MathTest.uz
Algebra

Oddiy kasrlar va ular ustida amallar

boshlangich 60 daqiqa oddiy kasrsurat va maxrajkasrni qisqartirishumumiy maxrajaralash son

Nima uchun muhim?

Non bo'lagini, pitsani, vaqtni ("yarim soat") ifodalash uchun butun sonlar yetarli emas — bizga BUTUNNING QISMINI ko'rsatuvchi son kerak: kasr. Oddiy kasrlar — "Natural sonlar", "$EKUB$ va $EKUK$" mavzularida o'rgangan bilimlaringizning birinchi jiddiy amaliy sinovi: kasrni qisqartirish uchun $EKUB$, kasrlarni qo'shish uchun umumiy maxraj ($EKUK$) kerak bo'ladi. Bu mavzu "O'nli kasrlar" va "Ratsional sonlar" mavzularining bevosita poydevori bo'lib, undan keyingi deyarli barcha algebra (algebraik kasrlar, tenglamalar, funksiyalar) shu ko'nikmalarga tayanadi.

O'quv maqsadlari

  • Kasrning surat va maxraj qismlarini, ularning ma'nosini tushunish
  • Kasrning asosiy xossasidan foydalanib teng kasrlar hosil qilish va kasrni qisqartirish
  • $EKUK$dan foydalanib turli maxrajli kasrlarni umumiy maxrajga keltirish
  • Kasrlar ustida qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish amallarini to'g'ri bajarish
  • Aralash son va noto'g'ri kasr orasida erkin o'tish, ularni amallarda to'g'ri qo'llash
Kasr — $a/b$ ko'rinishida yoziladigan son, bu yerda $a$ — SURAT (necha qism olinganini ko'rsatadi), $b$ — MAXRAJ (butun necha qismga bo'linganini ko'rsatadi, $b\neq 0$). Masalan, $3/4$ — butunning 4 ta teng qismidan 3 tasi. Kasrlarning eng muhim xossasi — "asosiy xossa": agar surat va maxrajni bir xil (noldan farqli) songa ko'paytirsangiz yoki bo'lsangiz, kasrning QIYMATI o'zgarmaydi. Aynan shu xossa kasrni qisqartirish ($\text{surat va maxrajni } EKUB\text{ga bo'lish}$) va umumiy maxrajga keltirish ($EKUK\text{dan foydalanib kengaytirish}$) imkonini beradi. To'rt amalning qoidalari bir-biridan farq qiladi: qo'shish/ayirish uchun UMUMIY MAXRAJ kerak, ko'paytirish uchun oddiy "surat×surat, maxraj×maxraj" yetarli, bo'lish esa ikkinchi kasrni "teskarisiga aylantirib" ko'paytirish orqali bajariladi. Bu qoidalarning nima uchun aynan shunday ekanini tushunish — shunchaki yodlashdan ko'ra ancha ishonchli bilim beradi.

Ta'riflar

Oddiy kasr

$\frac{a}{b}$ ko'rinishida yoziluvchi son, bu yerda $a$ va $b$ — butun sonlar, $b\neq 0$. $a$ — surat (numerator), $b$ — maxraj (denominator) deyiladi.

Butunning teng qismlarga bo'lingandan necha qismi olinganini ko'rsatuvchi son.

Misol: $\frac{3}{4}$ — 4 ta teng qismdan 3 tasi.

Bu emas: $3/0$ kasr EMAS — maxraj hech qachon 0 bo'la olmaydi (nolga bo'lish aniqlanmagan).

💡 Agar $|a|<|b|$ bo'lsa — to'g'ri kasr (proper fraction); agar $|a|\geq|b|$ bo'lsa — noto'g'ri kasr (improper fraction).

Qisqarmas kasr

Surat va maxrajining eng katta umumiy bo'luvchisi 1 ga teng bo'lgan kasr (ya'ni $EKUB(a,b)=1$) qisqarmas kasr deyiladi.

Yanada kichikroq sonlar bilan ifodalab bo'lmaydigan, 'eng sodda' shakldagi kasr.

Misol: $3/4$ — qisqarmas ($EKUB(3,4)=1$). $6/8$ — qisqaradigan, chunki $EKUB(6,8)=2$, qisqartirilgandan keyin $3/4$.

Bu emas: $6/8$ qisqarmas EMAS.

💡 Har qanday kasrni qisqarmas holga keltirish uchun surat va maxrajni ularning $EKUB$iga bo'lish kifoya.

Aralash son

Butun son va to'g'ri kasrning yig'indisi sifatida yoziladigan son, masalan $a\frac{b}{c}$ ($a$ — butun qism, $\frac{b}{c}$ — kasr qism, $b<c$).

Noto'g'ri kasrni 'qulayroq' ko'rinishda, butun va qoldiq qismga ajratib yozish.

Misol: $7/3 = 2\frac{1}{3}$ (2 butun va $1/3$ qism).

Bu emas: $2\frac{4}{3}$ aralash son sifatida NOTO'G'RI yozilgan — kasr qismi ($4/3$) to'g'ri kasr bo'lishi kerak ($4<3$ emas).

💡 Aralash sonni noto'g'ri kasrga aylantirish uchun: $(butun\times maxraj+surat)/maxraj$.

Fundamental tushunchalar

Teng kasrlar va kasrning asosiy xossasi

Agar kasrning surat va maxrajini bir xil noldan farqli songa ko'paytirsangiz yoki bo'lsangiz, kasrning QIYMATI (u ifodalagan miqdor) o'zgarmaydi — faqat uning YOZILISHI o'zgaradi. Bunday kasrlar 'teng kasrlar' deyiladi.

$a/b = \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k} \quad (k \neq 0)$

Bu xossa geometrik jihatdan — bitta pitsani 4 ta yoki 8 ta teng bo'lakka bo'lish, faqat 'necha bo'lak olganingiz' sonini o'zgartiradi, umumiy miqdorni emas.

Kasrni qisqartirish

Kasrni 'eng sodda' (qisqarmas) shaklga keltirish uchun surat va maxrajni ularning $EKUB(surat, maxraj)$iga bo'lish kerak. Bu jarayon kasrning qiymatini o'zgartirmaydi (asosiy xossaga ko'ra), faqat yozilishini soddalashtiradi.

$\frac{a \div \operatorname{EKUB}(a,b)}{b \div \operatorname{EKUB}(a,b)}$

Qisqartirilgan kasr har doim asl kasr bilan TENG (bir xil miqdorni ifodalaydi).

Umumiy maxrajga keltirish

Turli maxrajli kasrlarni qo'shish/ayirish/taqqoslash uchun ularni bir xil maxrajga (odatda $EKUK(maxrajlar)$) keltirish kerak. Har bir kasrni kerakli koeffitsientga ko'paytirib, maxrajni $EKUK$ga tenglashtiramiz.

$\frac{a \times d}{\operatorname{EKUK}} / \frac{\operatorname{EKUK}}{\operatorname{EKUK}} \text{ va } \frac{c \times b}{\operatorname{EKUK}} / \frac{\operatorname{EKUK}}{\operatorname{EKUK}}$

Eng kichik umumiy maxraj ($EKUK$) ishlatilishi hisoblashlarni sodda saqlaydi — kattaroq umumiy maxraj (masalan $b \times d$) ham ishlaydi, lekin ortiqcha qisqartirish talab qiladi.

To'rt amalning qoidalari

QO'SHISH/AYIRISH: umumiy maxrajga keltirib, faqat suratlarni qo'shish/ayirish (maxraj o'zgarmaydi). KO'PAYTIRISH: to'g'ridan-to'g'ri surat×surat, maxraj×maxraj (umumiy maxraj kerak EMAS). BO'LISH: ikkinchi kasrni 'teskarisiga aylantirib' (surat va maxrajni almashtirib) ko'paytirish.

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}; \quad \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}; \quad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Ko'paytirish va bo'lish qo'shish/ayirishdan farqli, umumiy maxraj TALAB QILMAYDI — bu ko'p o'quvchilar chalkashtiradigan joy.

Formula kutubxonasi

Kasrlarni qo'shish/ayirish (umumiy formulasi)

$$\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}$$
  • $a,b,c,d$ — suratlar va maxrajlar (b,d≠0)

Har qanday ikkita kasrni (maxrajlari turlicha bo'lsa ham) qo'shish/ayirish uchun universal formula.

Shart: b≠0, d≠0.

Xususiy holatlar: Agar b=d (maxrajlar teng) bo'lsa, formula soddalashadi: a/b±c/b=(a±c)/b.

Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

$$\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}, \qquad \dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}$$
  • $a,b,c,d$ — suratlar va maxrajlar (b,c,d≠0)

Ko'paytirish — to'g'ridan-to'g'ri, bo'lish — teskari kasrga ko'paytirish orqali.

Shart: b≠0, c≠0, d≠0 (bo'lishda c/d ning o'zi ham noldan farqli bo'lishi kerak).

Xususiy holatlar: Agar c/d=1 bo'lsa, bo'lish natijani o'zgartirmaydi.

Teoremalar va isbotlar

📐 Kasrning asosiy xossasi

Ixtiyoriy $a/b$ kasr va noldan farqli $k$ son uchun $a/b = (a\times k)/(b\times k)$ .

Bir butunni ikki marta ko'proq bo'lakka bo'lsangiz-u, ikki marta ko'proq bo'lak olsangiz, umumiy miqdor o'zgarmaydi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: a/b — ixtiyoriy kasr (b≠0), k — noldan farqli son.

Isbotlash kerak: $\frac{a}{b} = \frac{ak}{bk}$

  1. a/b kasrini a÷b bo'lish amali sifatida qaraymiz.
  2. (ak)/(bk) ni ham (ak)÷(bk) sifatida yozamiz.
  3. $(ak)÷(bk) = (a×k)÷(b×k)$ — bu yerda k har ikkala tomonda ham ko'paytuvchi sifatida qatnashadi va ular 'qisqaradi' (chunki $(ak)/(bk)=a/b×k/k=a/b×1=a/b$, bu yerda k/k=1, k≠0 bo'lgani uchun).
  4. Demak $(ak)/(bk)=a/b×1=a/b$.

Demak, $a/b=(ak)/(bk)$ barcha k≠0 uchun to'g'ri. ∎

📐 Kasrga bo'lish qoidasi (teskari kasrga ko'paytirish)

Ixtiyoriy $a/b$ va $c/d$ ($c/d\neq 0$) kasrlar uchun $(a/b)\div (c/d) = (a/b)\times (d/c)$.

'$c/d$ ga bo'lish' — '$d/c$ ga ko'paytirish' bilan bir xil ta'sirga ega, chunki $(c/d)\times (d/c)=1$.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: a/b va c/d — kasrlar, c/d≠0 (ya'ni c≠0).

Isbotlash kerak: $(a/b)\div (c/d) = (a/b)\times (d/c)$

  1. $(a/b)\div (c/d)$ — bu, ta'rifga ko'ra, shunday $X$ sonki, $X\times (c/d)=a/b$.
  2. $X=(a/b)\times (d/c)$ deb faraz qilib tekshiramiz: $[(a/b)\times (d/c)]\times (c/d) = (a/b)\times [(d/c)\times (c/d)]=(a/b)\times [dc/cd]=(a/b)\times 1=a/b$.
  3. Demak $X=(a/b)\times (d/c)$ haqiqatan ham $X\times (c/d)=a/b$ shartini qanoatlantiradi.
  4. Bo'lish natijasi YAGONA bo'lgani uchun (agar mavjud bo'lsa), bu — qidirilayotgan yagona yechim.

Demak $(a/b)\div (c/d)=(a/b)\times (d/c)$. ∎

Yechilgan misollar

oson 18/24 kasrini qisqarmas holga keltiring.

💡 Maslahat: $EKUB(18,24)$ ni toping.

  1. $18=2\times 3^2$, $24=2^3\times 3$, $EKUB=2\times 3=6$
  2. $18\div 6=3$, $24\div 6=4$

✅ Javob: $\frac{3}{4}$

Nega bu usul ishlaydi: Surat va maxrajni $EKUB$ga bo'lish kasrning qiymatini saqlab, eng sodda shaklga keltiradi.

Muqobil usul: Ketma-ket kichik sonlarga (2, so'ng 3) bo'lish: $18/24\to 9/12\to 3/4$.

