Ratsional sonlar — natural va butun sonlardan keyingi eng muhim kengayish. Qarzdorlik va foyda, haroratning noldan past qiymatlari, koordinatalar, ulushlar, tezliklar, narxlar va o‘lchovlar kabi ko‘plab real vaziyatlar musbat va manfiy ratsional sonlar orqali ifodalanadi. Bu mavzuni yaxshi bilmaslik tenglamalar, algebraik kasrlar, funksiyalar, geometriyadagi koordinatalar va deyarli barcha keyingi algebra mavzularida ishora xatolariga olib keladi.
$x=\frac{p}{q}$ ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lgan son, bunda $p,q\in\mathbb{Z}$ va $q\ne0$.
Ikki butun sonning nisbatida aniq yozish mumkin bo‘lgan barcha sonlar ratsional. Butun son ham ratsional, chunki masalan $-5=-5/1$.
Misol: $-7/4$, $3$, $0$, $2,125$, $0,(3)$
Bu emas: $\sqrt2$ va $\pi$ ratsional emas.
💡 Standart belgi: $\mathbb{Q}$. Q harfi quotient — nisbat so‘zidan kelib chiqqan.
Kasr chizig‘ining yuqorisida joylashgan va nechta ulush olinayotganini bildiruvchi butun son.
Surat — bizda nechta qism borligini ko‘rsatadi.
Misol: $\frac{-7}{12}$ da surat $-7$.
Bu emas: 12 bu kasrning surati emas, u maxraj.
💡 Manfiy ishorani suratga, maxrajga yoki butun kasr oldiga yozish mumkin: $-a/b=(-a)/b=a/(-b)$.
Kasr chizig‘ining pastida joylashgan, birlik nechta teng qismga bo‘linganini bildiruvchi nolga teng bo‘lmagan butun son.
Maxraj bir butun nechta teng qismga bo‘linganini ko‘rsatadi.
Misol: $\frac{5}{8}$ da maxraj $8$.
Bu emas: $\frac{3}{0}$ ratsional son emas.
💡 Maxraj hech qachon 0 bo‘la olmaydi.
Sonlar o‘qida 0 dan o‘ngda joylashgan ratsional son musbat, chapda joylashgani manfiy deyiladi.
Ishora sonning 0 ga nisbatan yo‘nalishini ko‘rsatadi.
Misol: $5/6>0$, $-3/4<0$.
Bu emas: 0 musbat ham, manfiy ham emas.
💡 Musbat son oldidagi + odatda yozilmaydi.
$|x|$ — sonlar o‘qida $x$ nuqtaning 0 dan masofasi. Shuning uchun $|x|\ge0$.
Modul ishorani emas, noldan qancha uzoqlikni o‘lchaydi.
Misol: $|-7/3|=7/3$, $|4|=4$.
Bu emas: $|-5|=-5$ noto‘g‘ri.
💡 Qarama-qarshi sonlarning moduli teng: $|a|=|-a|$.
$a$ soniga qarama-qarshi son $-a$ bo‘lib, ularning yig‘indisi 0 ga teng.
Sonlar o‘qida 0 ga nisbatan simmetrik nuqtalar qarama-qarshi sonlarni beradi.
Misol: $7/5$ va $-7/5$.
Bu emas: $7/5$ va $5/7$ qarama-qarshi emas.
💡 Har bir sonning yagona qarama-qarshi soni bor; 0 ning qarama-qarshisi yana 0.
Noldan farqli $a/b$ ratsional sonning teskarisi $b/a$ bo‘lib, ularning ko‘paytmasi 1 ga teng.
Surat bilan maxraj o‘rin almashadi; ishora saqlanadi.
Misol: $-3/5$ ning teskarisi $-5/3$.
Bu emas: 0 ning teskari soni mavjud emas.
💡 Bo‘lish — bo‘luvchining teskarisiga ko‘paytirish sifatida bajariladi.
Butun qism va to‘g‘ri kasr qismidan tashkil topgan yozuv.
Masalan 2 1/3 — ikki butun va yana uchdan bir.
Misol: $2\frac13=7/3$.
Bu emas: $7/3$ aralash yozuv emas, u noto‘g‘ri kasr.
