O‘nli kasrlar pul, o‘lchov, foiz, statistika, ilmiy hisob-kitob va kundalik taqqoslashlarda doim uchraydi. Davriy o‘nli kasrlar oddiy kasr bilan o‘nli yozuv orasidagi bog‘lanishni ko‘rsatadi. Haqiqiy sonlar esa sonlar o‘qidagi barcha ratsional va irratsional qiymatlarni bir tizimga birlashtiradi. Bu mavzu algebra, funksiya, tenglama, geometriya va analiz uchun tayanchdir.
Maxraji 10 ning natural darajasi ko‘rinishida ifodalanadigan kasrning pozitsion o‘nli yozuvi.
Verguldan keyingi har bir xona oldingisidan 10 marta kichik qiymatni bildiradi.
Misol: 3,47 = 3 + 4/10 + 7/100
Bu emas: 3/7 ning yozuvi chekli o‘nli kasr emas
💡 Oxiridagi nollar qiymatni o‘zgartirmaydi: 2,5 = 2,50.
Verguldan keyin chekli sondagi raqam bilan tugaydigan o‘nli yozuv.
Bir joydan keyin barcha raqamlar 0 bo‘lib ketadi.
Misol: 0,375 = 3/8
Bu emas: 0,(3) chekli emas
💡 Chekli o‘nli kasr har doim ratsional son.
Verguldan keyin ma’lum bir raqamlar bloki cheksiz takrorlanadigan o‘nli yozuv.
Takrorlanadigan blok davr deyiladi.
Misol: 0,(27) = 0,272727…
Bu emas: 0,1010010001… davriy emas
💡 0,(9)=1 ekanini unutmang.
Davriy o‘nli kasrda cheksiz takrorlanadigan eng qisqa raqamlar ketma-ketligi.
Qavs ichiga aynan eng qisqa takrorlanuvchi blok yoziladi.
Misol: 1,2(34) da davr 34
Bu emas: 0,(1212) uchun eng qisqa davr 12
💡 Davr uzunligi formulalarda n bilan belgilanadi.
p/q ko‘rinishida yoziladigan son, bunda p va q butun, q ≠ 0.
Oddiy kasrga aylantirish mumkin bo‘lgan barcha sonlar ratsional.
Misol: −7/4, 2,5 va 0,(6)
Bu emas: √2 ratsional emas
💡 Har bir chekli yoki davriy o‘nli kasr ratsional.
Ratsional bo‘lmagan haqiqiy son; uning o‘nli yozuvi cheksiz va davriy emas.
Uni ikkita butun son nisbatida aniq yozib bo‘lmaydi.
Misol: √2, π
Bu emas: 0,(142857) irratsional emas
💡 Irratsional sonni o‘nli ko‘rinishda faqat yaqinlashtirib yozamiz.
Ratsional va irratsional sonlarning birlashmasiga tegishli son.
Sonlar o‘qidagi har bir nuqtaga bitta haqiqiy son mos keladi.
Misol: −3, 0, 5/8, √5, π
💡 R = Q ∪ (R\Q).
Verguldan chapga qarab birlik, o‘nlik, yuzlik; o‘ngga qarab o‘ndan bir, yuzdan bir, mingdan bir xonalari joylashadi. Raqam qiymati uning joyiga bog‘liq.
$10^k,\;10^{-k}$
Har bir qo‘shni xona qiymati 10 marta farq qiladi.
Verguldan keyin n ta raqam bo‘lsa, vergulni olib tashlab hosil bo‘lgan butun sonni 10^n ga bo‘lamiz va imkon qadar qisqartiramiz.
$0.abc=\frac{abc}{1000}$
Nollar ham xona soniga kiradi: 0,05 = 5/100.
Avval butun qismlar, keyin verguldan keyingi mos xonalar chapdan o‘ngga taqqoslanadi. Zarur bo‘lsa oxiriga nollar qo‘shiladi.
$2.7=2.70$
2,70 = 2,700 va 2,699. Butun qismlar teng; o‘ndan birlar xonasida 7 > 6 bo‘lgani uchun 2,700 > 2,699.
Qo‘shish va ayirishda vergullar ustma-ust tushiriladi. Ko‘paytirishda avval butun sonlardek ko‘paytirib, ko‘paytuvchilardagi jami o‘nli xonalar sonicha vergul ajratiladi. Bo‘lishda bo‘luvchini butun qilish uchun ikkala songa ham bir xil 10^n ko‘paytuvchi qo‘llanadi.
Amal algoritmi xona qiymatini saqlashi kerak.
x ni davriy kasrga tenglab, davr uzunligiga mos 10^n ga ko‘paytiramiz. Takrorlanuvchi qismlar bir xil holatga kelgach tenglamalarni ayirib, x ni topamiz.
$x=0.(27)\Rightarrow100x-x=27$
Aralash davriy kasrda davrdan oldingi raqamlar soni ham hisobga olinadi.
Natural, butun, ratsional va haqiqiy sonlar ichma-ich joylashadi. Irratsional sonlar haqiqiy sonlarning ratsional bo‘lmagan qismidir.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
Har bir ratsional son haqiqiy, lekin har bir haqiqiy son ratsional emas.
O‘nli yozuvning pozitsion qiymatini oddiy kasrga aylantiradi.
Shart: n ≥ 0
Xususiy holatlar: Natijani EKUB orqali qisqartiring.
10^n ga ko‘paytirishda vergul n xona o‘ngga siljiydi.
Shart: n butun va n ≥ 0
Xususiy holatlar: 10, 100, 1000 uchun mos ravishda 1, 2, 3 xona.
n ta 9 dan tuzilgan maxraj hosil bo‘ladi.
Shart: Davr verguldan darhol keyin boshlanadi.
Xususiy holatlar: 0,(9)=9/9=1.
Davrdan oldingi qismni va davrni bir vaqtda hisobga oladi.
Shart: m ≥ 1 va n ≥ 1
Xususiy holatlar: Belgilar formulani yodlashdan ko‘ra algebraik usulni tushunishga yordam beradi.
Ratsional sonlar to‘plamini aniqlaydi.
Shart: q ≠ 0
Haqiqiy sonlar ratsional va irratsional sonlardan tashkil topadi.
Har bir ratsional sonning o‘nli yozuvi chekli yoki bir joydan boshlab davriy bo‘ladi; aksincha, har bir chekli yoki davriy o‘nli kasr ratsional sondir.
Bo‘lish jarayonida qoldiqlar soni chekli: qoldiq 0 bo‘ladi yoki oldingi qoldiqlardan biri takrorlanadi.
Berilgan: x=p/q, p,q butun va q≠0.
Isbotlash kerak: x ning o‘nli yozuvi chekli yoki davriy ekanini asoslash.
Demak, chekli yoki davriy o‘nli yozuv aynan ratsional sonlarga xos.
Qisqartirilgan p/q ratsional sonning o‘nli yozuvi chekli bo‘lishi uchun va faqat shunda q=2^a·5^b ko‘rinishda bo‘lishi kerak.
10^n ning tub ko‘paytuvchilari faqat 2 va 5. Maxraj 10^n ni bo‘lishi uchun boshqa tub ko‘paytuvchi bo‘lishi mumkin emas.
Berilgan: p/q qisqartirilgan.
Isbotlash kerak: Chekli yozuv mezonini ko‘rsatish.
Mezon isbotlandi.
💡 Maslahat: Verguldan keyin o‘ndan bir, yuzdan bir, mingdan bir xonalari keladi.
✅ Javob: 4→0,4; 0→0; 7→0,007
Nega bu usul ishlaydi: Pozitsion yozuvda har bir raqam o‘z xonasining og‘irligiga ko‘paytiriladi.
⚠️ 7 ni yuzdan bir deb olish — verguldan keyingi xonalarni noto‘g‘ri sanashdir.
💡 Maslahat: Verguldan keyin 3 ta xona bor.
✅ Javob: 3/8
Nega bu usul ishlaydi: Uchta o‘nli xona maxrajda 10^3=1000 hosil qiladi.
Muqobil usul: 0,375 = 0,25 + 0,125 = 1/4 + 1/8 = 3/8.
⚠️ Maxrajni 100 deb olish xonalar sonini e’tiborsiz qoldiradi.
💡 Maslahat: O‘nli xonalar sonini tenglashtiring.
✅ Javob: 4,08 < 4,8
Nega bu usul ishlaydi: Taqqoslash eng katta xona qiymatidan boshlanadi.
⚠️ Ko‘proq raqam yozilgan son avtomatik katta degan qoida yo‘q.
💡 Maslahat: 12,7 ni 12,700 ko‘rinishda yozing.
✅ Javob: 9,215
Nega bu usul ishlaydi: Bir xil xona qiymatlari o‘zaro ayiriladi.
⚠️ Vergullarni tekislamasdan raqamlarni o‘ngdan sanash xato natija beradi.
💡 Maslahat: x=0,272727… deb oling.
✅ Javob: 3/11
Nega bu usul ishlaydi: 100 ga ko‘paytirganda kasr qismining davriy qismi aynan avvalgi x bilan mos tushadi va ayirishda yo‘qoladi.
Muqobil usul: Sof davriy formula: 27/(10^2−1)=27/99=3/11.
⚠️ Maxrajni 100 olish noto‘g‘ri; davriy kasr chekli kasr emas.
💡 Maslahat: Davrdan oldin 1 ta xona, davrda ham 1 ta xona bor.
✅ Javob: 1/6
Nega bu usul ishlaydi: 100x va 10x ning kasr qismlari bir xil bo‘lgani uchun ayirish davrni yo‘q qiladi.
Muqobil usul: (16−1)/90 = 15/90 = 1/6.
⚠️ 0,1(6) ni 0,(16) deb qabul qilish davr boshlanish joyini o‘zgartirib yuboradi.
💡 Maslahat: 60 ning tub ko‘paytuvchilarini tekshiring.
✅ Javob: 0,28(3)
Nega bu usul ishlaydi: Chekli yozuv mezoni maxrajning tub ko‘paytuvchilariga qarab darhol xulosa beradi.
⚠️ Maxrajda 2 va 5 borligi yetarli emas; ulardan boshqa tub ko‘paytuvchi bo‘lmasligi kerak.
💡 Maslahat: √2 ≈ 1,41421356…
✅ Javob: 1,41 < 1,4142 < √2
Nega bu usul ishlaydi: Haqiqiy sonlarni bir xil aniqlikdagi o‘nli yaqinlashuv orqali taqqoslash mumkin.
Muqobil usul: Kvadratlarni solishtirish ham mumkin: musbat sonlarda a<b iff a²<b².
⚠️ √2 ni aynan 1,4142 ga teng deb olish — yaqinlashuvni tenglik bilan adashtirish.
❌ Qo‘shish/ayirishda raqamlarni o‘ng chetdan tekislash.
O‘nli kasrlarda xona qiymati vergulga bog‘liq.
✅ Vergullarni ustma-ust joylashtiring va yetishmagan oxirgi xonalarga nol qo‘shing.
3,4 + 0,27 → 3,40 + 0,27
❌ Ko‘proq raqamli o‘nli kasr kattaroq deb o‘ylash.
Raqamlar soni emas, birinchi farq qiluvchi xona qiymati hal qiladi.
✅ Butun qismdan boshlab mos xonalarni taqqoslang.
0,9 > 0,81
❌ 0,(3) = 3/10 deb yozish.
3/10 = 0,3 va u chekli; 0,(3) esa 0,333…
✅ Davriy qismni algebraik ayirish yoki 9-lar formulasi bilan yo‘qoting.
0,(3)=3/9=1/3
❌ 0,1(6) dagi davrni 16 deb olish.
Qavs faqat takrorlanadigan blokni ko‘rsatadi; 1 davrdan oldingi qism.
✅ Davrdan oldingi va davriy bloklarni alohida belgilang.
0,1(6)=0,1666…
❌ Irratsional sonning o‘nli yaqinlashuvini aniq qiymat deb yozish.
Yaqinlashtirishda ma’lumotning bir qismi tashlab ketiladi.
✅ ≈ belgisidan foydalaning.
π ≈ 3,1416, lekin π ≠ 3,1416
Har bir cheksiz o‘nli kasr irratsional.
Yo‘q. Cheksiz davriy o‘nli kasrlar ratsional; faqat cheksiz va davriy bo‘lmagan yozuv irratsional.
0,(9) 1 dan kichik.
0,(9)=1. Masalan x=0,(9) desak, 10x−x=9 va x=1.
Haqiqiy sonlar faqat o‘nli kasrlardir.
O‘nli yozuv — sonni tasvirlash usuli. Butun sonlar, oddiy kasrlar va irratsional sonlar ham haqiqiy sonlardir.
Kasrning maxraji katta bo‘lsa, son har doim kichik.
Bu faqat bir xil musbat suratli ayrim kasrlarda to‘g‘ri. Umumiy taqqoslashda surat ham hisobga olinadi.
Narx, chegirma, foiz, valyuta va hisob-kitoblarda o‘nli aniqlik ishlatiladi.
Uzunlik, massa, vaqt va harorat natijalari ko‘pincha o‘nli sonlarda qayd etiladi.
Tajriba natijalari yaqinlashtiriladi; aniqlik va xatolik tushunchalari haqiqiy sonlar bilan bog‘liq.
Sensor qiymatlari, statistika va ko‘rsatkichlar real sonli ma’lumot sifatida qayta ishlanadi.
Diagonal, aylana uzunligi va boshqa o‘lchovlarda √2, π kabi irratsional sonlar tabiiy ravishda paydo bo‘ladi.
Cheat sheet: 1) verguldan keyingi n ta xona maxraji 10^n bo‘lgan kasrni bildiradi; 2) qo‘shish-ayirishda vergullar tekislanadi; 3) 10^n ga ko‘paytirishda vergul n xona o‘ngga siljiydi; 4) davriy kasrda davrni yo‘qotish uchun 10 ning mos darajalariga ko‘paytirib tenglamalarni ayiramiz; 5) qisqartirilgan p/q kasrning maxraji faqat 2 va 5 tub ko‘paytuvchilaridan iborat bo‘lsa, o‘nli yozuv chekli; 6) Q ⊂ R va irratsional sonlar R\Q ga tegishli.
Keyingi bosqichda ratsional sonlar, darajalar va ildizlar, algebraik ifodalar hamda tenglamalarda haqiqiy sonlar xossalaridan foydalaniladi.