⚠️ Faqat bir marta kichik songa (masalan 2ga) bo'lib, 9/12 da to'xtab qolish — bu hali qisqarmas emas.

oson 2/5 va 3/4 kasrlarini qo'shing.

💡 Maslahat: Avval umumiy maxraj ($EKUK(5,4)$) toping.

  1. $EKUK(5,4)=20$
  2. $\frac{2}{5}=\frac{8}{20}$, $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$
  3. $\frac{8}{20}+\frac{15}{20}=\frac{23}{20}$

✅ Javob: $\frac{23}{20}$ (yoki aralash son ko'rinishida $1\frac{3}{20}$)

Nega bu usul ishlaydi: Umumiy maxrajga keltirilgach, suratlarni to'g'ridan-to'g'ri qo'shish mumkin.

⚠️ Maxrajlarni ham qo'shib, $2/5+3/4=5/9$ deb noto'g'ri hisoblash — bu eng keng tarqalgan xato.

ortacha $3 \frac{1}{2}$ va $2 \frac{2}{3}$ aralash sonlarini qo'shing.

💡 Maslahat: Avval har birini noto'g'ri kasrga aylantiring.

  1. $3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, $2 \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$
  2. $\mathrm{EKUK}(2,3)=6$: $\frac{7}{2}=\frac{21}{6}$, $\frac{8}{3}=\frac{16}{6}$
  3. $\frac{21}{6}+\frac{16}{6}=\frac{37}{6}$

✅ Javob: $\frac{37}{6} = 6 \frac{1}{6}$

Nega bu usul ishlaydi: Aralash sonlarni noto'g'ri kasrga aylantirish ularni oddiy kasr amallariga qisqartiradi.

Muqobil usul: Butun va kasr qismlarni alohida qo'shish: $(3+2)+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)=5+\frac{7}{6}=5+1 \frac{1}{6}=6 \frac{1}{6}$

⚠️ Faqat kasr qismlarni qo'shib, butun qismlarni qo'shishni unutib qoldirish.

ortacha $\frac{5}{6}$ ni $\frac{2}{3}$ ga bo'ling.

💡 Maslahat: Ikkinchi kasrni teskarisiga aylantirib ko'paytiring.

  1. $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2}$
  2. $= \frac{15}{12}$
  3. Qisqartirish: $EKUB(15,12)=3$, $\frac{15}{12}=\frac{5}{4}$

✅ Javob: $\frac{5}{4}$ (yoki $1\frac{1}{4}$)

Nega bu usul ishlaydi: Bo'lish — teskari kasrga ko'paytirish qoidasi.

⚠️ Bo'lishda kasrlarni 'to'g'ridan-to'g'ri' (surat/surat, maxraj/maxraj) bo'lishga urinish — bu usul umuman ishlamaydi.

ortacha 7/12 va 5/8 kasrlaridan qaysi biri katta ekanini aniqlang.

💡 Maslahat: Umumiy maxrajga keltiring yoki chalkash ko'paytirish (cross multiplication) usulidan foydalaning.

  1. $EKUK(12,8)=24$
  2. 7/12=14/24, 5/8=15/24
  3. $14/24 < 15/24$

✅ Javob: $5/8 > 7/12$

Nega bu usul ishlaydi: Bir xil maxrajli kasrlarni taqqoslash — faqat suratlarni solishtirish yetarli.

Muqobil usul: Chalkash ko'paytirish: 7×8=56, 5×12=60. 60>56, demak 5/8>7/12 (mos keladi).

⚠️ Kattaroq maxrajli kasrni avtomatik 'kichikroq' deb noto'g'ri taxmin qilish (7/12 maxraji kichikroq, lekin kasr qiymati ham kichikroq bo'lishi shart emas).

murakkab Bir idishning $\frac{3}{5}$ qismi suv bilan to'la. Agar yana $\frac{1}{4}$ qism suv qo'shilsa, idish necha qismi to'la bo'ladi? Agar idish sig'imi 1 dan katta bo'lsa (ya'ni to'kilib ketsa), qancha ortiqcha bo'ladi?

💡 Maslahat: $\frac{3}{5}+\frac{1}{4}$ ni hisoblang, natijani 1 bilan solishtiring.

  1. $EKUK(5,4)=20$: $\frac{3}{5}=\frac{12}{20}$, $\frac{1}{4}=\frac{5}{20}$
  2. $\frac{12}{20}+\frac{5}{20}=\frac{17}{20}$
  3. $\frac{17}{20}<1$, demak idish to'kilib ketmaydi, $\frac{17}{20}$ qismi to'la bo'ladi

✅ Javob: Idish $\frac{17}{20}$ qismi to'la bo'ladi, to'kilib ketmaydi ($\frac{17}{20}<\frac{20}{20}=1$).

Nega bu usul ishlaydi: Real hayotdagi 'qism qo'shish' masalasi to'g'ridan-to'g'ri kasrlarni qo'shishga tarjima qilinadi.

⚠️ Natijani ($\frac{17}{20}$) 1 bilan solishtirmasdan, savolning ikkinchi qismiga ('to'kiladimi') javob bermay qoldirish.

murakkab $\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \times \left(\frac{5}{4} - \frac{1}{2}\right)$ ifodasini hisoblang.

💡 Maslahat: Avval qavslar ichini, so'ng ko'paytirishni bajaring (amallar tartibi).

  1. $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$: EKUK=6, $\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
  2. $\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$: EKUK=4, $\frac{5}{4}-\frac{2}{4}=\frac{3}{4}$
  3. $\frac{5}{6} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ (qisqartirilgan)

✅ Javob: $\frac{5}{8}$

Nega bu usul ishlaydi: Amallar tartibi qoidasi (qavslar birinchi) kasrlar uchun ham to'liq amal qiladi.

⚠️ Qavslarni hisoblamasdan, to'g'ridan-to'g'ri barcha suratlarni va maxrajlarni aralashtirib ko'paytirish.

murakkab x/3 + x/4 = 7 tenglamasini yeching (x — noma'lum).

💡 Maslahat: Chap tomondagi kasrlarni umumiy maxrajga keltirib qo'shing, so'ng tenglamani soddalashtiring.

  1. $EKUK(3,4)=12$: x/3=4x/12, x/4=3x/12
  2. 4x/12+3x/12=7x/12
  3. 7x/12=7
  4. x=7×12/7=12

✅ Javob: x=12

Nega bu usul ishlaydi: Kasrlar bilan tenglamalarni yechishda avval o'xshash hadlarni (kasr shaklidagilarni) birlashtirish qulaylik yaratadi.

Muqobil usul: Tenglamaning har ikkala tomonini 12 ga (umumiy maxrajga) ko'paytirib, kasrlardan butunlay xalos bo'lish: 4x+3x=84, 7x=84, x=12.

⚠️ 7x/12=7 dan x=7/12×7 emas, x=7×12/7 (ya'ni ikkala tomonni 12/7 ga ko'paytirish) ekanini chalkashtirib yuborish.

olimpiada 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + ... ketma-ketligining (hadlari $1/(n(n+1))$ ko'rinishida) dastlabki 10 ta hadining yig'indisini toping.

💡 Maslahat: $1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)$ ko'rinishida yoying (teleskopik yig'indi).

  1. $1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)$ ekanini tekshiramiz (umumiy maxrajga keltirib): $1/n−1/(n+1)=[(n+1)−n]/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]$ ✓
  2. Yig'indi: $(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+...+(1/10−1/11)$
  3. Barcha oraliq hadlar 'qisqarib' ketadi (teleskopik yig'indi), faqat birinchi va oxirgi had qoladi: $1/1−1/11$

✅ Javob: $1 − 1/11 = 10/11$

Nega bu usul ishlaydi: Har bir kasrni ikkita kasr ayirmasi ko'rinishida yoyish, keyingi va oldingi hadlarning bir-birini 'yo'q qilishi' — bu klassik 'teleskopik yig'indi' texnikasi.

Muqobil usul: Barcha 10 ta hadni to'g'ridan-to'g'ri umumiy maxrajga keltirib qo'shish (juda uzun va xatoga moyil).

⚠️ $1/(n(n+1))=1/n−1/(n+1)$ yoyilmasini tekshirmasdan qo'llash, yoki ishorani $(1/(n+1)−1/n)$ teskari olish.

olimpiada $\frac{a}{b}$ (qisqarmas, $a<b$, $a,b$ musbat butun) kasr uchun $a+b=17$ va kasr qiymati $\frac{3}{8}$ dan katta, $\frac{1}{2}$ dan kichik bo'lsa, kasrni toping.

💡 Maslahat: $a+b=17$ shartidan $a$ va $b$ ni bog'lang, so'ng $\frac{3}{8} < \frac{a}{b} < \frac{1}{2}$ shartini tekshiring.

  1. $a+b=17$ bo'lgani uchun $b=17-a$.
  2. $\frac{3}{8} < \frac{a}{17-a} < \frac{1}{2}$ tengsizliklarini yechamiz.
  3. O'ng tengsizlik: $\frac{a}{17-a} < \frac{1}{2} \implies 2a < 17-a \implies 3a < 17 \implies a < \frac{17}{3} \approx 5.67$, demak $a \le 5$.
  4. Chap tengsizlik: $\frac{a}{17-a} > \frac{3}{8} \implies 8a > 3(17-a) \implies 8a > 51-3a \implies 11a > 51 \implies a > \frac{51}{11} \approx 4.6$, demak $a \ge 5$.
  5. Ikkala shartdan $a=5$, demak $b=17-5=12$.
  6. Tekshirish: $EKUB(5,12)=1$ (qisqarmas ✓), $\frac{5}{12} \approx 0.4167$, $\frac{3}{8}=0.375 < 0.4167 < 0.5=\frac{1}{2}$ ✓

✅ Javob: $\frac{a}{b} = \frac{5}{12}$

Nega bu usul ishlaydi: Ikki tomonlama tengsizlikni alohida-alohida yechib, ularning kesishmasidagi butun son qiymatini topish — klassik tengsizliklar bilan ishlash texnikasi.

Muqobil usul: $a=1$ dan $8$ gacha ($b=17-a$ musbat va $a<b$ bo'lishi uchun $a<8.5$) barcha variantlarni sanab, shartlarni tekshirish.

⚠️ Tengsizlik belgisini kasrga ko'paytirishda $(17-a)$ ning ishorasini (musbat ekanini) tekshirmasdan, tengsizlik yo'nalishini saqlab qolish kerakligini unutish.

Umumiy xatolar

❌ Kasrlarni qo'shishda suratlarni ham, maxrajlarni ham to'g'ridan-to'g'ri qo'shish ($a/b+c/d=(a+c)/(b+d)$).

Bu qoida umuman noto'g'ri — kasr qo'shish faqat umumiy maxraj orqali bajariladi.

✅ Avval umumiy maxrajga keltiring, so'ng FAQAT suratlarni qo'shing, maxraj o'zgarmaydi.

$1/2+1/3$: to'g'ri javob $5/6$, $(1+1)/(2+3)=2/5$ EMAS.

❌ Kasrlarni ko'paytirishda ham umumiy maxraj izlash (kerak bo'lmagan qadamni qo'shish).

Ko'paytirishda umumiy maxraj shart EMAS — bu faqat qo'shish/ayirish uchun kerak.

✅ Ko'paytirishda to'g'ridan-to'g'ri surat×surat, maxraj×maxraj bajaring.

$\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ — umumiy maxrajga keltirish shart emas edi.

❌ Kasrga bo'lishda birinchi kasrni ham teskarisiga aylantirib yuborish.

Faqat IKKINCHI (bo'luvchi) kasr teskarisiga aylantiriladi, birinchisi (bo'linuvchi) o'zgarishsiz qoladi.

✅ $a/b \div c/d = a/b \times d/c$ — faqat $c/d \to d/c$ bo'ladi, $a/b$ o'z holicha qoladi.

$3/4 \div 2/5 = 3/4 \times 5/2 = 15/8$, $4/3 \times 5/2$ EMAS.

Noto'g'ri tasavvurlar

'Kattaroq maxrajli kasr har doim kattaroq (yoki kichikroq) qiymatga ega' degan noto'g'ri umumlashtirish.

Kasrning qiymati $\frac{surat}{maxraj}$ va $maxraj$ning nisbatiga bog'liq, faqat $maxraj$ning kattaligiga emas. $1/100$ juda kichik, lekin $99/100$ deyarli $1$ ga teng — ikkalasining ham maxraji bir xil ($100$), lekin qiymatlari juda farqli.

'Kasrni qisqartirish uning qiymatini kichraytiradi' degan tasavvur.

Qisqartirish kasrning QIYMATINI umuman o'zgartirmaydi — faqat uning YOZILISH shaklini soddalashtiradi. $6/8$ va $3/4$ — bir xil miqdor, faqat ikki xil yozuv.

'Kasrni bo'lishda natija har doim asl kasrdan kichik bo'ladi' (butun sonlar bilan bo'lish tajribasidan kelib chiqqan noto'g'ri intuitsiya).

Agar 1 dan kichik songa bo'linsa, natija KATTALASHADI. Masalan $1/2 \div 1/4 = 2$ — natija (2) asl kasrdan ($1/2$) ancha katta, chunki '1/4 dan nechta bor' deb so'ralmoqda.

Amaliy qo'llanilishi

Oshxona va retseptlar

Ovqat retseptlarida ($1/2$ stakan un, $3/4$ choy qoshiq tuz) miqdorlarni ko'paytirish/kamaytirish (masalan retseptni 2 baravar qilish) to'g'ridan-to'g'ri kasrlarni ko'paytirishga tayanadi.

O'lchov va qurilish

Duradgorlik, tikuvchilik va qurilishda dyuym/santimetr o'lchovlari ko'pincha kasr shaklida (masalan $3/8$ dyuym) beriladi, ularni qo'shish/taqqoslash amaliy zaruriyat.

Moliya va statistika

Ehtimollik hisoblari, ulush (aksiya) taqsimoti, foiz hisob-kitoblarining aksariyati oddiy kasrlar orqali ifodalanadi va keyinchalik foizga aylantiriladi.

Teng kasrlar: 1/2 = 2/4 = 3/6

1/2 2/4 3/6 1/2 = 2/4 = 3/6 — bir xil yuza, turli yozuv

Uchta turli yozilgan kasr — bir xil yuza (miqdor)ni ifodalaydi.

Xulosa

Kasr $a/b$ — butunning $b$ ta teng qismidan $a$ tasi. Kasrning asosiy xossasi: $a/b=ak/bk$ ($k\neq 0$). Qisqartirish uchun $EKUB(a,b)$, umumiy maxraj uchun $EKUK(b,d)$ ishlatiladi. Qo'shish/ayirish — umumiy maxraj kerak; ko'paytirish — to'g'ridan-to'g'ri surat/maxrajlarni ko'paytirish; bo'lish — ikkinchi kasrning teskarisiga ko'paytirish.

Bu bilim "O'nli kasrlar, davriy o'nli kasrlar" mavzusida davom etadi — u yerda har qanday oddiy kasrni o'nli kasrga (yoki aksincha) aylantirish, va "Ratsional sonlar va ular ustida amallar" mavzusida esa manfiy kasrlar va ularning to'liq sonlar tizimidagi o'rni ko'rib chiqiladi.

Bog'liq mavzular

Oldin bilishingiz kerak: Sonlarni tub ko'paytuvchilarga ajratish, EKUB va EKUK, Natural sonlar va ular ustida amallar

Keyingi mavzular: O'nli kasrlar, davriy o'nli kasrlar. Haqiqiy sonlar ustida amallar, Ratsional sonlar va ular ustida amallar

Manbalar

Shu mavzudagi savollar

$\frac{3}{4}+\frac{5}{6}-\frac{2}{3}$ ifodasini soddalashtiring. $\frac{7}{9}\times\frac{3}{14}$ ni hisoblang va soddalashtiring. $\frac{x}{5}-\frac{2}{3}=\frac{1}{15}$ tenglamasida $x$ ni toping. $\frac{2}{5}\div\left(\frac{4}{15}\right)+\frac{1}{2}$ ifodasini hisoblang. Agar $\frac{3}{x}=\frac{9}{12}$ bo‘lsa, $x$ ni toping va $x-\frac{1}{4}$ ning qiymatini hisoblang. Kasrni qisqartiring: $\frac{10}{24}$
Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang