadi.

⚠️ m=0 bo‘lsa ikkala formula bir root x=0 ga birlashadi.

ortacha Qaysi $a$ larda $x^2-4x+a=0$ tenglama 2 ta haqiqiy ildizga ega?

💡 Maslahat: Leading coefficient doim 1; D>0 shartini yozing.

D=(−4)²−4a=16−4a.
Ikki distinct real root uchun 16−4a>0.
4−a>0 ⇒ a<4.

✅ Javob: a<4

Nega bu usul ishlaydi: Quadratic fixed bo‘lib, root count faqat discriminant signiga bog‘liq.

⚠️ D≥0 emas, aynan D>0 kerak.

ortacha Qaysi $a$ larda $x^2-ax+8a=0$ tenglama bitta haqiqiy ildizga ega?

💡 Maslahat: a bu yerda faqat b va c da; leading coefficient 1.

D=a²−32a=a(a−32).
Bitta quadratic root uchun D=0.
a=0 yoki a=32.

✅ Javob: a=0,32

Nega bu usul ishlaydi: Leading coefficient o‘zgarmagani uchun degenerative case yo‘q; D=0 to‘liq kriteriy.

⚠️ a=0 ni tashlab yubormang: equation x²=0 bo‘ladi.

murakkab Qaysi $a$ larda $ax^2+4x+4=0$ tenglama aynan bitta haqiqiy yechimga ega?

💡 Maslahat: Avval a=0 holatini ajrating.

Agar a=0 bo‘lsa 4x+4=0, bitta root x=−1.
Agar a≠0 bo‘lsa quadratic va D=16−16a.
Bitta quadratic root uchun D=0 ⇒ a=1.

✅ Javob: a=0\text{ yoki }a=1

Nega bu usul ishlaydi: Parametr leading coefficientda turgani uchun linear degeneratsiya ham bitta yechim berishi mumkin.

⚠️ Faqat D=0 qilib a=1 ni olish yetarli emas.

murakkab Qaysi $a$ larda $2ax^2+(2a+1)x+1=0$ tenglama aynan bitta haqiqiy yechimga ega?

💡 Maslahat: Factorlash va a=0 case’ni birga ko‘ring.

Ifoda (x+1)(2ax+1)=0.
a=0 bo‘lsa equation x+1=0: bitta root.
a≠0 bo‘lsa roots −1 va −1/(2a).
Ular birlashishi uchun −1=−1/(2a) ⇒ a=1/2.

✅ Javob: a=0\text{ yoki }a=\frac12

Nega bu usul ishlaydi: Factorization parametrli degree change va double rootni bir vaqtning o‘zida ko‘rsatadi.

Muqobil usul: A≠0 branchda D=0 bilan ham a=1/2 chiqadi.

⚠️ a=0 da ikkinchi “factor equation” 1=0 bo‘ladi, lekin x+1=0 saqlanadi.

murakkab Qaysi $a$ da $(a^2-2a-3)x^2-2(a+1)x+1=0$ aynan bitta haqiqiy yechimga ega?

💡 Maslahat: Leading coefficientni factorlang va degenerate valuesni tekshiring.

A=(a−3)(a+1).
A=0 uchun a=3 yoki a=−1.
a=3 da equation −8x+1=0: bitta root.
a=−1 da 1=0: yechim yo‘q.
A≠0 branchda D=16(a+1); D=0 faqat a=−1 beradi, lekin bu branchda A=0, shuning uchun quadratic double-root case emas.

✅ Javob: a=3

Nega bu usul ishlaydi: Parametrli masalada D=0 kandidatini ham leading-coefficient branch bilan kesish kerak.

⚠️ a=−1 ni D=0 deb avtomatik qabul qilish xato.

ortacha Son o‘qida $x^2-8x+12=0$ ildizlari orasidagi masofani toping.

💡 Maslahat: Rootlarni yechish yoki distance formula.

D=64−48=16.
Masofa √D/|a|=4/1=4.

✅ Javob: 4

Nega bu usul ishlaydi: Quadratic formula branches farqi diskriminant orqali bevosita masofani beradi.

Muqobil usul: Roots 2 va 6; |6−2|=4.

