Stereometriya

Shar

Nima uchun muhim?

Shar mavzusi stereometriyaning asosiy obyektlaridan biri boʻlib, insoniyat tarixida eng qadimiy geometrik shakllardan biri hisoblanadi. Ushbu mavzu doirasida sferalarni oʻrganish boshqa mavzular (masalan, aylanalar, konuslar, koordinatalar geometriyasi) bilan bevosita bogʻliqdir. Milliy sertifikat va SAT imtihonlarida sharlar bilan bogʻliq masalalar sirt maydoni, hajm, kesishuvchi tekisliklar va koordinatalar sistemasidagi ifodalar shaklida uchraydi. Ushbu mavzuni yaxshi oʻzlashtirish sizga uch oʻlchovli geometriyada muammolarni tahlil qilish va yechishda yordam beradi.

O'quv maqsadlari

Sharning asosiy elementlarini (markaz, radius, diametr) aniqlay olish va ularning oʻzaro bogʻliqligini tushunish.
Sharning sirt maydoni va hajmini berilgan radius yoki diametr orqali hisoblay olish.
Sharni koordinatalar sistemasida ifodalash va uning tenglamasini yozish.
Shar bilan bogʻliq geometrik masalalarni yechishda kesuvchi tekisliklar va aylanalarni qoʻllay olish.
Sharlar bilan bogʻliq real hayotiy masalalarni matematik modelga aylantirib, yechish.

Shar — bu uch oʻlchovli fazoda barcha nuqtalari maʼlum bir markazdan teng masofada joylashgan geometrik jismdir. Insoniyat tarixida sharlar astronomiya, meʼmorchilik va texnikada keng qoʻllanilgan. Masalan, qadimgi yunon olimlari Yer va boshqa sayyoralarni shar shaklida tasavvur qilishgan. Forma jihatidan shar aylanani oʻz oʻqi atrofida aylantirish natijasida hosil boʻladi. Bu mavzuni oʻrganish uchun avval aylanalar va ularning xossalarini yaxshi bilish lozim. Sharning asosiy xususiyati shundaki, uning har qanday kesmasi aylanadir. Bu xususiyat sharlarni boshqa geometrik jismlardan ajratib turuvchi asosiy belgidir. Shuningdek, sharlar koordinatalar geometriyasida oddiy ifodalar bilan tasvirlanadi, bu esa ularni hisoblashni osonlashtiradi.

Ta'riflar

Shar (Sphere)

Uch oʻlchovli Evklid fazosida barcha nuqtalari maʼlum bir $O$ nuqtadan $r$ masofada joylashgan nuqtalar toʻplami.

Shar — bu toʻp shaklidagi jism boʻlib, uning ichki qismi boʻsh, tashqi yuzasi esa silliq va egri chiziqdan iborat. Misol uchun, futbol toʻpi yoki Yer sharini koʻrish mumkin.

Misol: Radiusi $5$ sm boʻlgan sharning sirt maydoni $4\pi (5)^2 = 100\pi$ kvadrat santimetrga teng.

Bu emas: Radiusi $3$ sm boʻlgan doira — bu ikki oʻlchovli shakl boʻlib, u shar emas, chunki u uch oʻlchovli fazoda mavjud emas.

💡 Shar bilan aylanani chalkashtirib yubormaslik kerak: aylananing faqat yuzasi mavjud boʻlib, ichki qismi boʻsh emas.

Sirt maydoni (Surface Area of a Sphere)

Sharning tashqi yuzasini qoplash uchun kerak boʻlgan maydon, $A = 4\pi r^2$ formulasi bilan hisoblanadi.

Sharning yuzasini boʻshatib, tekislashtirganimizda uning maydoni $4\pi r^2$ ga teng boʻladi. Bu formula sharni qobiq qismining hajmini koʻrsatadi.

Misol: Radiusi $2$ metr boʻlgan sharning sirt maydoni $4\pi (2)^2 = 16\pi$ kvadrat metrga teng.

Bu emas: Radiusi $1$ metr boʻlgan doiraning yuzasi $\pi r^2 = \pi$ kvadrat metrga teng boʻlib, bu shar sirt maydoniga teng emas.

💡 Sirt maydonini hisoblanganda radiusning kvadratini olishni unutmang.

Hajm (Volume of a Sphere)

Shar ichidagi uch oʻlchovli fazoning oʻlchami, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ formulasi bilan hisoblanadi.

Sharning hajmi uning ichidagi boʻshliqning hajmini koʻrsatadi. Bu formula yordamida shar ichiga sigʻadigan suyuqlik yoki gaz miqdorini hisoblash mumkin.

Misol: Radiusi $3$ sm boʻlgan sharning hajmi $\frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi$ kubik santimetrga teng.

Bu emas: Radiusi $2$ sm boʻlgan doiraning yuzasi $\pi r^2 = 4\pi$ kvadrat santimetrga teng boʻlib, bu hajm hisobiga toʻgʻri kelmaydi.

💡 Hajmni hisoblanganda radiusning kubini olishni unutmang.

Fundamental tushunchalar

Sharning koordinatalar sistemasidagi ifodasi

Uch oʻlchovli koordinatalar sistemasida sharning markazi $(a, b, c)$ nuqtada joylashgan boʻlsa, uning tenglamasi $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ shaklida yoziladi. Bu tenglama sharning ichidagi barcha nuqtalarni aniqlaydi.

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$

{"Sharning markazi $(a, b, c)$ nuqtada joylashgan.","Radiusi $r$ ga teng.","Tenglama shakli doira tenglamasiga oʻxshash, ammo qoʻshimcha $z$ koordinatasi bilan."}

Shar bilan kesuvchi tekisliklar

Sharni istalgan tekislik bilan kesish natijasida aylanaviy kesma hosil boʻladi. Agar kesuvchi tekislik sharning markazidan oʻtmasa, kesma radiusi kichikroq boʻlgan aylanadir. Agar tekislik markazdan oʻtgan boʻlsa, kesma radiusi eng katta aylanadir (katta doira deb ataladi).

$Kesuvchi tekislikning tenglamasi: $Ax + By + Cz + D = 0$.$

{"Kesma har doim aylanadir.","Kesmaning radiusini hisoblash uchun sharning markazidan tekislikgacha boʻlgan masofa va sharning radiusidan foydalaniladi.","Katta doira — bu sharning markazidan oʻtuvchi kesma boʻlib, uning radiusi sharning oʻz radiusiga teng."}

Shar va aylanani aylantirish orqali hosil qilish

Shar aylanani oʻzining diametri boʻylab aylantirish orqali hosil qilinadi. Bu jarayonni matematik jihatdan ifodalash uchun aylananing tenglamasini oʻz oʻqi atrofida aylantirish kerak. Natijada sharning sirt maydoni va hajmi uchun formulalar hosil boʻladi.

$Aylananing tenglamasi: $x^2 + y^2 = r^2$. Aylantirish natijasida hosil boʻlgan sharning tenglamasi: $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$.$

{"Aylantirish natijasida hosil boʻlgan sharning sirt maydoni $4\\pi r^2$ ga teng.","Aylantirish natijasida hosil boʻlgan sharning hajmi $\\frac{4}{3}\\pi r^3$ ga teng.","Bu jarayon boshqa aylanaviy jismlar (masalan, konus, silindr) uchun ham qoʻllaniladi."}

Shar va boshqa geometrik jismlarning kesishishi

Shar boshqa geometrik jismlar (masalan, konus, silindr, kub) bilan kesishganda turli xil kesmalar hosil boʻladi. Masalan, sharning konus bilan kesishishi natijasida aylanaviy, ellips yoki giperbolik kesmalar hosil boʻlishi mumkin. Bu kesmalarni oʻrganish stereometriyaning boshqa mavzulariga oʻtish uchun asos boʻlib xizmat qiladi.

$Kesishuvchi jismlarning tenglamalari va ularning kombinatsiyasi orqali kesmaning shakli aniqlanadi.$

{"Shar va konusning kesishishi natijasida aylanaviy, ellips yoki boshqa kesmalar hosil boʻlishi mumkin.","Shar va silindrning kesishishi natijasida aylanaviy yoki toʻrtburchak kesmalar hosil boʻlishi mumkin.","Kesishuvchi jismlarning oʻzaro joylashishini oʻrganish uchun koordinatalar geometriyasidan foydalaniladi."}

Formula kutubxonasi

Shar sirtining yuzi

$$S = 4\pi r^2$$

$S$ — shar sirtining yuzi
$r$ — sharning radiusi

Shar sirtining yuzini uning radiusi orqali hisoblash formulasidir.

Shart: r > 0

Xususiy holatlar: Agar shar diametr orqali berilgan bo'lsa, $r = d/2$ dan foydalaniladi.

Shar hajmi

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

$V$ — shar hajmi
$r$ — sharning radiusi

Shar hajmini uning radiusi orqali hisoblash formulasidir.

Shart: r > 0

Xususiy holatlar: Agar shar diametr orqali berilgan bo'lsa, $r = d/2$ dan foydalaniladi.

Shar sirtining yuzi va hajmi orasidagi bog'lanish

$$S = \sqrt[3]{36\pi V^2}$$

$S$ — shar sirtining yuzi
$V$ — shar hajmi

Shar sirtining yuzini uning hajmi orqali ifodalash formulasidir.

Shart: V > 0

Xususiy holatlar: Maxsus holatlar mavjud emas.

Teoremalar va isbotlar

📐 Sharning o'zgarmasligi

Agar ikki sharning radiusi teng bo'lsa, ularning yuzlari va hajmlari ham teng bo'ladi.

Sharlarning kattaligi faqat radiusiga bog'liq, shakli esa o'zgarmas.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Ikkita shar berilgan: $Shar_1$ va $Shar_2$, ularning radiusi $r_1 = r_2 = r$

Isbotlash kerak: $S_1 = S_2$ va $V_1 = V_2$

Shar sirtining yuzi formulasi: $S = 4\pi r^2$.
Sharlarning radiusi teng bo'lgani uchun: $S_1 = 4\pi r^2 = S_2$.
Shar hajmi formulasi: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Sharlarning radiusi teng bo'lgani uchun: $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3 = V_2$.

Demak, ikki sharning radiusi teng bo'lsa, ularning yuzlari va hajmlari ham teng bo'ladi.

📐 Shar va uning ichidagi konus

Agar sharda ichki konus chizilgan bo'lsa, konusning hajmi sharning hajmining uchdan biriga teng.

Shar ichidagi konusning hajmi sharning umumiy hajmining uchdan biriga teng.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Shar ichida konus chizilgan, konusning asosi sharning katta doirasi, yuqori nuqtasi sharning yuqori nuqtasida.

Isbotlash kerak: Konusning hajmi sharning hajmining uchdan biriga teng.

Shar hajmi: $V_{shar} = \frac{4}{3}\pi r^3$.
Konusning asosi sharning katta doirasi bo'lgani uchun uning radiusi $r$ ga teng.
Konusning balandligi sharning diametriga teng: $h = 2r$.
Konus hajmi formulasi: $V_{konus} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2r = \frac{2}{3}\pi r^3$.
Shar hajmining uchdan biriga tengligini tekshirish: $\frac{1}{3}V_{shar} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{9}\pi r^3$.
Konusning haqiqiy hajmi: $V_{konus} = \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9}\pi r^3 = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}V_{shar}$.
Demak, konusning hajmi sharning hajmining uchdan biriga teng emas, balki uning 3/2 qismiga teng.

Konusning hajmi sharning hajmining 3/2 qismiga teng, ammo teoremaning asosiy g'oyasi shakllar o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatishdir.

Yechilgan misollar

oson Uchburchak asosli to'g'ri prizma berilgan. Asos tomonlari $a = 5$ sm, $b = 6$ sm, $c = 7$ sm va prizma balandligi $h = 10$ sm. Prizma hajmini hisoblang.

💡 Maslahat: Prizma hajmi asos yuzasi va balandlik ko'paytmasiga teng.

Asos yuzini hisoblang: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, bu yerda $p = \frac{a+b+c}{2}$.
p ni hisoblang: $p = \frac{5+6+7}{2} = 9$ sm.
Asos yuzini hisoblang: $S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ sm².
Prizma hajmini hisoblang: $V = S \cdot h = 6\sqrt{6} \cdot 10 = 60\sqrt{6}$ sm³.

✅ Javob: $60\sqrt{6}$ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Prizma hajmi uning asos yuzasi va balandligining ko'paytmasiga teng bo'lganligi uchun.

Muqobil usul: Asos yuzini Geron formulasidan foydalanmasdan, kosinuslar teoremasi yordamida topish mumkin.

⚠️ Prizma hajmini hisoblanganda asos yuzini hisoblamasdan to'g'ridan-to'g'ri asos tomonlarini ko'paytirish.

oson To'g'ri to'rtburchakli piramida berilgan. Asos tomonlari $a = 4$ sm, $b = 3$ sm va yon qirrasi $l = 5$ sm. Piramida hajmini hisoblang.

💡 Maslahat: Piramida hajmi asos yuzasi va balandlik ko'paytmasining uchdan biriga teng.

Asos yuzini hisoblang: $S = a \cdot b = 4 \cdot 3 = 12$ sm².
Piramida balandligini hisoblang. Buning uchun yon qirrasi va asosning yarim diagonali orqali to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiling.
Asos diagonali: $d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ sm.
Yarim diagonali: $d/2 = 2.5$ sm.
Balandlikni hisoblang: $h = \sqrt{l^2 - (d/2)^2} = \sqrt{25 - 6.25} = \sqrt{18.75} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ sm.
Piramida hajmini hisoblang: $V = \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ sm³.

✅ Javob: $10\sqrt{3}$ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Piramida hajmi uning asos yuzasi va balandligining ko'paytmasining uchdan biriga teng bo'lganligi uchun.

Muqobil usul: Balandlikni topish uchun koordinatalar geometriyasidan foydalanish mumkin.

⚠️ Piramida hajmini hisoblanganda asosiy formula $V = \frac{1}{3}Sh$ ni unutish.

oson Doira radiusi $R = 6$ sm bo'lgan shar berilgan. Shar hajmini hisoblang.

💡 Maslahat: Shar hajmi $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ formulasidan foydalaning.

Shar hajmi formulasini yozing: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
R ni qiymatini almashtiring: $V = \frac{4}{3}\pi (6)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$ sm³.

✅ Javob: $288\pi$ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Shar hajmi uning radiusi bilan bog'liq bo'lgan maxsus formula orqali hisoblanadi.

Muqobil usul: Shar hajmini integral hisob yordamida topish mumkin.

⚠️ Shar hajmini hisoblanganda $\frac{4}{3}$ koeffitsientini unutish.

oson Doira radiusi $R = 4$ sm bo'lgan shar yuzini hisoblang.

💡 Maslahat: Shar yuzasi $S = 4\pi R^2$ formulasidan foydalaning.

Shar yuzasi formulasini yozing: $S = 4\pi R^2$.
R ni qiymatini almashtiring: $S = 4\pi (4)^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi$ sm².

✅ Javob: $64\pi$ sm²

Nega bu usul ishlaydi: Shar yuzasi uning radiusi bilan bog'liq bo'lgan maxsus formula orqali hisoblanadi.

Muqobil usul: Shar yuzasini integral hisob yordamida topish mumkin.

⚠️ Shar yuzasini hisoblanganda $4\pi$ koeffitsientini unutish.

ortacha Doira radiusi $R = 5$ sm bo'lgan shar ichiga kiritilgan konusning hajmini hisoblang. Konusning balandligi shar markazidan $h = 3$ sm masofada joylashgan.

💡 Maslahat: Konusning asos radiusi va balandligini topish uchun geometrik chizmani ishlating.

Shar markazidan konusning asosiy tekisligigacha bo'lgan masofa $d = h = 3$ sm.
Konusning asos radiusi $r$ ni topish uchun Pifagor teoremasidan foydalaning: $r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ sm.
Konusning balandligini toping: $H = R + d = 5 + 3 = 8$ sm.
Konus hajmini hisoblang: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 8 = \frac{128}{3}\pi$ sm³.

✅ Javob: $\frac{128}{3}\pi$ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Konusning asos radiusi va balandligini topish uchun shar va konusning geometrik xususiyatlaridan foydalanilgan.

Muqobil usul: Konusning hajmini integral hisob yordamida topish mumkin.

⚠️ Konusning balandligini hisoblanganda shar markazidan masofani hisobga olishni unutish.

ortacha Doira radiusi $R = 8$ sm bo'lgan shar ichiga kiritilgan kubning hajmini hisoblang.

💡 Maslahat: Kubning diagonali shar diametriga teng ekanligini hisobga oling.

Kubning diagonali shar diametriga teng: $d = 2R = 16$ sm.
Kubning qirrasi $a$ ni topish uchun diagonali formulasidan foydalaning: $d = a\sqrt{3}$.
Shunday qilib, $a = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ sm.
Kub hajmini hisoblang: $V = a^3 = \left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4096 \cdot 3\sqrt{3}}{27} = \frac{4096\sqrt{3}}{9}$ sm³.

✅ Javob: $\frac{4096\sqrt{3}}{9}$ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Kubning diagonali shar diametriga teng bo'lganligi uchun kubning hajmini topish mumkin.

Muqobil usul: Kubning hajmini koordinatalar geometriyasidan foydalanib topish mumkin.

⚠️ Kubning diagonali formulasini noto'g'ri ishlatish.

ortacha Doira radiusi $R = 10$ sm bo'lgan shar yuzasining bir qismi sifatida berilgan sferik segmentning balandligi $h = 4$ sm. Segment yuzini hisoblang.

💡 Maslahat: Sferik segment yuzasi $S = 2\pi R h$ formulasidan foydalaning.

Sferik segment yuzasi formulasini yozing: $S = 2\pi R h$.
R va h ni qiymatini almashtiring: $S = 2\pi \cdot 10 \cdot 4 = 80\pi$ sm².

✅ Javob: $80\pi$ sm²

Nega bu usul ishlaydi: Sferik segment yuzasi uning radiusi va segment balandligiga bog'liq bo'lgan maxsus formula orqali hisoblanadi.

Muqobil usul: Segment yuzasini integral hisob yordamida topish mumkin.

⚠️ Segment yuzasini hisoblanganda $2\pi$ koeffitsientini unutish.

ortacha Doira radiusi $R = 7$ sm bo'lgan shar ichiga kiritilgan ikosaedrning hajmini hisoblang.

💡 Maslahat: Ikosaedrning hajmi $V = \frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3$ formulasidan foydalaning, bu yerda $a$ — qirra uzunligi.

Ikosaedrning qirrasi $a$ ni topish uchun shar radiusi bilan bog'liq formulasidan foydalaning: $R = \frac{a}{4}\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}$.
a ni ifodalang: $a = \frac{4R}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} = \frac{28}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}$ sm.
Ikosaedrning hajmini hisoblang: $V = \frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3$.
Hisoblangan qiymatlarni almashtiring va soddalashtiring.

✅ Javob: $\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})\left(\frac{28}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}\right)^3$ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Ikosaedrning hajmi uning qirrasi bilan bog'liq bo'lgan maxsus formula orqali hisoblanadi.

Muqobil usul: Ikosaedrning hajmini koordinatalar geometriyasidan foydalanib topish mumkin.

⚠️ Ikosaedrning qirrasi va shar radiusi o'rtasidagi bog'lanishni noto'g'ri hisoblamaslik.

murakkab Doira radiusi $R = 9$ sm bo'lgan shar ichiga kiritilgan konusning yon yuzasi eng katta bo'lishi uchun uning balandligini toping.

💡 Maslahat: Konusning yon yuzasi $S = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ bo'lib, bu yerda $r$ — konusning asos radiusi, $h$ — balandlik.

Konusning asos radiusi $r$ va balandligi $h$ o'rtasidagi bog'lanishni toping. Konusning asosiy kesimi bo'ylab chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalaning.
Shar radiusi orqali konusning asosiy kesimi bo'ylab chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi $2R = 18$ sm ekanligini hisobga oling.
Konusning asosiy kesimi bo'ylab chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning katetlari $r$ va $h$ bo'lishi uchun $r^2 + h^2 = (2R)^2 = 324$ deb yozing.
Konusning yon yuzasi $S = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} = \pi r \cdot 2R = 18\pi r$ ekanligini hisobga oling.
Konusning hajmi $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ bo'lishi uchun $h = \frac{3V}{\pi r^2}$ deb yozing.
$r^2 + h^2 = 324$ ni hisobga olib, $r^2 + \left(\frac{3V}{\pi r^2}\right)^2 = 324$ ni yeching.
Yon yuzani maksimal qilish uchun hosilani nolga tenglashtiring: $\frac{dS}{dr} = 0$.
Natijada $h = R\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ sm ekanligini toping.

✅ Javob: $9\sqrt{3}$ sm

Nega bu usul ishlaydi: Konusning yon yuzasini maksimal qilish uchun uning geometrik xususiyatlari va differensial hisobdan foydalanilgan.

Muqobil usul: Lagranj ko'paytuvchilar usulidan foydalanish mumkin.

⚠️ Konusning asosiy kesimi bo'ylab chizilgan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini noto'g'ri hisoblamaslik.

murakkab Doira radiusi $R = 12$ sm bo'lgan shar ichiga kiritilgan ikki konusning umumiy hajmini hisoblang. Konuslar umumiy asosiy tekislikda joylashgan va ularning balandliklari $h_1$ va $h_2$ bo'lib, $h_1 + h_2 = 2R = 24$ sm.

💡 Maslahat: Konuslarning umumiy hajmini hisoblanganda ularning asos radiusi va balandliklarini topish kerak.

Konuslarning umumiy asosiy tekislikda joylashganligini hisobga oling.
Har bir konusning asosiy radiusi $r$ ni topish uchun Pifagor teoremasidan foydalaning: $r = \sqrt{R^2 - d^2}$, bu yerda $d$ — konusning asosiy tekislikdan masofasi.
Konuslarning umumiy hajmini ifodalang: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 24 = 8\pi r^2$.
$r = \sqrt{R^2 - d^2}$ ni hisobga olib, $V = 8\pi (144 - d^2)$ ni oling.
Konuslarning umumiy hajmini maksimal qilish uchun $d = 0$ bo'lishi kerakligini toping.
Natijada $V = 8\pi \cdot 144 = 1152\pi$ sm³ ekanligini hisoblang.

✅ Javob: $1152\pi$ sm³

Nega bu usul ishlaydi: Konuslarning umumiy hajmini hisoblanganda ularning geometrik xususiyatlari va maksimal shartdan foydalanilgan.

Muqobil usul: Integral hisob yordamida umumiy hajmni topish mumkin.

⚠️ Konuslarning umumiy asosiy tekislikda joylashganligini hisobga olishni unutish.

Umumiy xatolar

❌ Shar yuzasi maydonini hisoblayotganda 4πr² o'rniga 2πr² yoki πr² formuladan foydalanish

Shar yuzasi maydonining to'g'ri formulasini eslashda xato qilish, chunki bu formulasiz sharning yuzasi hisoblanmaydi.

✅ Shar yuzasi maydoni uchun to'g'ri formula 4πr² ekanligini eslab, radiusni to'g'ri aniqlash va formulaga almashtirish.

Radiusi 5 sm bo'lgan shar yuzasi maydonini hisoblang: 4π(5)² = 4π·25 = 100π sm² (noto'g'ri: 2π·25=50π sm² yoki π·25=25π sm²)

❌ Shar hajmini hisoblayotganda 4/3πr³ o'rniga 4πr³ yoki πr³ formuladan foydalanish

Shar hajmining formulasini eslashda xato qilish, chunki bu formulasiz sharning hajmi hisoblanmaydi.

✅ Shar hajmi uchun to'g'ri formula 4/3πr³ ekanligini eslab, radiusni to'g'ri aniqlash va formulaga almashtirish.

Radiusi 3 sm bo'lgan shar hajmini hisoblang: 4/3π(3)³ = 4/3π·27 = 36π sm³ (noto'g'ri: 4π·27=108π sm³ yoki π·27=27π sm³)

Noto'g'ri tasavvurlar

Shar va doira bir xil narsa ekanligini tushunish

Shar - bu uch oʻlchamli jism (sferik sirt bilan oʻralgan), doira esa ikki oʻlchamli yuzaning bir qismi (aylanadagi nuqtalar toʻplami).

Sharning markazidan sirtdagi istalgan nuqtaga masofa sharning radiusiga teng ekanligini tushunish

Shar markazidan sirtdagi nuqtaga masofa radiusga teng, ammo shardan tashqaridagi nuqtalarga masofa radiusdan katta.

Amaliy qo'llanilishi

Geografiya va Kartografiya

Yer sharining yuzasi va hajmini hisoblashda shar geometriyasi qo'llaniladi. Masalan, Yer sharining yuzasi taxminan 510 million km² ni tashkil qiladi.

Astronomiya

Sayyoralarning shakli va o'lchamlarini hisoblashda shar geometriyasi ishlatiladi. Masalan, Yupiterning ekvatorial radiusi 71,492 km.

Mashinasozlik va Texnika

Shakldagi detallarni loyihalashda va ularning hajmini hisoblashda shar geometriyasi qo'llaniladi. Misol uchun, sharning yuzasi va hajmini hisoblab, material sarfini aniqlash mumkin.

Shar -- interaktiv 3D shakl

Sichqoncha/barmoq bilan aylantirib ko'ring.

Xulosa

Shar — bu markazdan teng masofada joylashgan nuqtalar toʻplami; uning har qanday kesmasi aylanadir; sirt maydoni $4\pi r^2$, hajmi esa $\frac{4}{3}\pi r^3$ formulalar bilan hisoblanadi; koordinatalar sistemasida $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ tenglamasi bilan ifodalanadi; sharlar aylanani oʻz oʻqi atrofida aylantirish orqali hosil qilinadi.

Sharlar mavzusini oʻrganishdan soʻng, siz konuslar va silindrlar kabi boshqa aylanaviy jismlarni oʻrganishni davom ettirishingiz mumkin, chunki ular ham aylanani aylantirish orqali hosil boʻladi va ularning xossalari sharga oʻxshash.

Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang