MathTest.uz
Stereometriya

Prizma

Nima uchun muhim?

Prizma mavzusi stereometriyada asosiy geometrik shakllardan biri boʻlib, unda koʻp qirrali sirtlar va ularning xossalari oʻrganiladi. Bu mavzu boshqa mavzular — masalan, hajm va yuzani hisoblash, shuningdek, parallel перенос va simmetriya tushunchalari bilan bevosita bogʻliq. Milliy sertifikat va SAT imtihonlarida prizma bilan bogʻliq masalalarni uchratish mumkin, chunki ular real hayotdagi obyektlar (masalan, quti, bino) bilan bogʻliq boʻlib, matematikani amaliyotga tatbiq qilishga yordam beradi.

O'quv maqsadlari

  • Prizmaning asosiy elementlarini (asos, yon tomonlar, balandlik) aniqlay olish.
  • Prizmaning hajmini asosining yuzini balandligiga koʻpaytirish orqali hisoblay olish.
  • Prizmaning yon yuzasini yon tomonlarining yigʻindisidan hisoblay olish.
  • Toʻgʻri prizma va egri prizma oʻrtasidagi farqni tushunib olish.
  • Prizma bilan bogʻliq real hayotiy masalalarni yechish uchun matematikani qoʻllay olish.
Prizma — bu ikki parallel va teng koʻpburchakli asosga ega boʻlgan geometrik shakl boʻlib, uning yon tomonlari toʻgʻri toʻrtburchaklardir. Bu tushuncha qadimiy yunon matematiklari tomonidan oʻrganilgan boʻlib, ularning asarlarida parallel kesimlar va koʻp qirrali sirtlar haqida maʼlumotlar mavjud. Intuitiv jihatdan prizmani „quti“ yoki „ustun“ sifatida tasavvur qilish mumkin: uning asoslari bir xil shaklda va parallel, yon tomonlari esa toʻgʻri toʻrtburchaklar. Formal ta’rifga oʻtishdan oldin, prizma asoslarining shakli boʻyicha turli xil boʻlishi mumkinligini taʼkidlash lozim: ular uchburchak, toʻrtburchak, beshburchak va hokazo boʻlishi mumkin, ammo asosiy shart — ular parallel va teng boʻlishidir.

Ta'riflar

Prizma

Prizma — bu ikki parallel va teng koʻpburchakli asosga ega boʻlgan geometrik shakl boʻlib, uning yon tomonlari parallelogrammalardan iboratdir. Agar yon tomonlari toʻgʻri toʻrtburchak boʻlsa, u toʻgʻri prizma deyiladi.

Prizma ikki xil shakldagi parallel yuzalarga ega boʻlgan „quti“ yoki „ustun“dir. Uning asoslari bir xil koʻrinishda va parallel, yon tomonlari esa toʻgʻri toʻrtburchaklar yoki parallelogrammalardir.

Misol: Toʻrtburchakli prizma: uning asoslari teng va parallel toʻrtburchaklardir, yon tomonlari esa toʻgʻri toʻrtburchaklardir.

Bu emas: Konus — bu prizma emas, chunki uning asosiy yuzasi aylana boʻlib, parallel emas.

💡 Agar prizmaning yon tomonlari toʻgʻri toʻrtburchak boʻlsa, u toʻgʻri prizma deyiladi. Aks holda, u egri prizma hisoblanadi.

Toʻgʻri prizma

Toʻgʻri prizma — bu prizma boʻlib, uning yon tomonlari asoslarga perpendikulyar boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchaklardir.

Toʻgʻri prizma — bu „toʻgʻri“ quti yoki ustun boʻlib, uning yon tomonlari asoslarga toʻgʻri keladi va toʻgʻri toʻrtburchak shaklda boʻladi.

Misol: Kub — bu toʻgʻri prizma boʻlib, uning barcha tomonlari teng va toʻgʻri toʻrtburchaklardir.

Bu emas: Uchburchakli prizma, uning yon tomonlari asoslarga perpendikulyar boʻlmasa, toʻgʻri prizma hisoblanmaydi.

💡 Toʻgʻri prizma uchun yon yuzani hisoblash osonroq, chunki yon tomonlari toʻgʻri toʻrtburchaklardir.

Prizmaning hajmi

Prizmaning hajmi $V$ formulasi orqali hisoblanadi: $V = B \cdot h$, bunda $B$ — asosning yuzi, $h$ — prizmaning balandligi.

Prizmaning hajmini uning asosining yuzini balandligiga koʻpaytirish orqali hisoblaymiz. Bu formula prizmaning „ichidagi“ boʻshliqni oʻlchash uchun ishlatiladi.

Misol: Asosining yuzi $20 \text{ sm}^2$ va balandligi $10 \text{ sm}$ boʻlgan toʻrtburchakli prizmaning hajmi: $V = 20 \cdot 10 = 200 \text{ sm}^3$.

Bu emas: Agar asosning yuzi va balandlikni notoʻgʻri koʻpaytirsak, masalan, $20 \cdot 5 = 100 \text{ sm}^3$, bu notoʻgʻri hisoblanadi, chunki balandlik notoʻgʻri olingan.

💡 Hajmni hisoblashda birliklarni eʼtiborga olish muhim: agar asosning yuzi sm² da, balandlik sm da boʻlsa, hajm sm³ da boʻladi.

Fundamental tushunchalar

Prizmaning asosiy elementlari

Prizma uchta asosiy elementdan iborat: asoslar, yon tomonlar va balandlik. Asoslar — bu parallel va teng koʻpburchakli yuzalar. Yon tomonlar — bu asoslarni bir-biriga ulaydigan parallelogrammalardan iborat yuzalar. Balandlik — bu ikki asos oʻrtasidagi perpendikulyar masofa.

$Asosning yuzi $B$, yon yuzaning yigʻindisi $L$, balandlik $h$$

{"Asoslar parallel va tengdir.","Yon tomonlar parallelogrammalardan iboratdir.","Balandlik ikki asos oʻrtasidagi perpendikulyar masofadir."}

Prizmaning yon yuzasi

Prizmaning yon yuzasi uning yon tomonlarining yigʻindisidan iboratdir. Toʻgʻri prizma uchun yon yuzani hisoblash osonroq, chunki yon tomonlari toʻgʻri toʻrtburchaklardir. Yon yuzani hisoblash uchun asosiy formula: $L = P \cdot h$, bunda $P$ — asosning perimetri, $h$ — balandlik.

$Yon yuzaning yigʻindisi $L = P \cdot h$$

{"Toʻgʻri prizma uchun yon yuzani hisoblashda asosiy perimetr va balandlik ishlatiladi.","Egri prizma uchun yon yuzani hisoblash murakkabroq boʻladi, chunki yon tomonlari parallelogrammalardir."}

Prizmaning hajmi va yuzasi oʻrtasidagi farq

Prizmaning hajmi uning ichidagi boʻshliqni oʻlchaydi, ya’ni uning sigʻimini bildiradi. Hajm formulasi $V = B \cdot h$ boʻlib, u asosning yuzini balandligiga koʻpaytirish orqali hisoblanadi. Prizmaning yuzasi esa uning tashqi qoplamasini oʻlchaydi, ya’ni uning barcha yuzalarining yigʻindisidan iboratdir. Yuzani hisoblash uchun asosiy formula: $S = 2B + L$, bunda $B$ — asosning yuzi, $L$ — yon yuzaning yigʻindisi.

$Hajm $V = B \cdot h$, yuzasi $S = 2B + L$$

{"Hajm birlik hajmni oʻlchaydi (masalan, sm³).","Yuzasi birlik yuzani oʻlchaydi (masalan, sm²)."}

Prizma turlari

Prizmalar asosiy shakliga koʻra turli xil turlarga boʻlinadi. Eng keng tarqalgan turlari: uchburchakli prizma, toʻrtburchakli prizma, beshburchakli prizma va hokazo. Shuningdek, prizmalar toʻgʻri va egri turlarga boʻlinadi. Toʻgʻri prizma uchun yon tomonlar asoslarga perpendikulyar boʻlsa, egri prizma uchun yon tomonlar parallelogrammalardan iboratdir.