⚠️ Masofa manfiy bo‘lmaydi.

murakkab $x^2-909x-1822=0$ tenglama ildizlarining musbat ayirmasini toping.

💡 Maslahat: Rootsni alohida yozmasdan D dan foydalaning.

D=909²−4·1·(−1822)=826281+7288=833569.
833569=913².
Masofa √D/|a|=913.

✅ Javob: 913

Nega bu usul ishlaydi: Katta koeffitsientlarda distance formula hisobni keskin qisqartiradi.

⚠️ −4ac da c manfiy bo‘lsa qo‘shish chiqadi.

ortacha To‘g‘ri to‘rtburchakning uzun tomoni qisqa tomonidan 3 cm katta, yuzi 40 cm². Uzun tomonni toping.

💡 Maslahat: Qisqa tomonni x deb oling.

Tomonlar x va x+3.
x(x+3)=40 ⇒ x²+3x−40=0.
(x−5)(x+8)=0.
Uzunlik musbat: x=5; uzun tomon 8.

✅ Javob: 8\text{ cm}

Nega bu usul ishlaydi: Area product quadratic model beradi; fizik kontekst manfiy rootni rad etadi.

⚠️ x=−8 algebraik root, lekin uzunlik emas.

ortacha Ketma-ket natural sonlarning kattasi kichigining kvadratidan 55 ga kichik. Sonlar yig‘indisini toping.

💡 Maslahat: Kichik sonni n, kattasini n+1 deb oling.

n+1=n²−55.
n²−n−56=0.
(n−8)(n+7)=0.
Natural n=8; sonlar 8 va 9.

✅ Javob: 17

Nega bu usul ishlaydi: Verbal relation quadraticga to‘g‘ridan-to‘g‘ri tarjima qilinadi.

⚠️ Natural condition sabab n=−7 qabul qilinmaydi.

murakkab Tenglamani yeching: $\frac2{x+2}+\frac1x=\frac1{x-1}$.

💡 Maslahat: Avval x≠−2,0,1; keyin LCD.

Exclusions: x≠−2,0,1.
LCD x(x+2)(x−1) bilan ko‘paytiring.
2x(x−1)+(x+2)(x−1)=x(x+2).
Soddalashtirish: 2x²−3x−2=0=(2x+1)(x−2).
Candidates −1/2 va 2 exclusionsga kirmaydi.

✅ Javob: x=-\frac12,2

Nega bu usul ishlaydi: Clearing denominators original domain ichida quadratic reduction beradi.

⚠️ Exclusionsni LCDdan keyin unutmaslik kerak.

murakkab $\frac3{x+3}+\frac{x}{x+6}=\frac56$ tenglama ildizlari kvadratlari yig‘indisini toping.

💡 Maslahat: Avval equationni yeching; x≠−3,−6.

6(x+3)(x+6) ga ko‘paytiring.
18(x+6)+6x(x+3)=5(x+3)(x+6).
x²−9x+18=0.
Roots 3 va 6.
3²+6²=45.

✅ Javob: 45

Nega bu usul ishlaydi: Rational equation quadraticga keladi; roots original domain bilan mos.

⚠️ −3 va −6 denominator restrictions, roots emas.

murakkab $x^2=a-4$ tenglama 2 ta haqiqiy ildizga ega bo‘ladigan eng kichik butun $a$ ni toping.

💡 Maslahat: x²=k ikki real root uchun k>0.

a−4>0.
a>4.
4 dan katta eng kichik butun son 5.

✅ Javob: a=5

Nega bu usul ishlaydi: Square equation root-counti RHS signi bilan boshqariladi.

⚠️ a=4 da faqat x=0 — bitta root.

murakkab Tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping: $\sum_{k=0}^{99}\frac1{(x+k)(x+k+1)}=\frac1{11}$.

💡 Maslahat: Har hadni telescoping differencega aylantiring.

1/[(x+k)(x+k+1)]=1/(x+k)−1/(x+k+1).
Yig‘indi 1/x−1/(x+100)=100/[x(x+100)].
100/[x(x+100)]=1/11 ⇒ x²+100x−1100=0.
Roots yig‘indisi −100; roots 10 va −110 original exclusionsga kirmaydi.

✅ Javob: -100

Nega bu usul ishlaydi: Telescoping yuzta rational hadni bitta quadraticga tushiradi.

⚠️ x=0,−1,...,−100 original domain’dan tashqarida.

murakkab $x^2-(3a+2)x+a^2+12=0$ tenglama yagona haqiqiy yechimga ega bo‘ladigan $a$ qiymatlari yig‘indisini toping.

💡 Maslahat: Leading coefficient 1, shuning uchun D=0 kifoya.

D=(3a+2)²−4(a²+12).
D=9a²+12a+4−4a²−48=5a²+12a−44.
5a²+12a−44=0.
a=(−12±32)/10: a=2 yoki a=−22/5.
Yig‘indi 2−22/5=−12/5.

✅ Javob: -\frac{12}{5}

Nega bu usul ishlaydi: Fixed leading coefficient sabab unique root faqat D=0 orqali chiqadi.

⚠️ −22/5 ni −2.2 deb xato hisoblamang; u −4.4.

murakkab Qaysi $a$ lar uchun $x^2+ax+4=0$ tenglama bitta haqiqiy ildizga ega?

💡 Maslahat: Bu bank QA uchun tuzatilgan parametr misoli.

Leading coefficient 1.
D=a²−16.
Bitta real root uchun D=0.
a²=16 ⇒ a=±4.

✅ Javob: a=\pm4

Nega bu usul ishlaydi: Canonical algebra source variantidan mustaqil tekshirildi.

⚠️ Bankdagi ±2 belgilanishi noto‘g‘ri; to‘g‘ri javob ±4.

Umumiy xatolar

❌ Standard formga o‘tkazganda had ishorasini o‘zgartirmaslik.

Tenglamaning ikkinchi tomonidan birinchisiga o‘tkazilgan had ishorasi almashadi.

✅ Barcha hadlarni bitta tomonga yig‘ib keyin a,b,c ni aniqlang.

3x²=5x+2 → 3x²−5x−2=0.

❌ a=0 bo‘lsa ham quadratic formula ishlatish.

Formula denominatorida 2a bor va quadratic ta’rifida a≠0.

✅ Leading coefficient 0 bo‘lsa linear/degenerate equation sifatida qayta tasniflang.

0·x²+4x+4=0 → x=−1.

❌ x²=k dan faqat x=√k ni olish.

Musbat k uchun musbat va manfiy sonlarning kvadrati bir xil.

✅ x=±√k yozing.

x²=16 → x=±4.

❌ ax²+bx=0 da x ga bo‘lib yuborish.

x=0 ehtimoliy root yo‘qoladi.

✅ x ni factorlab x(ax+b)=0 ishlating.

x²−6x=0 roots 0 va 6.

❌ A+B=0 ga zero-product property qo‘llash.

Zero-product faqat product 0 bo‘lganda ishlaydi.

✅ Avval ifodani factor productga keltiring.

(x−2)(x+3)=0 da property ishlaydi.

❌ Quadratic formula denominatorini 2 deb yozish.

Denominator 2a; a coefficient yo‘qolsa roots noto‘g‘ri.

✅ Formulani to‘liq: (-b±√D)/(2a).

2x²−3x−2=0 da denominator 4.

❌ Formulada −b ni b deb qo‘yish.

b manfiy bo‘lsa ayniqsa double-sign xato beradi.

✅ a,b,c ni ishoralari bilan yozib, keyin −b ni alohida hisoblang.

b=−5 bo‘lsa −b=5.

❌ D=b²+4ac deb yozish.

Discriminant definition b²−4ac.

✅ Minus belgini formula sheetdan tekshiring.

x²−5x+6: D=25−24=1.

❌ D=0 da 2 ta turli real root bor deb sanash.

±√0 ikkala branchda bir xil qiymat beradi.

✅ 1 ta distinct double root deb sanang.

(x−3)²=0 faqat x=3.

❌ 2 ta haqiqiy ildiz uchun D≥0 ishlatish.

D=0 da roots birlashadi.

✅ 2 ta distinct real root uchun D>0.

x²−4x+4 da D=0 va bitta root.

❌ Rational tenglamada denominator restrictionsni yozmaslik.

LCD bilan ko‘paytirgandan keyin denominator zeros ko‘rinmay qoladi.

✅ Avval exclusions, keyin clearing denominators, oxirida candidate check.

2/(x+2)+1/x=1/(x−1): x≠−2,0,1.

❌ LCDdan chiqqan har polynomial rootni qabul qilish.

Ba’zi candidates original denominatorni 0 qilishi mumkin.

✅ Har candidate original domain bilan tekshirilsin.

x=2 denominatorni nol qilsa, simplified equation root bo‘lsa ham rad etiladi.

❌ x va 1/x tenglamada x=0 ni unutish.

1/x mavjud bo‘lsa x=0 original domain’da yo‘q.

✅ Equationni x ga ko‘paytirishdan oldin x≠0 yozing.

x+1/x=5/2.

❌ Parametrli “1 ta yechim” savolida faqat D=0 ni tekshirish.

Leading coefficient parametrga bog‘liq bo‘lsa A=0 da linear equation ham bitta yechim berishi mumkin.

✅ Avval A=0 branch, keyin A≠0,D=0 branch.

ax²+4x+4=0: a=0 va a=1.

❌ A=0 va B=0 bo‘lganda avtomatik “bitta yechim” deyish.

0x+C=0 C ga qarab no solution yoki identity.

✅ C≠0 va C=0 holatlarini ajrating.

1=0 — yechim yo‘q; 0=0 — barcha real.

❌ Matnli masalada barcha algebraik rootsni qabul qilish.

Uzunlik, vaqt, son kabi kontekst qo‘shimcha admissibility shart beradi.

✅ Algebraik rootsdan so‘ng kontekstni tekshiring.

Tomon uzunligi −8 cm bo‘la olmaydi.

❌ Ildizlar “ayirmasi”ni ishorali x₁−x₂ deb olish.

Masofa yoki musbat ayirma nonnegative.

✅ |x₁−x₂| yoki √D/|a| ishlating.

Roots 2 va 6 orasidagi masofa 4.

❌ Savol bankidagi marked answerni algebraik tekshiruvsiz darsga ko‘chirish.

OCR/AI extraction yoki variant belgilash xatosi bo‘lishi mumkin.

✅ Discriminant, exact solve va domain bilan mustaqil QA qiling.

3396, 3400, 3416, 3420, 3421, 3425 flagged.

Noto'g'ri tasavvurlar

Har kvadrat tenglama factorlanishi kerak.

Factorlash qulay bo‘lsa yaxshi; umumiy holatda quadratic formula universal.

Quadratic formula faqat to‘liq kvadrat tenglama uchun.

a≠0 bo‘lgan noto‘liq quadraticlarda ham formula ishlaydi, faqat soddaroq usul mavjud bo‘lishi mumkin.

D=0 ikki ildiz, chunki formulada ± bor.

±0 bir xil; bitta distinct double root.

D<0 bo‘lsa tenglamaning umuman ildizi yo‘q.

Real ildiz yo‘q; kompleks sonlarda ikki complex root bo‘lishi mumkin.

Parametrli quadraticda doim a≠0 deb olish mumkin.

Parametr leading coefficientni nol qilishi mumkin; degree change majburiy tekshiriladi.

Rational tenglamani LCDga ko‘paytirish domainni avtomatik saqlaydi.

Algebraik equation soddalashadi, lekin original denominator zeros exclusions sifatida qo‘lda saqlanadi.

x²=k har doim ikki real rootga ega.

k>0 — 2, k=0 — 1, k<0 — 0 real root.

Bitta real yechim degani har doim D=0.

Parametrli family linear degenerate bo‘lsa ham bitta real root chiqishi mumkin.

Quadratic rootsni topish uchun doim rootsning o‘zini hisoblash kerak.

Root count, masofa kabi ko‘p savol D orqali rootsni yozmasdan yechiladi.

Source testda correct option belgilangan bo‘lsa u matematik jihatdan kafolatlangan.

Canonical content uchun marked answer ham independent QA’dan o‘tadi.

Amaliy qo'llanilishi

Geometriya

To‘g‘ri to‘rtburchak yuzi, diagonal va o‘lchamlar ko‘pincha product relation orqali quadratic model beradi.

Fizika

Projectile motion va vertikal harakatda balandlik-vaqt tenglamalari quadratic bo‘lib, yerga tushish vaqtini roots beradi.

Muhandislik

O‘lcham, kesim, optimallashtirish va constraint modellarida quadratic equations uchraydi.

Iqtisod

Daromad-xarajat yoki narx-talabning quadratic modellari break-even nuqtalarni roots orqali beradi.

Kompyuter grafikasi

Ray-intersection, circle/sphere kesishish hisoblari quadratic equationga kelishi mumkin.

Funksiya va grafik

Quadratic functionning x-interceptlari aynan corresponding quadratic equation rootsidir.

Parametrli modellashtirish

Bir modelning 0/1/2 real yechimga ega bo‘lishi parametr diapazonlari orqali feasibilityni ko‘rsatadi.

Matematik QA

Discriminant, factorization va substitution test-bank variantlari va OCR extractionlarni avtomatik/mantiqiy tekshirish vositasi bo‘la oladi.

Kvadrat tenglama decision map: usul tanlash, diskriminant va parametr degeneratsiyasi

Kvadrat tenglamani yechishda eng ko‘p xato chiqadigan uch gate’ni birlashtiradi: a≠0 degree check, D bo‘yicha root count va rational/parametrli masalalarda original domain hamda degenerativ branchlarni saqlash.

Xulosa

Cheat sheet: 1) ax²+bx+c=0 uchun a≠0; 2) x²=k: k>0 → ±√k, k=0 → 0, k<0 → real yechim yo‘q; 3) ax²+bx=x(ax+b); 4) factor product 0 bo‘lsa kamida bitta factor 0; 5) quadratic formula x=(-b±√D)/(2a); 6) D=b²−4ac; D>0 → 2 real, D=0 → 1 double real, D<0 → real ildiz yo‘q; 7) rational equationda exclusions avval yoziladi; 8) parametrli tenglamada leading coefficient=0 holati discriminantdan oldin alohida tekshiriladi; 9) ildizlar masofasi √D/|a|; 10) source-bank javobi canonical bo‘lishidan oldin qayta tekshiriladi.

Keyingi “Viyet teoremasi” mavzusida kvadrat tenglama ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasi koeffitsientlar bilan bevosita bog‘lanadi. So‘ng “Ratsional tenglamalar” mavzusida denominatorli tenglamalar alohida va chuqurroq o‘rganiladi.

Bog'liq mavzular

Oldin bilishingiz kerak: Qisqa ko'paytirish formulalari, Ildizli ifodalar, Ko'phadlar va ular ustida amallar

Bog'liq mavzular: Arifmetik kvadrat ildiz va uning xossalari

Keyingi mavzular: Viyet teoremasi, Ratsional tenglamalar, Kvadrat funksiya, Irratsional tenglamalar

Manbalar

OpenStax Elementary Algebra 2e — 10.1 Solve Quadratic Equations Using the Square Root Property — Quadratic definition, square-root property and ax²=k solving.
OpenStax Elementary Algebra 2e — 10.2 Solve Quadratic Equations by Completing the Square — Completing-square method and perfect-square transformation.
OpenStax Elementary Algebra 2e — 10.3 Solve Quadratic Equations Using the Quadratic Formula — Quadratic formula, discriminant and root-count classification.
OpenStax College Algebra 2e — 2.5 Quadratic Equations — General quadratic methods, discriminant and root types.
Khan Academy — The quadratic formula — Worked use of standard form and quadratic formula.
Khan Academy — Discriminant review — Positive/zero/negative discriminant and number of real solutions.

Shu mavzudagi savollar

Tenglamani yeching: $x^2 = 16$ Tenglamani yeching: $x^2 = 49$ Tenglamani yeching: $9x^2 = 4$ Tenglamani yeching: $x^2 = 2 \frac{7}{9}$ Tenglamani yeching: $16x^2 = 81$ Tenglamani yeching: $x^2 - 18 = 31$

Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang