Geometrik shakllar fazoni o‘lchashning asosiy tilidir. Xona maydoni, panjara uzunligi, pol qoplamasi, ekin maydoni, aylana shaklidagi buyumlar, idish hajmi va qurilish chizmalari perimetr, yuza va hajm tushunchalariga tayanadi. Bu mavzu keyingi geometriya — burchaklar, uchburchaklar, Pifagor teoremasi, o‘xshashlik, stereometriya va koordinatalar — uchun zarur poydevor.
Yopiq tekis shakl chegarasini tashkil qiluvchi barcha tomonlar yoki egri chiziqlar uzunliklari yig‘indisi.
Shaklni tashqaridan aylanib chiqish uchun qancha masofa kerakligini bildiradi.
Misol: Tomonlari 4 cm va 6 cm rectangle: P=20 cm.
Bu emas: 20 cm² perimetr birligi emas.
💡 Perimetr doim chiziqli birlikda: mm, cm, m, km.
Tekis shakl egallagan ikki o‘lchovli qism miqdori.
Shakl ichiga nechta birlik kvadrat sig‘ishini o‘lchaydi.
Misol: 3 m ×5 m rectangle yuzi 15 m².
Bu emas: 15 m — yuza emas, uzunlik.
💡 Yuza kvadrat birlikda yoziladi.
Uch o‘lchovli jism egallagan fazo miqdori.
Jism ichiga nechta birlik kub sig‘ishini bildiradi.
Misol: 2 cm×3 cm×4 cm prizma hajmi 24 cm³.
Bu emas: 24 cm² hajm emas.
💡 Hajm kub birlikda; 1 dm³=1 litr.
To‘rtta tomoni teng va barcha ichki burchaklari 90° bo‘lgan to‘rtburchak.
To‘rt teng tomonli to‘g‘ri burchakli shakl.
Misol: Tomoni 8 m kvadrat: S=64 m².
Bu emas: Tomonlari 4 va 6 bo‘lgan rectangle kvadrat emas.
💡 Kvadrat ham to‘g‘ri to‘rtburchakning maxsus holati.
Barcha ichki burchaklari 90° bo‘lgan, qarama-qarshi tomonlari teng va parallel to‘rtburchak.
Bo‘yi va eni bo‘lgan to‘rt burchakli shakl.
Misol: 4 cm×6 cm rectangle: P=20 cm, S=24 cm².
Bu emas: Qiyshiq parallelogram barcha burchaklari 90° bo‘lmasa rectangle emas.
💡 Kvadrat — tomonlari ham teng bo‘lgan rectangle.
Uchta kesma bilan chegaralangan ko‘pburchak.
Uchta tomon va uchta burchakka ega shakl.
Misol: 3-4-5 tomonli uchburchak.
Bu emas: 1,2,4 uzunliklar uchburchak hosil qilmaydi.
💡 Har qanday ikki tomon yig‘indisi uchinchi tomondan katta bo‘lishi kerak.
Shaklning tanlangan asosi yotgan chiziqqa qarama-qarshi nuqta yoki tomonlardan tushirilgan perpendikulyar masofa.
Yuza formulasidagi “tik masofa”.
Misol: Uchburchakda S=bh/2 dagi h.
Bu emas: Qiya yon tomon har doim balandlik bo‘lavermaydi.
💡 Balandlik asosga 90° ostida tushadi.
Aylana — markazdan bir xil r masofadagi nuqtalar to‘plami; doira — aylana bilan chegaralangan ichki soha.
Aylana chegara, doira esa ichki qism bilan birga.
Misol: Radius 3 bo‘lsa aylana uzunligi 6π, doira yuzi 9π.
Bu emas: Aylana yuzi deganda odatda doira yuzi nazarda tutiladi.
💡 Diametr d=2r.
Ikki yoki undan ortiq sodda geometrik shakllardan tashkil topgan shakl.
Murakkab ko‘rinishni rectangle, triangle, circle qismlariga ajratib ishlash mumkin.
Misol: L-shaklni ikki rectangle ga ajratish.
Bu emas: Har bir bo‘lak yuzini perimetrga qo‘shish kompozit yuzani bermaydi.
💡 Ichki umumiy qirralar kompozit shakl perimetriga kirmasligi mumkin.
Olti yuzi teng kvadratdan iborat muntazam to‘g‘ri burchakli prizma.
Uzunligi, eni va balandligi bir xil 3D jism.
Misol: Qirrasi 4 cm kub: V=64 cm³.
Bu emas: 4×4×6 prizma kub emas.
💡 Kubda 12 teng qirra, 6 yuz, 8 uch bor.
Olti yuzi to‘g‘ri to‘rtburchaklardan iborat prizma.
Quti shaklidagi jism: uzunlik × eni × balandlik.
Misol: 90×40×50 cm suv qismi hajmi 180000 cm³=180 L.
Bu emas: Faqat asos yuzasini hisoblash jism hajmini bermaydi.
💡 Hajm = asos yuzi × balandlik.
Bir xil shakl uchun perimetr va yuza butunlay boshqa kattaliklar. Perimetr tashqi chegara, yuza ichki qism. Formuladan oldin savol aynan nimani so‘rayotganini aniqlash kerak.
$P vs S$
P chiziqli, S kvadrat birliklarda.
Rectangle yuzi bo‘yi bo‘yicha nechta birlik kvadrat va eni bo‘yicha nechta qator borligini ko‘paytirishdan kelib chiqadi.
$S=a·b$
1×1 birlik kvadrat yuzi 1 birlik².
Formula faqat natija topish uchun emas; natija va boshqa kattaliklar berilsa noma’lum o‘lchamni ham topish mumkin.
$a=P/4; b=P/2-a; a=S/b$
Algebraik qayta tuzish geometriya masalalarini yechadi.
Uchburchakning har qanday tomonini asos sifatida tanlash mumkin; shu asosga mos perpendikulyar balandlik ishlatiladi.
$S=\frac12bh$
Asos bilan balandlik bir-biriga perpendikulyar.
Radius markazdan aylanagacha, diametr markaz orqali ikki qarama-qarshi nuqtani tutashtiradi. π aylana uzunligining diametrga nisbatidir.
$d=2r,\quad \pi=C/d$
π taxminan 3,14159, lekin aniq qiymat irratsional.
Murakkab shaklni bir-birini qoplamaydigan sodda qismlarga ajratib yuzalarni qo‘shish yoki katta tashqi shakldan kesilgan qismlarni ayirish mumkin.
$S_total=ΣS_i$
Qismlar ustma-ust tushmasligi va bo‘shliq qoldirmasligi kerak.
Kompozit shaklda faqat tashqi chegara hisoblanadi. Ichkarida qolgan umumiy qirralar perimetrga kirmaydi.
$P=external boundary sum$
Shakllar yopishtirilganda umumiy qirra ikki tashqi qirraning o‘rnini bosadi.
Rectangular prism hajmi bir qatlamdagi birlik kublar soni (asos yuzasi) × qatlamlar soni (balandlik).
$V=S_base·h$
a×b×c aynan shu modeldan kelib chiqadi.
3D jismning sirt yuzi uning barcha tashqi yuzlari yuzalari yig‘indisi. Kubda 6 teng kvadrat yuz mavjud.
$S_surface=Σ(face areas)$
Ichki kesim sirt yuziga kirmaydi.
Uzunlik birligi koeffitsienti k marta o‘zgarsa, yuza birligi k², hajm birligi k³ marta o‘zgaradi.
$1 m=100 cm; 1 m²=10000 cm²; 1 m³=1000000 cm³$
Daraja o‘lcham soniga mos: 1D, 2D, 3D.
To‘rtta teng tomon uzunliklari yig‘indisi.
Shart: a > 0
Xususiy holatlar: a=P/4.
Tomon bo‘yicha a×a birlik kvadrat joylashadi.
Shart: a > 0
Xususiy holatlar: a=\sqrt{S}.
Qarama-qarshi tomonlar teng bo‘lgani uchun a+b+a+b.
Shart: a,b > 0
Xususiy holatlar: a=P/2-b.
a ta ustun va b ta qator birlik kvadratlar soni.
Shart: a,b > 0
Xususiy holatlar: a=S/b.
Uchta tomon yig‘indisi.
Shart: Triangle inequality bajarilishi kerak.
Xususiy holatlar: Teng tomonli uchburchakda P=3a.
Mos parallelogram yoki rectangle yuzining yarmi.
Shart: b,h > 0
Xususiy holatlar: To‘g‘ri burchakli uchburchakda katetlar asos va balandlik bo‘la oladi.
Asos × perpendikulyar balandlik.
Shart: b,h > 0
Xususiy holatlar: Yon tomon balandlik bo‘lishi shart emas.
Asoslar o‘rtacha uzunligi × balandlik.
Shart: a,b,h > 0
Xususiy holatlar: a=b bo‘lsa parallelogram formulasi hosil bo‘ladi.
Aylana chegarasi uzunligi.
Shart: r > 0, d=2r
Xususiy holatlar: Yarim aylana yoyi πr; yarim doira perimetri πr+2r.
Radius r bo‘lgan doira ichki maydoni.
Shart: r > 0
Xususiy holatlar: r=\sqrt{S/\pi}.
Asos yuzi ab × balandlik c.
Shart: a,b,c > 0
Xususiy holatlar: V=S_base·h.
Uch xil yuz juftligi yuzalari yig‘indisi.
Shart: a,b,c > 0
Xususiy holatlar: Ochiq quti bo‘lsa yopilmagan yuz chiqarib tashlanadi.
a×a×a birlik kub.
Shart: a > 0
Xususiy holatlar: a=\sqrt[3]{V}.
Olti teng kvadrat yuz.
Shart: a > 0
Xususiy holatlar: Bitta yuz a².
Kubda 12 ta teng qirra mavjud.
Shart: a > 0
Xususiy holatlar: a=L/12.
Murakkab shaklni sodda yuzalarga ajratish.
Shart: Qismlar bir-birini ustma-ust qoplamasligi kerak.
Xususiy holatlar: Qaysi usul kamroq hisob talab qilsa, o‘shani tanlang.
Suyuqlik hajmini geometrik hajm bilan bog‘laydi.
Xususiy holatlar: 1 mL=1 cm³.
Asosi $b$ va shu asosga tushirilgan balandligi $h$ bo‘lgan har qanday uchburchak yuzi $S=\frac12bh$ ga teng.
Ikki teng uchburchakni birlashtirib asos b va balandlik h bo‘lgan parallelogram hosil qilish mumkin.
Berilgan: Asosi b, balandligi h bo‘lgan uchburchak.
Isbotlash kerak: S=bh/2 ni ko‘rsatish.
$S=\frac12bh$. ∎
Bir-birining ichki qismini qoplamaydigan shakllar birlashmasining yuzi ularning yuzalari yig‘indisiga teng. Agar B shakl A ichida bo‘lsa, A dan B kesib tashlangan soha yuzi S(A)−S(B) ga teng.
Yuza birlik kvadratlar soni bo‘lgani uchun bir-birini qoplamaydigan qismlarning kvadratlari ham oddiy qo‘shiladi.
Berilgan: A va B ichki qismlari ustma-ust tushmaydigan ikki shakl.
Isbotlash kerak: S(A∪B)=S(A)+S(B).
Kompozit yuza qo‘shish/ayirish qoidasi asoslandi. ∎
💡 Maslahat: Kvadrat yuzi a².
✅ Javob: 64 m²
Nega bu usul ishlaydi: Kvadrat 8×8 birlik kvadratdan tashkil topadi.
Muqobil usul: 8·8=64.
⚠️ P=4a formulasini ishlatib 32 m deb javob berish — perimetr bilan yuzani aralashtirish.
💡 Maslahat: To‘rtta teng tomon bor.
✅ Javob: 48 cm
Nega bu usul ishlaydi: Kvadratning barcha 4 tomoni teng.
Muqobil usul: 12+12+12+12=48.
⚠️ 12²=144 cm² ni perimetr deb yozish.
💡 Maslahat: Avval tomonini P/4 orqali toping.
✅ Javob: 36 m²
Nega bu usul ishlaydi: Perimetr tomonning 4 baravari, so‘ng topilgan tomon bilan yuzani hisoblaymiz.
Muqobil usul: P=4a → a=6.
⚠️ 24² deb bevosita yuzani hisoblash.
💡 Maslahat: P=2(a+b).
✅ Javob: 20 cm
Nega bu usul ishlaydi: Qarama-qarshi tomonlar juft-juft teng.
Muqobil usul: 4+6+4+6=20.
⚠️ 4·6=24 cm² — bu yuza.
💡 Maslahat: P/2=a+b.
✅ Javob: 7 m
Nega bu usul ishlaydi: Perimetr formulasi noma’lum tomon uchun qayta tuziladi.
Muqobil usul: 2(a+5)=24 → a+5=12 → a=7.
⚠️ 24−5=19 deb faqat bir tomonini ayirish.
💡 Maslahat: Avval bo‘yini S/b bilan toping.
✅ Javob: 22 cm
Nega bu usul ishlaydi: Yuza formula orqali noma’lum tomon topiladi, keyin perimetr hisoblanadi.
Muqobil usul: 28=4a → a=7.
⚠️ 28+4 ni perimetr deb olish.
💡 Maslahat: Katetlar o‘zaro perpendikulyar, demak asos va balandlik bo‘la oladi.
✅ Javob: 10 cm²
Nega bu usul ishlaydi: To‘g‘ri burchakli uchburchakda katetlar orasidagi burchak 90°.
Muqobil usul: 5·2=10 — 4/2 ni avval soddalashtirish mumkin.
⚠️ 5·4=20 ni yarmi olinmasdan javob qilish.
💡 Maslahat: S=ab/2 ni noma’lum katet uchun yeching.
✅ Javob: 8 m
Nega bu usul ishlaydi: To‘g‘ri burchakli uchburchak yuzi katetlar ko‘paytmasining yarmi.
Muqobil usul: 2S/a=48/6=8.
⚠️ S/a=4 deb 1/2 koeffitsientni unutish.
💡 Maslahat: S=πr², C=2πr.
✅ Javob: S=16π cm², C=8π cm
Nega bu usul ishlaydi: Yuza radiusning kvadratiga, aylana uzunligi radiusning birinchi darajasiga bog‘liq.
Muqobil usul: d=8 bo‘lsa C=πd=8π.
⚠️ S=2πr deb yuza bilan aylana uzunligi formulasini almashtirish.
💡 Maslahat: Kubda 12 ta teng qirra.
✅ Javob: 1944 cm²
Nega bu usul ishlaydi: Qirralar yig‘indisi tomonni beradi; to‘la sirt 6 teng kvadrat yuzdan iborat.
Muqobil usul: S=6(216/12)².
⚠️ 216/6=36 ni qirra deb olish; kubda 6 yuz, lekin 12 qirra bor.
💡 Maslahat: Suv balandligi 60−10=50 cm.
✅ Javob: 180 L
Nega bu usul ishlaydi: Faqat suv egallagan balandlik ishlatiladi; kub santimetr litrga aylantiriladi.
Muqobil usul: Asos yuzi 90·40=3600 cm², V=3600·50.
⚠️ To‘liq 60 cm balandlikni ishlatib 216 L olish.
💡 Maslahat: Katta rectangle yuzidan kesilgan rectangle yuzini ayiring.
✅ Javob: 18 cm²
Nega bu usul ishlaydi: Kompozit yuzada kesib tashlangan qism katta tashqi yuzadan ayriladi.
Muqobil usul: Qolgan shaklni ikkita rectangle ga ajratib yuzalarini qo‘shish mumkin.
⚠️ Kesilgan qism perimetrini 6 dan ayirish — yuza masalasida uzunlikni ishlatish.
💡 Maslahat: Ichki umumiy qirralar perimetrga kirmaydi.
✅ Javob: S=4a², P=8a
Nega bu usul ishlaydi: Yuzalar qo‘shiladi, lekin ichki yopishgan qirralar tashqi perimetrning qismi emas.
Muqobil usul: 4 ta kichik kvadrat yuzi 4a²; tashqi chegarani sanab 8a.
⚠️ 4 ta kvadrat perimetrini 16a deb qo‘shish — ichki qirralarni ikki marta sanaydi.
❌ Perimetr javobiga cm² yoki m² yozish.
Perimetr 1D uzunlik; kvadrat birlik faqat yuza uchun.
✅ Perimetrda cm/m, yuzada cm²/m², hajmda cm³/m³ ishlating.
Rectangle P=20 cm, S=24 cm².
❌ Kvadrat yuzini 4a bilan topish.
4a — perimetr, yuza a×a.
✅ P=4a va S=a² formulalarini ma’nosi bilan ajrating.
a=8: P=32, S=64.
❌ Rectangle perimetrida faqat a+b ni olish.
Rectangleda a va b uzunliklarning har biri ikki martadan uchraydi.
✅ P=2(a+b).
4×6 rectangle: P=20, 10 emas.
❌ Uchburchak yuzida istalgan yon tomonni balandlik deb olish.
Balandlik tanlangan asosga perpendikulyar bo‘lishi kerak.
✅ Mos asos va unga 90° balandlikni tanlang.
S=bh/2.
❌ Doira yuzi va aylana uzunligi formulalarini almashtirish.
C chegara uzunligi, S ichki maydon; o‘lcham birliklari ham farq qiladi.
✅ C=2πr, S=πr².
r=4: C=8π cm, S=16π cm².
❌ Kompozit shaklda barcha ko‘rinadigan va ichki chiziqlarni perimetrga qo‘shish.
Perimetr faqat tashqi chegara. Ichki bo‘linish chiziqlari perimetr emas.
✅ Chegarani bitta yopiq yo‘l bo‘ylab kuzating.
2×2 kvadrat blok perimetri 8a, 16a emas.
❌ Kompozit yuzada qismlar bir-birini qoplashini hisobga olmaslik.
Ustma-ust qism ikki marta sanaladi.
✅ Qismlarni ustma-ust tushmaydigan qilib ajrating yoki katta yuzadan kesilgan qismlarni ayiring.
L-shaklda ikki disjoint rectangle usuli.
❌ Kubda 6 ta qirra bor deb o‘ylash.
Kubda 6 yuz, 12 qirra va 8 uch bor.
✅ Qirra yig‘indisida L=12a dan foydalaning.
216 cm qirralar yig‘indisi → a=18 cm.
❌ Akvarium masalasida tashqi balandlikni to‘liq suv balandligi deb olish.
Suv tepaga yetmagan bo‘lsa, real suv balandligi kamayadi.
✅ h_water=h_tank−empty_height.
60 cm tank, 10 cm bo‘sh → 50 cm suv.
❌ Uzunlik konversiyasini yuzaga yoki hajmga o‘sha koeffitsient bilan qo‘llash.
2D da koeffitsient kvadrat, 3D da kub bo‘ladi.
✅ 1 m=100 cm; 1 m²=10000 cm²; 1 m³=1000000 cm³.
2 m²=20000 cm², 200 cm² emas.
Perimetri katta shaklning yuzi ham albatta katta.
Yo‘q. Perimetr va yuza mustaqil kattaliklar; bir xil perimetrli shakllarning yuzalari turlicha bo‘lishi mumkin.
Kvadrat va to‘g‘ri to‘rtburchak alohida, biri ikkinchisiga kirmaydi.
Har bir kvadrat rectangle, chunki uning barcha burchaklari 90° va qarama-qarshi tomonlari teng; lekin har bir rectangle kvadrat emas.
Uchburchak yuzasi faqat to‘g‘ri burchakli uchburchak uchun bh/2.
Formula har qanday uchburchak uchun ishlaydi, faqat h tanlangan asosga perpendikulyar balandlik bo‘lishi kerak.
π=3,14 aniq qiymat.
π irratsional son; 3,14 faqat yaqinlashuv. Aniq javoblarda 8π, 16π kabi ko‘rinish saqlanadi.
Kompozit shakl yuzini topish uchun alohida yangi formula kerak.
Ko‘pincha kerak emas: sodda shakllarga ajratish yoki katta shakldan kesilgan qismlarni ayirish yetarli.
1 litr = 1 cm³.
1 litr =1 dm³=1000 cm³; 1 mL=1 cm³.
3D jism sirt yuzi va hajmi bir xil narsani o‘lchaydi.
Sirt yuzi tashqi qobiqni kvadrat birlikda, hajm ichki fazoni kub birlikda o‘lchaydi.
Devor, pol, shift yuzasi material miqdorini; xona perimetri plintus yoki ramka uzunligini aniqlaydi.
Dala va uchastka yuzasi urug‘, sug‘orish va hosildorlik hisoblarida ishlatiladi.
Qadoq, quti, detal, mato va qoplama o‘lchamlari sirt yuzi, perimetr va hajm orqali rejalashtiriladi.
Akvarium, bak va rezervuar sig‘imi geometrik hajm va litr konversiyasiga tayanadi.
Aylana shaklidagi maydon, yo‘lak va chegaralar radius, aylana uzunligi va doira yuzi orqali hisoblanadi.
2D shakllar, bounding rectangle, polygon area va 3D box o‘lchamlari grafikada asosiy geometriya modellaridir.
Plan va maketlarda rectangle, triangle, circle va kompozit shakllarning yuzalari hamda sirt/hajm hisoblari muntazam ishlatiladi.
2D shakllarda perimetr va yuza, 3D shakllarda esa hajm va sirt yuzi ishlatiladi. Formulani shaklning geometrik ma’nosi bilan bog‘lab o‘rganing.
Cheat sheet: 1) perimetr — chegara uzunligi, chiziqli birlik; 2) yuza — ichki qism, kvadrat birlik; 3) hajm — egallangan fazo, kub birlik; 4) kvadrat P=4a, S=a²; 5) to‘g‘ri to‘rtburchak P=2(a+b), S=ab; 6) uchburchak P=a+b+c, S=bh/2; 7) aylana C=2πr=πd, doira S=πr²; 8) kompozit yuza = qismlar yuzalari yig‘indisi yoki katta yuza − kesib olingan qism; 9) to‘g‘ri burchakli parallelepiped V=abc va S_full=2(ab+bc+ac); 10) kub V=a³, S_full=6a²; 11) 1 dm³=1 L va 1 cm³=1 mL.
Keyingi bosqichlarda burchaklar, parallel chiziqlar, uchburchaklarning xossalari, Pifagor teoremasi va fazoviy shakllar shu perimetr-yuza-hajm poydevoriga tayanadi.
Oldin bilishingiz kerak: Natural sonlar va ular ustida amallar, Ratsional sonlar va ular ustida amallar
Bog'liq mavzular: O'lchov birliklar. Birhadlar va algebraik ifodalar, To'g'ri burchakli parallelepiped
Keyingi mavzular: Burchaklar va masofalar, Uchburchak yuzi