Tengsizlik aniq bitta qiymatni emas, ruxsat etilgan qiymatlar to‘plamini ifodalaydi. Budjet, tezlik limiti, yosh chegarasi, xavfsizlik oralig‘i, optimallashtirish va funksiyalar qiymatlar sohasi kabi vaziyatlar tengsizlik bilan modellashtiriladi. Bu mavzudagi interval, kesishma va belgi almashishi tushunchalari keyingi funksiya, modul, kvadrat tengsizlik va analiz mavzularining tayanchidir.
Ikki ifoda orasidagi <, >, ≤ yoki ≥ tartib munosabatini bildiruvchi matematik jumla.
Bir ifoda ikkinchisidan kichik, katta yoki teng bo‘lishi mumkinligini ko‘rsatadi.
Misol: $2x+1<7$.
Bu emas: $2x+1=7$ tenglama, tengsizlik emas.
💡 Yechim odatda bitta son emas, to‘plam.
Soddalashtirilgandan so‘ng $ax+b<c$, $ax+b≤c$, $ax+b>c$ yoki $ax+b≥c$ ko‘rinishga keladigan tengsizlik.
x ning darajasi 1 dan oshmaydigan tengsizlik.
Misol: $3x-5≥7$.
Bu emas: $x^2<4$ chiziqli emas.
💡 Ba’zi x²/x³ hadli ko‘rinishlar bekor bo‘lib chiziqli qolishi mumkin.
Tengsizlikni rost qiladigan noma’lum qiymati.
Shartga mos x.
Misol: $x>3$ da x=5 yechim.
Bu emas: $x>3$ da x=2 yechim emas.
💡 Barcha yechimlar birgalikda yechimlar to‘plamini beradi.
Tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha ruxsat etilgan qiymatlar to‘plami.
Barcha mos x lar.
Misol: $x≤2$ uchun $(-∞,2]$.
Bu emas: Faqat x=2 deb yozish to‘liq emas.
💡 Interval yoki sonlar o‘qi bilan ifodalanadi.
< yoki > belgili, chegara qiymatini o‘z ichiga olmaydigan tengsizlik.
Endpoint javobga kirmaydi.
Misol: $x<4$.
Bu emas: $x≤4$ qat’iy emas.
💡 Intervalda yumaloq qavs.
≤ yoki ≥ belgili, chegara qiymatini o‘z ichiga oladigan tengsizlik.
Endpoint ham yechim.
Misol: $x≥-1$.
Bu emas: $x>-1$ endpointni olmaydi.
💡 Intervalda finite endpoint uchun kvadrat qavs.
Real sonlar o‘qining ikki chegara orasidagi yoki bir tomonga cheksiz davom etuvchi uzluksiz qismi.
Yechimlar to‘plamining ixcham yozuvi.
Misol: $(2,5]$.
Bu emas: {2,5} faqat ikki nuqta.
💡 ∞ bilan har doim yumaloq qavs ishlatiladi.
Endpointlari kiritilmagan $(a,b)$ to‘plam.
$a<x<b$.
Misol: $(2,5)$.
Bu emas: $[2,5]$ yopiq.
💡 Strict inequality endpointni chiqaradi.
Ikki endpointi ham kiritilgan $[a,b]$ to‘plam.
$a≤x≤b$.
Misol: $[-1,3]$.
Bu emas: (-1,3) endpointlarni olmaydi.
💡 ≤ va ≥ endpointni oladi.
Faqat bitta endpoint kiritilgan interval.
$a<x≤b$ yoki $a≤x<b$.
Misol: $(2,7]$.
Bu emas: (2,7) ikkala endpoint ochiq.
💡 Bracket endpoint inclusionni ko‘rsatadi.
Bir noma’lum uchun bir nechta tengsizlikning bir vaqtda bajarilishi talab qilinadigan sistema.
Barcha shartlar birga rost bo‘lishi kerak.
Misol: $x>1$ va $x≤5$ → $(1,5]$.
Bu emas: Faqat bittasini yechish yetarli emas.
💡 Sistema mantiqan AND/kesishma.
Ikki yoki undan ortiq to‘plamga bir vaqtda tegishli elementlar to‘plami.
Ikkala intervalning umumiy qismi.
Misol: $(1,6)∩[3,8]=[3,6)$.
Bu emas: Union barcha qismlarni birlashtiradi.
💡 Sistemada aynan kesishma olinadi.
Noma’lum bir vaqtning o‘zida pastki va yuqori chegara bilan cheklangan $a<x≤b$ kabi yozuv.
x ikki chegara orasida.
Misol: $3<2x+7≤11$.
Bu emas: $x>3$ faqat bir tomonlama.
💡 Uchala qismga bir xil amal qo‘llanadi.
Real sonlar tartibini geometrik ko‘rsatuvchi chiziq.
Tengsizlik yechimini nuqta va nur bilan ko‘rsatadi.
Misol: x≥2: 2 da yopiq nuqta, o‘ngga nur.
Bu emas: x≥2 uchun 2 da ochiq nuqta noto‘g‘ri.
💡 Endpoint inclusionni vizual tekshirishga yordam beradi.
Yechimlar to‘plamiga kiradigan eng katta butun son.
Interval ichidagi o‘ngdagi eng katta integer.
Misol: $x<4.7$ → 4.
Bu emas: $x<4$ → 4 emas, 3.
💡 Strict endpointda floorga ehtiyot bo‘ling.
Yechimlar to‘plamiga kiradigan eng kichik natural son.
Intervaldagi birinchi natural qiymat.
Misol: $x>3.2$ → 4.
Bu emas: $x≥3$ → 4 emas, 3 (N ta’rifiga qarab).
💡 Platformada natural son kontekstiga mos nonnegative/positive konvensiyani savol shartidan tekshiring.
Berilgan shartlar ostida ifoda qabul qilishi mumkin bo‘lgan barcha qiymatlar to‘plami.
a,b yoki x intervaldan ifoda intervalini topish.
Misol: $1<x≤5$, $y=2x-3$ → $-1<y≤7$.
Bu emas: Faqat bitta y qiymati emas.
💡 Linear ifodada monotonicity endpointlarni aniqlaydi.
Cheklangan interval endpointlari orasidagi masofa $R-L$.
Ochiq/yopiq bo‘lish uzunlikni o‘zgartirmaydi.
Misol: (2,7] uzunligi 5.
Bu emas: 2+7=9 uzunlik emas.
💡 Cheksiz intervalning finite uzunligi yo‘q.
Tenglama tenglikni, tengsizlik esa qaysi tomon katta/kichikligini bildiradi.
$a
a<b bo‘lsa har qanday c uchun a+c<b+c; bir xil siljish nuqtalar tartibini o‘zgartirmaydi.
$a
c>0 bo‘lsa sonlar o‘qidagi yo‘nalish saqlanadi.
$a
c<0 bilan ko‘paytirish sonlar o‘qini 0 ga nisbatan akslantiradi; chap-o‘ng almashadi.
$a
Sabab manfiy scaling order-reversing transform ekanida.
$×(-1): < ↔ >$
< va > endpointni olmaydi; ≤ va ≥ endpointni oladi.
$x>a ↔ (a,∞); x≥a ↔ [a,∞)$
Cheksizlik real son emas, shuning uchun intervalda ∞ yonida kvadrat qavs bo‘lmaydi.
$(-∞,b], (a,∞)$
Qavs/kasrlar soddalashtirilib x li hadlar bir tomonga, constants boshqa tomonga yig‘iladi.
$Ax
Ax<B da A>0 bo‘lsa x<B/A, A<0 bo‘lsa x>B/A.
$A<0 ⇒ sign flip$
0·x<B kabi holatda tengsizlik barcha real sonlar uchun rost yoki hech qachon rost bo‘lmasligi mumkin.
$0
x² yoki x³ hadlar ikki tomonda/identitida bekor bo‘lsa final inequality linear qoladi.
$simplify first$
a<f(x)≤b degani a<f(x) VA f(x)≤b. Uchala qismga bir xil amal qo‘llash mumkin.
$a
Har inequality alohida interval beradi; sistema umumiy qismini oladi.
$S=S₁∩S₂∩…$
Masalan x>5 va x≤3 bir vaqtda bajarilmaydi, yechim ∅.
$(5,∞)∩(-∞,3]=∅$
Real interval topilgach savol integer/natural bo‘lsa faqat diskret nuqtalar ajratiladi.
$S∩Z yoki S∩N$
x<4 bo‘lsa eng katta integer 3; x≤4 bo‘lsa 4. Endpoint inclusion integer savollarda hal qiluvchi.
$< vs ≤$
y=mx+b, m>0 bo‘lsa x ortishi bilan y ortadi; m<0 bo‘lsa kamayadi.
$m>0 increasing, m<0 decreasing$
a va b mustaqil intervallarda bo‘lsa c₁a+c₂b ning min/max endpointlari koeffitsient ishoralariga qarab tanlanadi.
$L=c₁a+c₂b$
(L,R), [L,R], (L,R], [L,R) barchasining geometrik uzunligi R-L.
$length=R-L$
Linear tenglama va bound birga berilganda avval ruxsat etilgan interval, keyin integer/divisibility sharti orqali extrema topiladi.
$constraint + Z/N filter$
Ikki tomonga bir xil son qo‘shilsa tartib saqlanadi.
Xususiy holatlar: Ayirish c o‘rniga -c qo‘shishdir.
Musbat scaling tartibni saqlaydi.
Shart: c>0
Manfiy scaling tartibni teskari qiladi.
Shart: c<0
Musbat songa bo‘lish belgini saqlaydi.
Shart: c>0
Manfiy songa bo‘lish belgini almashtiradi.
Shart: c<0
Musbat coefficientda yo‘nalish saqlanadi.
Shart: A>0
Xususiy holatlar: ≤,>,≥ uchun analog.
Manfiy coefficientga bo‘lishda belgi almashadi.
Shart: A<0
Xususiy holatlar: ≤ belgisi ≥ ga aylanadi.
Tengsizlik 0<B jumlasiga aylanadi.
Xususiy holatlar: 0<B rost bo‘lsa barcha real x; aks holda ∅.
a kirmaydi, undan katta barcha sonlar.
Xususiy holatlar: x≥a → [a,∞).
b kirmaydi, undan kichik barcha sonlar.
Xususiy holatlar: x≤b → (-∞,b].
a ham yechim.
b ham yechim.
Ikki chegara birgalikda.
Shart: a<b
Barcha shartlarga bir vaqtda mos yechimlar.
Mos kelmaydigan ikki bound.
Shart: a≥b
Intervalning geometrik uzunligi.
Shart: R≥L
Xususiy holatlar: Endpoint ochiq/yopiqligi uzunlikni o‘zgartirmaydi.
O‘suvchi linear transform endpoint tartibini saqlaydi.
Shart: m>0
Xususiy holatlar: Endpoint inclusion ham saqlanadi.
Kamayuvchi transform endpoint tartibini almashtiradi.
Shart: m<0
Sum minimum/maximum endpointlar yig‘indisidan keladi.
Shart: Intervallar mustaqil va ochiq holatda
Xususiy holatlar: Yopiq endpointlar inclusionga qarab moslashadi.
Musbat coefficientlar minni pastki, maxni yuqori endpointdan oladi.
Shart: p,q>0
Negative coefficient uchun endpoint tanlovi teskari.
Shart: a,b mustaqil intervallarda
Xususiy holatlar: Max uchun a_max va b_min.
Real intervaldan faqat integer qiymatlar olinadi.
Real intervaldan natural qiymatlar olinadi.
Intervaldagi ketma-ket butun yechimlar yig‘indisi.
Shart: m≤n
Musbat ikki sonning fixed sum ostida producti teng taqsimotda maksimal.
Shart: u,v≥0
Xususiy holatlar: S toq integer bo‘lsa eng yaqin ikki integer olinadi.
Agar a<b bo‘lsa, istalgan real c uchun a+c<b+c.
Sonlar o‘qidagi barcha nuqtani bir xil masofaga surish chap-o‘ng tartibini o‘zgartirmaydi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
Agar a<b va c<0 bo‘lsa, ac>bc.
Manfiy songa ko‘paytirish sonlar o‘qini 0 ga nisbatan akslantirib, chap va o‘ngni almashtiradi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
Tengsizliklar sistemasining yechimlar to‘plami alohida tengsizliklar yechimlar to‘plamlarining kesishmasidir.
Sistema barcha shartlarni bir vaqtda talab qiladi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
$f(x)=mx+b$ chiziqli funksiya m>0 bo‘lsa tartibni saqlaydi, m<0 bo‘lsa tartibni teskarilaydi.
Slope ishorasi function increasing yoki decreasingligini belgilaydi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
u,v≥0 va u+v=S o‘zgarmas bo‘lsa, uv eng katta qiymatni u=v=S/2 da oladi; integer holatda eng yaqin integerlar tanlanadi.
Yig‘indi fixed bo‘lsa sonlarni tenglashtirish productni oshiradi.
Berilgan: Teorema shartlari.
Isbotlash kerak: Teorema xulosasini asoslash.
Teorema isbotlandi. ∎
💡 Maslahat: Ikki tomonga 7 qo‘shing.
✅ Javob: $x>7$, ya’ni $(7,\infty)$
Nega bu usul ishlaydi: Bir xil son qo‘shish tartibni saqlaydi.
⚠️ 7 endpoint yechim emas, chunki belgi >.
💡 Maslahat: Avval -x ni ajrating.
✅ Javob: $x\le-3$
Nega bu usul ishlaydi: Manfiy songa bo‘lish orderni teskari qiladi.
⚠️ -1 ga bo‘lganda ≥ ni ≤ ga almashtirmaslik eng ko‘p xato.
💡 Maslahat: x li hadlarni bir tomonga yig‘ing.
✅ Javob: $x\le1$
Nega bu usul ishlaydi: Qo‘shish/ayirish tengsizlik yo‘nalishini o‘zgartirmaydi.
⚠️ Hadni o‘tkazishda ishora xatosi qilmang.
💡 Maslahat: Qavsni oching.
✅ Javob: $x>11$
Nega bu usul ishlaydi: Distributiv soddalashtirishdan keyin oddiy linear inequality qoladi.
⚠️ 3 ni qavsdagi ikkala hadga ko‘paytiring.
💡 Maslahat: Ikkala tomonni yoying; x² lar bekor bo‘ladi.
✅ Javob: $x<0$
Nega bu usul ishlaydi: Ko‘rinishda x² bo‘lsa ham teng hadlar bekor bo‘lib linear inequality hosil bo‘ladi.
⚠️ Soddalashtirishdan oldin “kvadrat tengsizlik” deb klassifikatsiya qilmang.
💡 Maslahat: 45 musbat, shu sabab belgi o‘zgarmaydi.
✅ Javob: $x<6$
Nega bu usul ishlaydi: Musbat umumiy maxrajga ko‘paytirish inequality directionni saqlaydi.
⚠️ Musbat 45 ga ko‘paytirganda belgini almashtirmang.
💡 Maslahat: Uchala qismga bir xil amallarni qo‘llang.
✅ Javob: $-2<x\le2$, ya’ni $(-2,2]$
Nega bu usul ishlaydi: Compound inequality bir vaqtning o‘zida ikki boundni saqlaydi.
⚠️ Faqat bir tomonini yechib to‘xtamang.
💡 Maslahat: -4 ga bo‘lganda ikkala tengsizlik yo‘nalishi almashadi.
✅ Javob: $[-3,2]$
Nega bu usul ishlaydi: Negative scaling compound inequalitydagi har ikki relationni reverses qiladi.
⚠️ -4 ga bo‘lgach faqat bitta belgini almashtirish noto‘g‘ri.
💡 Maslahat: Har birini alohida yeching, so‘ng kesishma oling.
✅ Javob: $(1,6)$
Nega bu usul ishlaydi: Sistema AND demak ikkala intervalning umumiy qismi.
⚠️ Union emas, intersection oling.
💡 Maslahat: Negative coefficientga e’tibor bering.
✅ Javob: $(-\infty,-1)$
Nega bu usul ishlaydi: Ikkinchi shart birinchidan kuchliroq bound beradi.
⚠️ -2 ga bo‘lganda belgi almashishini unutmang.
💡 Maslahat: Avval real interval, keyin natural filtr.
✅ Javob: $10$
Nega bu usul ishlaydi: Continuous intervaldan keyin diskret natural qiymatlar ajratiladi.
⚠️ 4.6 ni natural yechim sifatida qabul qilmang.
💡 Maslahat: Strict upper boundni toping.
✅ Javob: $0$
Nega bu usul ishlaydi: Strict endpoint integer selectionda bir pog‘ona pastga tushishni talab qiladi.
⚠️ x<1 uchun 1 ni yechim deb olmang.
💡 Maslahat: 4 ga ko‘paytirib soddalashtiring.
✅ Javob: $-16$
Nega bu usul ishlaydi: Strict lower bounddan keyingi birinchi integer tanlanadi.
⚠️ -17 endpoint kirmaydi.
💡 Maslahat: Yoyishda x² hadlar bekor bo‘ladi.
✅ Javob: $4$ ta
Nega bu usul ishlaydi: Polynomial-looking expression linear inequalityga qisqaradi.
⚠️ x² ko‘rib darhol interval methodga o‘tish shart emas.
💡 Maslahat: Har inequality intervalini toping.
✅ Javob: $10$
Nega bu usul ishlaydi: Kesishma yopiq [1,4] bo‘lgani uchun ikkala endpoint integer yechim.
⚠️ Endpointlarni tashlab yubormang: ≤ va ≥ ularni kiritadi.
💡 Maslahat: 6 ga ko‘paytirib x² larni kuzating.
✅ Javob: $x<1$
Nega bu usul ishlaydi: Higher-degree terms aynan bekor bo‘lib linear inequality qoladi.
⚠️ x² borligi uchun quadratic formula ishlatmang.
💡 Maslahat: Kub ayirmalarni yoyib soddalashtiring.
✅ Javob: $x<1$
Nega bu usul ishlaydi: Kub va kvadrat hadlar strukturaviy ravishda bekor bo‘ladi.
⚠️ Uzun ko‘rinishdan qo‘rqib numerical guess qilmang.
💡 Maslahat: Bu ikki inequalityning kesishmasi.
✅ Javob: $(3,7)$
Nega bu usul ishlaydi: A>B>C degani A>B va B>C bir vaqtda.
⚠️ Faqat tashqi A>C ni tekshirish yetarli emas.
💡 Maslahat: Umumiy maxraj bilan soddalashtiring.
✅ Javob: $-5$
Nega bu usul ishlaydi: Kvadrat hadlar bekor bo‘lib upper bound hosil qiladi.
⚠️ -4 > -4.857 bo‘lgani uchun -4 yechim emas.
💡 Maslahat: O‘rta ifodani bitta kasrga keltiring.
✅ Javob: $4$
Nega bu usul ishlaydi: Interval uzunligi endpoint inclusionga bog‘liq emas.
⚠️ [4,8] da 5 ta integer bor, lekin interval uzunligi 4.
💡 Maslahat: Ikkala koeffitsient ham musbat.
✅ Javob: $(18,35)$
Nega bu usul ishlaydi: Musbat koeffitsientlarda minimum pastki, maximum yuqori endpointlardan keladi.
⚠️ Endpointlar strict bo‘lgani uchun 18 va 35 kirmaydi.
💡 Maslahat: Endpoint inclusionni saqlang.
✅ Javob: $(6,34]$
Nega bu usul ishlaydi: Pastki endpointlardan kamida biri strict, yuqori endpointlar ikkalasi ham included.
⚠️ 6 ni included deb yozmang.
💡 Maslahat: -b uchun endpointlar teskari.
✅ Javob: $(-3,7)$
Nega bu usul ishlaydi: Negative coefficient b ning minimum/maximum rolini almashtiradi.
⚠️ 2a-b minimumida b ning eng katta qiymati kerak.
💡 Maslahat: Min uchun a past, b yuqori; max uchun a yuqori, b past.
✅ Javob: $(-10,20]$
Nega bu usul ishlaydi: Mixed signs endpoint selectionni teskari qiladi.
⚠️ Barcha lower endpointlarni avtomatik minimumga qo‘ymang.
💡 Maslahat: y=3x-2 — slope musbat.
✅ Javob: $(4,10)$
Nega bu usul ishlaydi: Positive slope order va endpoint opennessni saqlaydi.
⚠️ x endpointlari kirmagani uchun y endpointlari ham kirmaydi.
💡 Maslahat: y=3-2x — slope manfiy.
✅ Javob: $[-7,1)$
Nega bu usul ishlaydi: Negative slope endpoint orderni reverses qiladi.
⚠️ x pastki endpointini y pastki endpointiga avtomatik moslamang.
💡 Maslahat: n uchun compound interval toping.
✅ Javob: $10$ ta
Nega bu usul ishlaydi: Continuous bounddan natural integer points sanaladi.
⚠️ 7 yoki 18 ni endpointga yaqinligi sabab kiritmang.
💡 Maslahat: Ikki xonali degani 10≤...≤99.
✅ Javob: $11$ ta
Nega bu usul ishlaydi: “Ikki xonali” so‘zi compound inequalityga tarjima qilinadi.
⚠️ 100 ni ikki xonali chegaraga qo‘shmang.
💡 Maslahat: Avval c ni maksimal qiling, keyin fixed-sum product.
✅ Javob: $81$
Nega bu usul ishlaydi: Fixed sumdagi product teng taqsimotda maksimal va sum c bilan ortadi.
⚠️ a=1,b=17 kabi uzoq juftlik productni kamaytiradi.
💡 Maslahat: y ni kamaytirish uchun x ni maksimal qiling, lekin parity shartini tekshiring.
✅ Javob: $19$
Nega bu usul ishlaydi: Bound va divisibility birga ishlatiladi; continuous maximum x=19 integer y bermaydi.
⚠️ Faqat x=19 ni qo‘yib y=17.5 ni qabul qilmang.
❌ Manfiy songa bo‘lganda belgini o‘zgartirmaslik.
Negative scaling tartibni teskarilaydi.
✅ <↔>, ≤↔≥ qilib almashtiring.
-2x>4 → x<-2.
❌ Musbat songa bo‘lganda ham belgini almashtirish.
Musbat scaling tartibni saqlaydi.
✅ Belgini o‘zgartirmang.
2x<8 → x<4.
❌ Strict endpointni intervalga kiritish.
< yoki > endpointni qanoatlantirmaydi.
✅ Yumaloq qavs/ochiq nuqta ishlating.
x<3 → (-∞,3).
❌ ≤ yoki ≥ endpointni tashlab yuborish.
Equality ham ruxsat etilgan.
✅ Finite endpointda kvadrat qavs/yopiq nuqta.
x≥2 → [2,∞).
❌ ∞ yonida kvadrat qavs ishlatish.
∞ real endpoint emas.
✅ ∞ bilan har doim yumaloq qavs.
[2,∞), not [2,∞].
❌ Sistema yechimida union olish.
Sistema barcha shartlarni bir vaqtda talab qiladi.
✅ Intersection oling.
x>1 va x<5 → (1,5).
❌ Qo‘sh tengsizlikning faqat bir tomonini yechish.
a<f(x)<b ikki alohida shartning kesishmasi.
✅ Uchala qismga amal qo‘llang yoki ikkiga ajrating.
3<2x+7≤11.
❌ Compound inequalityni negative songa bo‘lganda faqat bitta belgini almashtirish.
Ikkala relation ham negative scaling ostida reverse bo‘ladi.
✅ Har ikki belgini almashtirib, keyin tartibni qayta yozing.
-8≤-4x≤12 → -3≤x≤2.
❌ Qavsli ifodada koeffitsientni faqat bir hadga tarqatish.
Distributive law barcha hadlarga tatbiq etiladi.
✅ Qavsni to‘liq oching.
3(x+2)=3x+6.
❌ Kasrli linear tengsizlikda negative maxraj bor deb avtomatik belgi almashtirish.
Belgi faqat real amal sifatida negative songa ko‘paytirish/bo‘lishda almashadi; doimiy musbat LCD directionni saqlaydi.
✅ LCD ishorasini aniq biling.
Denominatorlar 2,3,6 bo‘lsa LCD=6>0.
❌ x² ko‘rindi degani avtomatik quadratic inequality.
Yuqori darajali hadlar bekor bo‘lishi mumkin.
✅ Avval to‘liq soddalashtiring.
x²+... > x²+... → linear.
❌ x<4 uchun eng katta integer 4 deyish.
Strict endpoint 4 ni chiqarib tashlaydi.
✅ Eng katta integer 3.
x≤4 bo‘lsagina 4.
❌ Real interval topib natural/integer savolni shu yerda tugatish.
Savol diskret domen talab qiladi.
✅ S∩Z yoki S∩N ni ajrating.
x<4.6 → naturallar 1,2,3,4.
❌ Interval uzunligini undagi integerlar soni bilan aralashtirish.
Geometrik uzunlik R-L, integer count boshqa tushuncha.
✅ Endpointlar farqini oling.
[4,8] uzunligi 4, integerlar soni 5.
❌ Linear range’da negative coefficient endpointlarini noto‘g‘ri tanlash.
-b b ortganda kamayadi.
✅ Negative coefficient uchun min/max endpoint rollarini almashtiring.
2a-b minimumida b maksimal olinadi.
❌ m<0 bo‘lgan y=mx+b da x chap endpointini y chap endpointiga moslash.
Kamayuvchi funksiya interval yo‘nalishini reverses qiladi.
✅ Endpointlarni f orqali hisoblab tartiblang.
x∈(1,5], y=3-2x → [-7,1).
❌ Integer optimizatsiyada continuous optimumni avtomatik qabul qilish.
Natural/butun va divisibility shartlar continuous optimumni taqiqlashi mumkin.
✅ Nearest feasible integerni tekshiring.
x<20, parity talab qilsa x=18.
❌ Fixed-sum productda sonlarni uzoqlashtirish productni oshiradi deb o‘ylash.
Fixed sum ostida product tenglashganda maksimal.
✅ Sonlarni imkon qadar teng oling.
a+b=18 → max ab=9·9=81.
Tengsizlik ham tenglama kabi bitta javob beradi.
Tengsizlik odatda butun interval yoki to‘plam beradi.
Belgi almashishi shunchaki yodlanadigan istisno.
Bu manfiy scaling sonlar o‘qidagi tartibni teskari qilishi natijasidir.
x>3 va x≥3 deyarli bir xil, endpoint ahamiyatsiz.
Endpoint inclusion interval, integer count va extrema savollarida javobni o‘zgartiradi.
Sistema yechimi har bir inequality yechimlarining birlashmasi.
AND-system yechimi kesishma.
Cheksizlik interval endpointi sifatida kiritilishi mumkin.
∞ son emas; hech qachon closed bracket bilan yozilmaydi.
Polynomial-looking inequality doim polynomial methods talab qiladi.
Avval soddalashtirish kerak; bankdagi ko‘p x²/x³ misollar linearga qisqaradi.
Natural yechimlar soni interval uzunligiga teng.
Diskret nuqtalar soni endpoint va natural conventionga bog‘liq.
Linear ifoda range’da har doim lower endpointlar minimum beradi.
Negative coefficient yoki negative slope endpoint rolini reverses qiladi.
Interval ochiq/yopiq bo‘lishi uning geometrik uzunligini o‘zgartiradi.
Finite interval length har doim R-L.
Integer optimizationda faqat algebraik inequality yetarli.
Divisibility, parity va natural/integer shartlar ham final feasibilityni belgilaydi.
Xarajat “ko‘pi bilan” yoki daromad “kamida” bo‘lishi linear inequality bilan ifodalanadi.
Minimal/maksimal tezlik, yuk va toleranslar interval bilan beriladi.
O‘tish balli, yosh chegarasi va qualification talablarida endpoint inclusion muhim.
Mahsulot o‘lchami yoki sifat ko‘rsatkichi ruxsat etilgan intervalda bo‘lishi kerak.
Input intervaldan output range topish linear transformation va monotonicityga tayanadi.
Bound va integer constraints ostida eng katta/kichik feasible qiymat tanlanadi.
if-conditionlar, range validation va constraint checking tengsizlik mantiqiga asoslanadi.
Yarim tekisliklar va keyingi linear programming mavzulari inequality solution-set fikrini 2D ga kengaytiradi.
Manfiy scaling sababini, ochiq/yopiq endpointlarni va tengsizliklar sistemasining kesishma ekanini bitta vizual oqimda ko‘rsatadi.
Cheat sheet: 1) a<b ga bir xil c qo‘shilsa a+c<b+c; 2) c>0 bo‘lsa ac<bc; 3) c<0 bo‘lsa ac>bc — belgi almashadi; 4) x>a → (a,∞), x≥a → [a,∞), x<b → (-∞,b), x≤b → (-∞,b]; 5) sistema = kesishma; 6) a<x≤b → (a,b]; 7) interval endpointi strict bo‘lsa ochiq, ≤/≥ bo‘lsa yopiq; 8) butun/natural savolda intervaldan mos diskret qiymatlarni ajrating; 9) interval uzunligi R-L; 10) linear f(x)=mx+b monotone: m>0 bo‘lsa endpoint tartibi saqlanadi, m<0 bo‘lsa almashadi; 11) c1a+c2b range topishda koeffitsient ishoralarini hisobga oling; 12) final javobni original tengsizlikda va endpointlarda tekshiring.
Keyingi “Chiziqli funksiya” mavzusida tengsizliklarning sonlar o‘qidagi tartibi grafikdagi o‘sish-kamayish va qiymatlar sohasi bilan bog‘lanadi; keyinroq kvadrat va ratsional tengsizliklarda interval/kesishma fikri yana ishlatiladi.
Oldin bilishingiz kerak: Ratsional sonlar va ular ustida amallar, Chiziqli tenglamalar, Chiziqli tenglamalar sistemasi, Tenglama va tenglamalar sistemasi orqali yechiladigan matnli masalalar
Bog'liq mavzular: Nisbat, proporsiya, qism va foiz
Keyingi mavzular: Chiziqli funksiya, uning grafigi va xossalari