💡 Amal bajarishdan oldin aralash sonni noto‘g‘ri kasrga aylantirish odatda qulayroq.
Ratsional sonlar sonlar o‘qida zich joylashgan: har qanday ikki turli ratsional son orasida yana ratsional son topish mumkin. Chapdagi son kichik, o‘ngdagi son katta.
$$a Manfiy sonlarda moduli kattaroq son sonlar o‘qida chaproqda bo‘ladi: masalan $-8<-3$.
Surat va maxrajni bir xil noldan farqli songa ko‘paytirish yoki bo‘lish kasr qiymatini o‘zgartirmaydi. Bu umumiy maxrajga keltirish va qisqartirishning asosidir.
$$\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb},\ k\ne0$$
Kasrni eng sodda ko‘rinishga keltirish uchun surat va maxrajning EKUBiga bo‘linadi.
Hisoblashda avval natija ishorasini aniqlab, so‘ng modullar ustida amal bajarish xatolarni kamaytiradi. Ayniqsa ko‘paytirish va bo‘lishda bu yondashuv juda qulay.
$sign + |x|$
Bir xil ishora ko‘paytirish/bo‘lishda musbat, turli ishora manfiy natija beradi.
Bir xil ishorali sonlar qo‘shilganda modullar qo‘shiladi va ishora saqlanadi. Turli ishoralarda katta moduldan kichigi ayiriladi va katta modulning ishorasi olinadi. Ayirish esa qarama-qarshi sonni qo‘shishga aylantiriladi.
$$a-b=a+(-b)$$
Kasrlarda oldin umumiy maxraj kerak.
Kasrlarni ko‘paytirishda suratlar o‘zaro, maxrajlar o‘zaro ko‘paytiriladi. Bo‘lishda ikkinchi kasr teskari qilinib ko‘paytiriladi.
$same sign → +; different sign → −$
Nolga bo‘lish taqiqlangan; lekin 0 ni noldan farqli ratsional songa bo‘lish mumkin va natija 0.
Aralash sonni amallarda ishlatishdan oldin noto‘g‘ri kasrga aylantirish ishora va maxraj bilan ishlashni standartlashtiradi.
$$m\frac{a}{b}=\frac{mb+a}{b}$$
Manfiy aralash sonlarda minus belgisi butun ifodaga tegishli: $-2\frac13=-7/3$.
Qavslar, daraja, ko‘paytirish/bo‘lish, qo‘shish/ayirish tartibi ratsional sonli ifodalarda ham saqlanadi. Bir xil ustuvorlikdagi amallar chapdan o‘ngga bajariladi.
$( ) → powers → ×,÷ → +,−$
Manfiy ishora va qavslarni birinchi bosqichda to‘g‘ri ochish ayniqsa muhim.
Ratsional sonning formal ta’rifini beradi.
Shart: q ≠ 0
Xususiy holatlar: Har bir butun son n=n/1 sabab ratsional.
Surat va maxrajni bir xil songa ko‘paytirish kasr qiymatini o‘zgartirmaydi.
Shart: b ≠ 0, k ≠ 0
Xususiy holatlar: Qisqartirish teskari yo‘nalishdagi ayni xossa.
Turli maxrajli ikki ratsional sonni bitta kasr ko‘rinishida birlashtiradi.
Shart: b ≠ 0, d ≠ 0
Xususiy holatlar: Agar b=d bo‘lsa, suratlar bevosita qo‘shiladi yoki ayiriladi.
Suratlar va maxrajlar alohida ko‘paytiriladi.
Shart: b ≠ 0, d ≠ 0
Xususiy holatlar: Ko‘paytirishdan oldin qarama-qarshi surat/maxrajlarni qisqartirish mumkin.
Bo‘lishni bo‘luvchining teskarisiga ko‘paytirishga aylantiradi.
Shart: b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0
Xususiy holatlar: 0 ga bo‘lish mumkin emas.
Aralash yozuvni standart kasr ko‘rinishiga o‘tkazadi.
Shart: b ≠ 0, 0 ≤ a < b
Xususiy holatlar: -m\frac{a}{b}=-\frac{mb+a}{b}.
Modul sonning 0 dan masofasini ifodalaydi.
Xususiy holatlar: |0|=0 va |−x|=|x|.
Musbat maxrajli kasrlarni umumiy maxrajsiz taqqoslash imkonini beradi.
Shart: b > 0, d > 0
Xususiy holatlar: Maxraj manfiy bo‘lsa, avval minusni suratga o‘tkazing.
Agar $a,b\in\mathbb{Q}$ bo‘lsa, u holda $a+b$, $a-b$ va $ab$ ham ratsional. Agar qo‘shimcha ravishda $b\ne0$ bo‘lsa, $a/b$ ham ratsional.
Ratsional sonlar ustida oddiy arifmetik amal bajarganimizda natija to‘plamdan chiqib ketmaydi.
Berilgan: $a=p/q$ va $b=r/s$, bunda $p,q,r,s\in\mathbb{Z}$, $q\ne0$, $s\ne0$.
Isbotlash kerak: To‘rt arifmetik amal natijalari yana butun sonlar nisbatida yozilishini ko‘rsatish.
Demak ko‘rsatilgan amallar natijasi yana ratsional son bo‘ladi. ∎
Ixtiyoriy $a,b\in\mathbb{Q}$ va $a<b$ uchun ular orasida kamida bitta ratsional son mavjud.
Sonlar o‘qida ikki ratsional nuqta qanchalik yaqin bo‘lmasin, ularning orasiga yana ratsional nuqta joylashtirish mumkin.
Berilgan: $a,b\in\mathbb{Q}$ va $a<b$.
Isbotlash kerak: a va b orasida ratsional son topish.
$m=(a+b)/2$ talab qilingan ratsional son. Jarayonni takrorlash orqali ular orasida cheksiz ko‘p ratsional son borligini ham ko‘rish mumkin. ∎
💡 Maslahat: Bir xil ishorali manfiy sonlarni avval birlashtirish mumkin.
✅ Javob: -20
Nega bu usul ishlaydi: Qo‘shish va ayirish bir xil ustuvorlikka ega, chapdan o‘ngga bajariladi. Manfiy sonni ayirish emas, bu yerda −5 alohida manfiy qo‘shiluvchi sifatida qaraladi.
Muqobil usul: Musbatlarni va manfiylarni guruhlash: (−18−5)+(1+2)=−23+3=−20.
⚠️ −18−5 ni −13 deb olish — manfiy sonni ayirish bilan manfiy qo‘shiluvchini adashtirish.
💡 Maslahat: Qavs oldidagi minus qarama-qarshi sonni beradi.
✅ Javob: 7
Nega bu usul ishlaydi: Manfiy sonni ayirish qarama-qarshi musbat sonni qo‘shishga teng.
Muqobil usul: 5+(−7)+9 tarzida yozish mumkin.
⚠️ Ikki minusni ko‘rib, barcha ishoralarni musbatga aylantirib yuborish noto‘g‘ri.
💡 Maslahat: Manfiy ko‘paytuvchilar sonini sanang.
✅ Javob: -72
Nega bu usul ishlaydi: Uchta manfiy ko‘paytuvchidan juftlik musbat beradi, bitta manfiy ishora qoladi.
Muqobil usul: Modullarni ko‘paytirib 6·4·3=72 toping, so‘ng 3 ta manfiy ishora bo‘lgani uchun natija manfiy.
⚠️ Faqat oxirgi amal ishorasiga qarab, oldingi manfiylar sonini unutish.
💡 Maslahat: Eng ichki ko‘paytirish va bo‘lishdan boshlang.
✅ Javob: 148
Nega bu usul ishlaydi: Qavs ichidagi amallar yakunlangach, tashqi ko‘paytirishda bir xil ishora musbat natija beradi.
Muqobil usul: Qavs ichida −(36+1)=−37 deb tezroq ko‘rish mumkin.
⚠️ −36+(−1) ni −35 deb olish — manfiy sonlarni qo‘shish qoidasini buzadi.
💡 Maslahat: Manfiy kasrni ayirish qo‘shishga aylanadi.
✅ Javob: -9
Nega bu usul ishlaydi: Ayirishni qarama-qarshi sonni qo‘shishga aylantirish ishoralarni aniq boshqarishga yordam beradi.
Muqobil usul: 1/2+1/2=1 ni avval hisoblash eng tez yo‘l.
⚠️ −(−3/6) ni −3/6 holicha qoldirish.
💡 Maslahat: Ichki kasrlarni 8 maxrajga keltiring.
✅ Javob: 1/2
Nega bu usul ishlaydi: Umumiy maxraj qo‘shish-ayirishni, oldindan qisqartirish esa ko‘paytirishni soddalashtiradi.
Muqobil usul: 15/8·4/15 da diagonal qisqartirish bilan darhol 1/2 olish mumkin.
⚠️ Qo‘shish vaqtida maxrajlarni ham qo‘shish: 13/8+1/2 ni 14/10 deb yozish.
💡 Maslahat: Avval ikkala aralash sonni noto‘g‘ri kasrga aylantiring.
✅ Javob: -21/10
Nega bu usul ishlaydi: Aralash sonlar standart kasrga aylantirilgach, bo‘lish teskari kasrga ko‘paytirish qoidasi bilan bajariladi.
Muqobil usul: −21/10 = −2 1/10 ko‘rinishida ham yozish mumkin.
⚠️ −13 5/7 ni (−13·7+5)/7 deb aylantirish; minus butun aralash songa tegishli.
💡 Maslahat: Qavs ichida 36 umumiy maxrajdan foydalaning.
✅ Javob: -1/6
Nega bu usul ishlaydi: Tashqi minus qavs ichidagi hisobdan keyin butun ko‘paytmaga ta’sir qiladi.
Muqobil usul: Ko‘paytirishdan oldin 17 ni qisqartirish hisobni juda tezlashtiradi.
⚠️ Tashqi minusni qavs ichiga noto‘g‘ri tarqatib yuborish yoki butunlay unutish.
💡 Maslahat: Bo‘lish qo‘shishdan oldin bajariladi.
✅ Javob: 28/9
Nega bu usul ishlaydi: Amallar tartibiga ko‘ra bo‘lish birinchi; bir xil ishorali bo‘lish musbat natija beradi.
Muqobil usul: 28/9 = 3 1/9.
⚠️ Avval −8/9 bilan −2/3 ni qo‘shish — amallar tartibini buzadi.
💡 Maslahat: Har bir kasrni avval soddalashtiring.
✅ Javob: -4
Nega bu usul ishlaydi: Murakkab ko‘rinishdagi kasrlarni avval soddalashtirish ishora va sonlarni boshqarishni osonlashtiradi.
Muqobil usul: Har bir ko‘paytmaning ishorasini alohida aniqlab, keyin modullarni hisoblash mumkin.
⚠️ Qavs oldidagi minusni unutish va 4 ni yakuniy javob deb yozish.
❌ $a-(-b)$ ni $a-b$ deb qoldirish.
Manfiy sonni ayirish qarama-qarshi musbat sonni qo‘shishga teng.
✅ $a-(-b)=a+b$ ko‘rinishga o‘tkazing.
$5-(-3)=8$.
❌ Ko‘paytirish yoki bo‘lishda ishora qoidasini amal turiga qarab turlicha deb o‘ylash.
Ko‘paytirish va bo‘lish uchun ishora qoidasi bir xil: bir xil ishora musbat, turli ishora manfiy.
✅ Avval ishorani, keyin modullarni hisoblang.
$(-12):(-3)=4$, $(-12):3=-4$.
❌ Kasrlarni qo‘shishda surat va maxrajlarni alohida qo‘shish.
$a/b+c/d$ umumiy maxraj talab qiladi; maxrajlar “ulush o‘lchami” bo‘lib, bevosita qo‘shilmaydi.
✅ Umumiy maxrajga keltiring yoki $(ad+bc)/bd$ formulasidan foydalaning.
$1/2+1/3=5/6$, $2/5$ emas.
❌ Kasrga bo‘lishda ikkala kasrni ham teskari qilish.
Faqat bo‘luvchi teskari qilinadi.
✅ $a/b:c/d=a/b·d/c$.
$2/3:4/5=2/3·5/4=5/6$.
❌ Aralash son oldidagi minusni faqat butun qismga qo‘llash.
$-2\frac13$ yozuvida minus butun aralash son qiymatiga tegishli.
✅ $-2\frac13=-7/3$ deb aylantiring.
$-2\frac13\ne-5/3$.
❌ Qo‘shiluvchilar orasida “qisqartirish” qilish.
Qisqartirish faqat ko‘paytuvchi sifatida turgan umumiy omillar orasida mumkin; qo‘shish/ayirish hadlari orasida emas.
✅ Avval yig‘indi yoki ayirmani bitta kasrga keltiring, keyin umumiy ko‘paytuvchini qisqartiring.
$1/2+1/4$ da 2 bilan 4 ni “qisqartirib” bo‘lmaydi.
Manfiy sonning moduli ham manfiy bo‘ladi.
Modul masofa bo‘lgani uchun hech qachon manfiy emas: $|-7|=7$.
Moduli katta bo‘lgan son har doim kattaroq.
Faqat musbat sonlarda shunday. Manfiy sonlarda moduli katta son chaproqda va kichikroq: $|-10|>|-3|$, lekin $-10<-3$.
Kasrning maxraji kattalashsa, kasr har doim kattalashadi.
Bir xil musbat suratli kasrlarda aksincha: maxraj kattalashsa ulushlar kichrayadi, masalan $1/8<1/4$.
0 ga bo‘lish natijasi 0.
0 ni noldan farqli songa bo‘lish 0 beradi, lekin noldan farqli sonni 0 ga bo‘lish aniqlanmagan. $0/5=0$, ammo $5/0$ mavjud emas.
Har bir ratsional sonni faqat bitta kasr bilan yozish mumkin.
Bir ratsional sonning cheksiz ko‘p ekvivalent kasr yozuvi bor: $1/2=2/4=50/100$.
Daromad va xarajat, foyda va zarar, qarz va balans musbat/manfiy ratsional sonlar orqali modellashtiriladi.
Noldan past haroratlar, dengiz sathidan past yoki yuqori balandliklar ishorali ratsional sonlar bilan ifodalanadi.
Tekislik va fazodagi koordinatalar musbat, manfiy va kasr qiymatli bo‘lishi mumkin; geometriya va grafiklar shu tizimga tayanadi.
Massa, uzunlik, vaqt, tezlik va ingredient miqdorlari ko‘pincha kasr yoki o‘nli ratsional sonlarda beriladi.
Hisoblangan nisbatlar, foizlar, o‘rtacha qiymatlar va ko‘plab statistik ko‘rsatkichlar ratsional sonlar bilan ishlashga tayanadi.
Yo‘nalishli kattaliklarda ishora, ulush va nisbatlar birga ishlatiladi; masalan tezlik komponentlari yoki zaryad qiymatlari.
Ratsional sonlar 0 ning ikki tomonida joylashadi; qarama-qarshi sonlar 0 dan teng masofada, turli tomonda yotadi.
Cheat sheet: 1) ratsional son x=p/q, p,q∈Z, q≠0; 2) |x| — x ning 0 dan masofasi; 3) bir xil ishorali sonlar qo‘shilganda modullar qo‘shilib, umumiy ishora saqlanadi; 4) turli ishorali sonlarda modullar ayiriladi va katta modulning ishorasi olinadi; 5) a−b=a+(−b); 6) ko‘paytirish/bo‘lishda bir xil ishora → musbat, turli ishora → manfiy; 7) kasrlarni qo‘shish/ayirishdan oldin umumiy maxraj, ko‘paytirishda esa imkon qadar oldindan qisqartirish foydali; 8) nolga bo‘lish mumkin emas.
Keyingi mavzu — nisbat, proporsiya, qism va foiz. U yerda ratsional sonlar yordamida ikki miqdorni solishtirish, ulush va foizlarni hisoblash hamda proporsional bog‘lanishlarni yechish o‘rganiladi.
Oldin bilishingiz kerak: Oddiy kasrlar va ular ustida amallar, O'nli kasrlar, davriy o'nli kasrlar. Haqiqiy sonlar ustida amallar
Bog'liq mavzular: Natural sonlar va ular ustida amallar
Keyingi mavzular: Nisbat, proporsiya, qism va foiz