$Prizma turlari: uchburchakli prizma, toʻrtburchakli prizma, beshburchakli prizma$

{"Toʻgʻri prizma uchun yon tomonlar toʻgʻri toʻrtburchaklardir.","Egri prizma uchun yon tomonlar parallelogrammalardir."}

Formula kutubxonasi

Prizma yon sirti maydoni

$$S_{yon} = P_{asos} \cdot h$$
  • $S_{yon}$ — Prizmaning yon sirti maydoni
  • $P_{asos}$ — Prizma asosining perimetri
  • $h$ — Prizma balandligi

To'g'ri prizmaning yon sirti maydoni uning asos perimetri va balandligining ko'paytmasiga teng

Shart: Prizma to'g'ri prizma bo'lishi kerak

Xususiy holatlar: Agar prizma to'g'ri bo'lmasa, yon sirtni hisoblash uchun yon sirtning har bir qismini alohida hisoblab yig'ish kerak.

Prizma hajmi

$$V = S_{asos} \cdot h$$
  • $V$ — Prizma hajmi
  • $S_{asos}$ — Prizma asosining yuzasi
  • $h$ — Prizma balandligi

Prizma hajmi uning asos yuzasi va balandligining ko'paytmasiga teng

Shart: Prizma istalgan shakldagi asosga ega bo'lishi mumkin, lekin balandligi asosga perpendikulyar bo'lishi kerak

Xususiy holatlar: Agar prizma to'g'ri bo'lmasa, balandlikni asosiy perpendikulyar sifatida olish kerak.

To'g'ri prizma yon sirti maydoni (asos - n burchakli muntazam ko'pburchak)

$$S_{yon} = n \cdot a \cdot h$$
  • $n$ — Asosdagi burchaklar soni
  • $a$ — Asosning tomon uzunligi
  • $h$ — Prizma balandligi

To'g'ri prizmaning yon sirti maydoni uning asosidagi burchaklar soni, tomon uzunligi va balandligining ko'paytmasiga teng

Shart: Prizma to'g'ri bo'lishi va uning asosida muntazam n burchakli ko'pburchak bo'lishi kerak

Xususiy holatlar: Agar asos muntazam ko'pburchak bo'lmasa, asosiy formuladan foydalanish kerak.

Teoremalar va isbotlar

📐 Prizma hajmi tengligi

Agar ikki prizma asoslari teng yuzali va balandliklari teng bo'lsa, ularning hajmlari ham teng bo'ladi.

Agar ikki prizma bir xil asosga va bir xil balandlikka ega bo'lsa, ularning ichidagi hajm ham bir xil bo'ladi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Berilgan: V_1 = S_1 · h va V_2 = S_2 · h, bunda S_1 = S_2 va h_1 = h_2.

Isbotlash kerak: V_1 = V_2.

  1. 1-qadam: Prizma hajmi formulasi bo'yicha V_1 = S_1 · h_1 va V_2 = S_2 · h_2.
  2. 2-qadam: Berilgan shartlarga ko'ra S_1 = S_2 va h_1 = h_2.
  3. 3-qadam: V_1 = S_1 · h_1 = S_2 · h_2 = V_2.
  4. 4-qadam: Demak, V_1 = V_2.

Shunday qilib, ikki prizma asoslari teng yuzali va balandliklari teng bo'lsa, ularning hajmlari ham teng bo'ladi.

📐 Prizma yon sirti maydoni to'g'riligi

Agar prizma to'g'ri bo'lsa, uning yon sirti maydoni asos perimetri va balandligining ko'paytmasiga teng: S_{yon} = P_{asos} · h.

To'g'ri prizmaning yon sirtini ochib yoyganda, u to'g'ri to'rtburchak shaklini hosil qiladi, uning tomonlari asos perimetri va prizma balandligiga teng.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Berilgan: To'g'ri prizma, uning asos perimetri P_{asos}, balandligi h.

Isbotlash kerak: S_{yon} = P_{asos} · h.

  1. 1-qadam: To'g'ri prizmaning yon sirtini ochib yoyish mumkin, bu esa to'g'ri to'rtburchak hosil qiladi.
  2. 2-qadam: To'g'ri to'rtburchakning bir tomonining uzunligi asos perimetri P_{asos} ga, ikkinchi tomonining uzunligi esa prizma balandligi h ga teng.
  3. 3-qadam: To'g'ri to'rtburchakning yuzini hisoblash formulasi S = a · b bo'yicha, bu yerda a = P_{asos}, b = h.
  4. 4-qadam: Shunday qilib, yon sirt maydoni S_{yon} = P_{asos} · h.
  5. 5-qadam: Demak, teorema isbotlandi.

To'g'ri prizmaning yon sirti maydoni uning asos perimetri va balandligining ko'paytmasiga teng.

Yechilgan misollar

oson Prizma asosining tomonlari $a = 5$ sm va $b = 12$ sm bo'lgan to'g'ri to'rtburchakdir. Prizma balandligi $h = 8$ sm. Prizmaning hajmini toping.

💡 Maslahat: Prizmaning hajmi asos yuzasi bilan balandligini ko'paytirish orqali hisoblanadi.

  1. Asos yuzini hisoblang: $S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60$ sm².
  2. Hajmni hisoblang: $V = S \cdot h = 60 \cdot 8 = 480$ sm³.

✅ Javob: 480 sm³

Nega bu usul ishlaydi: Prizmaning hajmi uning asos yuzasi va balandligiga to'g'ridan-to'g'ri proporsionaldir.

Muqobil usul: Asos yuzini hisoblash uchun boshqa formuladan foydalanish mumkin, masalan, agar tomonlar o'lchamlari berilgan bo'lsa.

⚠️ Ko'pincha tomonlarni noto'g'ri ko'paytirish yoki balandlikni hisobga olishda xato qilinadi.

oson Asosi romb bo'lgan prizma berilgan. Rombning tomon uzunligi $a = 6$ sm, balandligi $h_r = 4$ sm va prizma balandligi $H = 10$ sm. Prizmaning hajmini toping.

💡 Maslahat: Rombning yuzini hisoblang va keyin prizma hajmini toping.

  1. Romb yuzini hisoblang: $S = a \cdot h_r = 6 \cdot 4 = 24$ sm².
  2. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot H = 24 \cdot 10 = 240$ sm³.

✅ Javob: 240 sm³

Nega bu usul ishlaydi: Rombning yuzini hisoblab, undan keyin prizma hajmini topish mumkin, chunki prizma hajmi asos yuzasi va balandligiga bog'liq.

Muqobil usul: Romb yuzini hisoblash uchun boshqa formuladan foydalanish mumkin, masalan, diagonallar orqali.

⚠️ Romb yuzini hisoblashda tomon va balandlikni noto'g'ri ko'paytirish mumkin.

oson To'g'ri uchburchak prizma berilgan. Asosning katetlari $a = 3$ sm va $b = 4$ sm, prizma balandligi $h = 12$ sm. Prizmaning to'la sirti va hajmini toping.

💡 Maslahat: Asos yuzini hisoblang, keyin to'la sirti va hajmni toping.

  1. Asos yuzini hisoblang: $S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ sm².
  2. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot h = 6 \cdot 12 = 72$ sm³.
  3. Asos perimetrini hisoblang: $P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 3 + 4 + 5 = 12$ sm.
  4. To'la sirti: $S_{to'la} = 2S + P \cdot h = 2 \cdot 6 + 12 \cdot 12 = 12 + 144 = 156$ sm².

✅ Javob: Hajm: 72 sm³, To'la sirt: 156 sm²

Nega bu usul ishlaydi: Prizmaning to'la sirti asos yuzlarining ikki barobariga va yon sirti yuzasiga teng.

Muqobil usul: To'la sirti uchun boshqa formuladan foydalanish mumkin, masalan, yon sirti yuzasini alohida hisoblab.

⚠️ Asos perimetrini hisoblashda gipotenuzani noto'g'ri hisoblash mumkin.

oson Asosi teng tomonli uchburchak bo'lgan prizma berilgan. Uchburchakning tomon uzunligi $a = 6$ sm, prizma balandligi $h = 10$ sm. Prizmaning hajmini toping.

💡 Maslahat: Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblang va keyin prizma hajmini toping.

  1. Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblang: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}$ sm².
  2. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot 10 = 90\sqrt{3}$ sm³.

✅ Javob: 90√3 sm³

Nega bu usul ishlaydi: Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblab, undan keyin prizma hajmini topish mumkin.

Muqobil usul: Teng tomonli uchburchak yuzini boshqa formuladan foydalanib hisoblash mumkin.

⚠️ Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblashda √3 koeffitsientini unutish mumkin.

ortacha Asosi to'g'ri uchburchak bo'lgan prizma berilgan. Asosning katetlari $a = 5$ sm va $b = 12$ sm, prizma balandligi $h = 13$ sm. Prizmaning to'la sirti va hajmini toping.

💡 Maslahat: Asos yuzini hisoblang, keyin to'la sirti va hajmni toping.

  1. Asos yuzini hisoblang: $S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$ sm².
  2. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot h = 30 \cdot 13 = 390$ sm³.
  3. Asos perimetrini hisoblang: $P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 5 + 12 + 13 = 30$ sm.
  4. To'la sirti: $S_{to'la} = 2S + P \cdot h = 2 \cdot 30 + 30 \cdot 13 = 60 + 390 = 450$ sm².

✅ Javob: Hajm: 390 sm³, To'la sirt: 450 sm²

Nega bu usul ishlaydi: Prizmaning to'la sirti asos yuzlarining ikki barobariga va yon sirti yuzasiga teng.

Muqobil usul: To'la sirti uchun boshqa formuladan foydalanish mumkin, masalan, yon sirti yuzasini alohida hisoblab.

⚠️ Asos perimetrini hisoblashda gipotenuzani noto'g'ri hisoblash mumkin.

ortacha Asosi romb bo'lgan prizma berilgan. Rombning diagonallari $d_1 = 10$ sm va $d_2 = 24$ sm, prizma balandligi $H = 15$ sm. Prizmaning hajmini toping.

💡 Maslahat: Romb yuzini hisoblang va keyin prizma hajmini toping.

  1. Romb yuzini hisoblang: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120$ sm².
  2. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot H = 120 \cdot 15 = 1800$ sm³.

✅ Javob: 1800 sm³

Nega bu usul ishlaydi: Rombning yuzini hisoblab, undan keyin prizma hajmini topish mumkin, chunki prizma hajmi asos yuzasi va balandligiga bog'liq.

Muqobil usul: Romb yuzini tomonlar orqali hisoblash mumkin, lekin bu usul ancha murakkab.

⚠️ Romb yuzini hisoblashda diagonallarni noto'g'ri ko'paytirish mumkin.

ortacha To'g'ri uchburchak prizma berilgan. Asosning katetlari $a = 8$ sm va $b = 15$ sm, prizma balandligi prizma balandligi $h = 17$ sm. Prizmaning to'la sirti va hajmini toping.

💡 Maslahat: Asos yuzini hisoblang, keyin to'la sirti va hajmni toping.

  1. Asos yuzini hisoblang: $S = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 15}{2} = 60$ sm².
  2. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot h = 60 \cdot 17 = 1020$ sm³.
  3. Asos perimetrini hisoblang: $P = a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 8 + 15 + 17 = 40$ sm.
  4. To'la sirti: $S_{to'la} = 2S + P \cdot h = 2 \cdot 60 + 40 \cdot 17 = 120 + 680 = 800$ sm².

✅ Javob: Hajm: 1020 sm³, To'la sirt: 800 sm²

Nega bu usul ishlaydi: Prizmaning to'la sirti asos yuzlarining ikki barobariga va yon sirti yuzasiga teng.

Muqobil usul: To'la sirti uchun boshqa formuladan foydalanish mumkin, masalan, yon sirti yuzasini alohida hisoblab.

⚠️ Asos perimetrini hisoblashda gipotenuzani noto'g'ri hisoblash mumkin.

ortacha Asosi teng tomonli uchburchak bo'lgan prizma berilgan. Uchburchakning tomon uzunligi $a = 10$ sm, prizma balandligi $h = 20$ sm. Prizmaning to'la sirti va hajmini toping.

💡 Maslahat: Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblang va keyin prizma hajmi va to'la sirti uchun hisob-kitoblarni bajaring.

  1. Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblang: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 100 = 25\sqrt{3}$ sm².
  2. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot h = 25\sqrt{3} \cdot 20 = 500\sqrt{3}$ sm³.
  3. Asos perimetrini hisoblang: $P = 3a = 30$ sm.
  4. To'la sirti: $S_{to'la} = 2S + P \cdot h = 2 \cdot 25\sqrt{3} + 30 \cdot 20 = 50\sqrt{3} + 600$ sm².

✅ Javob: Hajm: 500√3 sm³, To'la sirt: (600 + 50√3) sm²

Nega bu usul ishlaydi: Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblab, undan keyin prizma hajmi va to'la sirti uchun hisob-kitoblarni bajarish mumkin.

Muqobil usul: Teng tomonli uchburchak yuzini boshqa formuladan foydalanib hisoblash mumkin.

⚠️ Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblashda √3 koeffitsientini unutish yoki noto'g'ri hisoblash mumkin.

murakkab Asosi romb bo'lgan prizma berilgan. Rombning tomon uzunligi $a = 13$ sm, diagonallarining nisbati $d_1 : d_2 = 5 : 12$, prizma balandligi $H = 14$ sm. Prizmaning hajmini toping.

💡 Maslahat: Diagonallar nisbatidan foydalanib, ularning uzunligini toping, keyin romb yuzini hisoblang va prizma hajmini toping.

  1. Diagonallar nisbatidan foydalanib, ularning uzunligini toping. $d_1 = 5k$, $d_2 = 12k$.
  2. Rombning tomon uzunligi orqali diagonallarni ifodalang: $a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} = \frac{\sqrt{25k^2 + 144k^2}}{2} = \frac{13k}{2}$.
  3. Shundan $k = 2$ sm, shuning uchun $d_1 = 10$ sm va $d_2 = 24$ sm.
  4. Romb yuzini hisoblang: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120$ sm².
  5. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot H = 120 \cdot 14 = 1680$ sm³.

✅ Javob: 1680 sm³

Nega bu usul ishlaydi: Diagonallar nisbatidan foydalanib ularning uzunligini topish va keyin romb yuzini hisoblash mumkin, chunki prizma hajmi asos yuzasi va balandligiga bog'liq.

Muqobil usul: Romb yuzini tomonlar orqali hisoblash mumkin, lekin bu usul ancha murakkab.

⚠️ Diagonallar nisbatidan foydalanib ularning uzunligini topishda xato qilish mumkin.

murakkab Asosi teng tomonli uchburchak bo'lgan prizma berilgan. Uchburchakning ichki chizilgan aylana radiusi $r = 2\sqrt{3}$ sm, prizma balandligi $h = 15$ sm. Prizmaning to'la sirti va hajmini toping.

💡 Maslahat: Teng tomonli uchburchakning ichki chizilgan aylana radiusi orqali tomon uzunligini toping, keyin prizma hajmi va to'la sirti uchun hisob-kitoblarni bajaring.

  1. Teng tomonli uchburchakning ichki chizilgan aylana radiusi: $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
  2. Shundan $a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$ sm.
  3. Teng tomonli uchburchak yuzini hisoblang: $S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 = 36\sqrt{3}$ sm².
  4. Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot h = 36\sqrt{3} \cdot 15 = 540\sqrt{3}$ sm³.
  5. Asos perimetrini hisoblang: $P = 3a = 36$ sm.
  6. To'la sirti: $S_{to'la} = 2S + P \cdot h = 2 \cdot 36\sqrt{3} + 36 \cdot 15 = 72\sqrt{3} + 540$ sm².

✅ Javob: Hajm: 540√3 sm³, To'la sirt: (540 + 72√3) sm²

Nega bu usul ishlaydi: Ichki chizilgan aylana radiusi orqali tomon uzunligini topish va keyin prizma hajmi va to'la sirti uchun hisob-kitoblarni bajarish mumkin.

Muqobil usul: Tomon uzunligini boshqa usuldan foydalanib topish mumkin, masalan, tashqi chizilgan aylana radiusi orqali.

⚠️ Ichki chizilgan aylana radiusi orqali tomon uzunligini topishda formula noto'g'ri ishlatilishi mumkin.

Umumiy xatolar

❌ Prizma balandligini topishda asos yuzasi bilan umumiy hajmni almashtirish

Prizma hajmi asos yuzasi va balandlikning ko'paytmasiga tengligini bilish kerak, lekin ba'zi o'quvchilar hajmni asos yuzasi bilan almashtirib yuborishadi.

✅ Prizma hajmi uchun V = S_{asos} * h formuladan foydalanish kerak, bu erda S_{asos} asos yuzasi, h esa balandlik.

To'g'ri: V = 10 * 5 = 50 sm³ (asos yuzasi 10 sm², balandlik 5 sm). Noto'g'ri: V = 10 * 10 = 100 sm³ (asos yuzasi va balandlikni almashtirib qo'yish)

❌ Prizma yon sirti uchun barcha yuzalarni qo'shib yuborish

O'quvchilar yon sirtni hisoblayotganda asosiy yuzalarni ham qo'shib yuborishadi, ammo yon sirt faqat yon tomonlar yig'indisidan iborat.

✅ Yon sirtni hisoblash uchun S_{yon} = P_{asos} * h formuladan foydalanish kerak, bu erda P_{asos} asos perimetri, h balandlik.

To'g'ri: P = 12 sm, h = 8 sm bo'lsa, S_{yon} = 12 * 8 = 96 sm². Noto'g'ri: S_{yon} = 12 * 8 + 2*10 = 116 sm² (asos yuzalarini qo'shib qo'yish)

❌ To'g'ri prizma va notekis prizmani farqlashda xato

O'quvchilar to'g'ri prizma va notekis prizmani farqlashda qiyinchilikka duch kelishadi va ularning xususiyatlarini aralashtirib yuborishadi.

✅ To'g'ri prizmada yon tomonlar asosga perpendikulyar bo'ladi va yon sirt to'g'ri to'rtburchaklardan iborat. Notekis prizmada yon tomonlar perpendikulyar emas.

To'g'ri prizma: kub, notekis prizma: asoslari parallel bo'lgan lekin yon tomonlari perpendikulyar bo'lmagan prizma

Noto'g'ri tasavvurlar

Prizma har doim kub yoki parallelopiped shaklida bo'ladi deb o'ylash

Prizma har qanday shakldagi asosga ega bo'lishi mumkin (uchburchak, beshburchak, doira va hokazo), asosiy shart asosiy tomonlarning parallel va teng bo'lishidir.

Prizma hajmi faqat kub uchun mavjud deb o'ylash

Har qanday prizma uchun hajmni hisoblash mumkin: V = S_{asos} * h, bu erda S_{asos} asos yuzasi, h balandlik.

Prizma yon sirtini hisoblashda asosiy yuzalarni ham kiritish kerak deb o'ylash

Prizma yon sirtiga faqat yon tomonlar kiradi, asosiy yuzalar yon sirtga kiritilmaydi. Umumiy sirt maydoni esa yon sirtga asosiy yuzalarni qo'shish orqali hisoblanadi.

Amaliy qo'llanilishi

Arxitektura va qurilish

Prizmalar binolar va inshootlarni loyihalashda asosiy geometrik shakllardan biri hisoblanadi. Masalan, to'g'ri prizma shaklidagi binolarni loyihalashda hajm va yuzalarni hisoblash uchun prizma formulasidan foydalaniladi.

Qadoqlash sanoati

Prizma shaklidagi qadoqlar ishlab chiqarishda material sarfini hisoblash uchun prizma hajmi va yuzasi formulasidan foydalaniladi. Misol uchun, to'g'ri to'rtburchakli qadoqning hajmini hisoblash uchun V = a * b * c formulasi ishlatiladi.

Kompyuter grafikasi va 3D modellashtirish

3D grafikada prizma shaklidagi obyektlarni yaratishda va ularning xususiyatlarini hisoblashda prizma formulasidan foydalaniladi. Masalan, virtual binolarni loyihalashda prizma geometriyasi asosiy hisoblanadi.

Prizma -- interaktiv 3D shakl

Sichqoncha/barmoq bilan aylantirib ko'ring.

Xulosa

Prizma — parallel va teng koʻpburchakli asoslarga ega boʻlgan geometrik shakl boʻlib, uning yon tomonlari toʻgʻri toʻrtburchaklardir. Prizmalar asoslarining shakliga koʻra turli xil boʻladi (uchburchakli, toʻrtburchakli, beshburchakli prizmalar). Prizmaning hajmi asosining yuzini balandligiga koʻpaytirish orqali hisoblanadi. Prizmaning yon yuzasi yon tomonlarining yigʻindisiga teng. Prizma toʻgʻri prizma va egri prizma turlarga boʻlinadi.

Ushbu mavzudan soʻng siz parallel kesimlar va simmetriya tushunchalarini oʻrganishingiz mumkin, chunki ular prizma kabi koʻp qirrali shakllarning xossalarini tushunishda muhim rol oʻynaydi.

Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang