Algebra

Kvadrat funksiya

murakkab 170 daqiqa kvadrat funksiyaquadratic functionparabolasimmetriya o‘qivertexdiskriminantnollarx-intercepty-interceptqiymatlar sohasimonotonlikgrafik almashtirishparameterfunksiya grafigi

Nima uchun muhim?

Kvadrat funksiya algebra va geometriya o‘rtasidagi eng muhim ko‘priklardan biridir. Bir formula bir vaqtning o‘zida tenglama ildizlarini, parabola geometriyasini, maksimum/minimumni, intervaldagi ishorani va parametr shartlarini bog‘laydi. Grafikni faqat chizish emas, balki a,b,c,D, uch va simmetriya o‘qi orasidagi invariantlarni ko‘ra bilish keyingi parametrli tenglama-tengsizliklar, optimallashtirish, analitik geometriya va calculus uchun tayanchdir.

O'quv maqsadlari

Kvadrat funksiyani y=ax²+bx+c, a≠0 ko‘rinishda tanish
a koeffitsient ishorasidan parabola ochilish yo‘nalishini aniqlash
|a| qiymatining parabola tor-kengligiga ta’sirini tushuntirish
c koeffitsientdan y-o‘q bilan kesishish nuqtasini topish
Diskriminant orqali x-o‘q bilan kesishishlar sonini aniqlash
Kvadrat funksiya nollarini topish va x-intercept sifatida talqin qilish
Simmetriya o‘qini x=-b/(2a) formulasi bilan topish
Parabola uchini (x0,y0) hisoblash
y0=-D/(4a) formulasini qo‘llash va tekshirish
Standard, vertex va factored formalar orasida o‘tish
Vertex formadan grafik siljishlarini o‘qish
Kvadrat funksiyaning aniqlanish sohasini va qiymatlar sohasini topish
a>0 va a<0 holatlarida o‘sish-kamayish intervallarini aniqlash
Grafikdan a,b,c,D,x0,y0 ishoralarini chiqarish
Ikki funksiya grafiklarining kesishish nuqtalarini tenglama orqali topish
Uchta nuqta orqali yagona quadratic koeffitsientlarni aniqlash
Ikki ildiz va bitta qo‘shimcha nuqta orqali parabola tenglamasini qurish
Uch va bitta nuqta orqali parabola tenglamasini qurish
Parametr orqali parabola ikki marta kesishi, urinishi yoki kesishmasligi shartlarini topish
Parabolaning butunlay x-o‘qdan yuqorida yoki pastda yotish shartlarini aniqlash
Koordinata o‘qlari bilan kesishishlardan geometrik kattaliklar topish
Source-bank grafik va marked-answer savollarini algebraik invariantlar bilan mustaqil QA qilish

Kvadrat funksiya f(x)=ax²+bx+c, a≠0 ko‘rinishidagi funksiyadir. Uning grafigi parabola bo‘lib, a>0 da yuqoriga, a<0 da pastga ochiladi. c=f(0) bo‘lgani uchun y-o‘q bilan kesishish nuqtasi darhol (0,c) ko‘rinadi. x-o‘q bilan kesishishlar esa ax²+bx+c=0 tenglamaning real ildizlari bilan bir xil. Parabolaning markaziy geometriyasi simmetriya o‘qi x0=-b/(2a) va uch V=(x0,f(x0)) bilan boshqariladi. Shu nuqta a>0 da minimum, a<0 da maksimum beradi. Diskriminant D=b²-4ac grafikning x-o‘q bilan 0,1 yoki 2 nuqtada kesishishini aytadi; y0=-D/(4a) formulasi esa diskriminant bilan uch balandligini bevosita bog‘laydi. Bir xil quadratic uch xil asosiy ko‘rinishda o‘qiladi: standard form ax²+bx+c koeffitsientlar va y-interceptni; vertex form a(x-h)²+k uch va siljishni; factored form a(x-r1)(x-r2) esa nollarni ko‘rsatadi. Canonical yechim usuli savolga qarab eng informativ ko‘rinishni tanlash va natijani boshqa invariant bilan tekshirishdir.

Ta'riflar

Kvadrat funksiya · Quadratic function · Квадратичная функция

f(x)=ax²+bx+c, bu yerda a≠0.

Eng katta darajasi 2 bo‘lgan polynomial funksiya.

Misol: $f(x)=2x^2-3x+1$

Bu emas: $f(x)=3x+1$ linear funksiya.

💡 a=0 bo‘lsa quadratic bo‘lmaydi.

Parabola · Parabola · Парабола

Kvadrat funksiyaning koordinata tekisligidagi grafigi.

U-simon yoki teskari U-simon simmetrik egri chiziq.

Misol: $y=(x-2)^2-3$ grafigi parabola.

Bu emas: To‘g‘ri chiziq parabola emas.

💡 Parabola simmetriya o‘qiga ega.

Yetakchi koeffitsient · Leading coefficient · Старший коэффициент

ax²+bx+c dagi a koeffitsient.

Parabolaning ochilish yo‘nalishi va vertikal cho‘zilishini boshqaradi.

Misol: $-3x^2+2x+1$ da a=-3.

Bu emas: b koeffitsient yetakchi emas.

💡 |a| kattalashsa parabola torroq ko‘rinadi.

Simmetriya o‘qi · Axis of symmetry · Ось симметрии

Parabolani teng ikki qismga ajratadigan vertikal x=x0 to‘g‘ri chiziq.

Uchdan o‘tuvchi vertikal chiziq.

Misol: $x=-\frac{b}{2a}$

Bu emas: $y=x_0$ emas.

💡 Rootlar mavjud bo‘lsa ularning o‘rtasidan o‘tadi.

Parabola uchi · Vertex · Вершина параболы

V=(x0,y0), x0=-b/(2a), y0=f(x0).

Parabolaning burilish nuqtasi: minimum yoki maksimum.

Misol: $y=(x-3)^2-5$ uchun V=(3,-5).

Bu emas: Har qanday x-intercept vertex emas.

💡 a>0 minimum, a<0 maksimum.

Nol / x-o‘q bilan kesishish · Zero / x-intercept · Нуль функции

f(r)=0 bo‘ladigan r; grafikda (r,0).

Parabolaning x-o‘q bilan kesishgan yoki uringan nuqtasi.

Misol: $x^2-5x+6=0$ uchun r=2,3.

Bu emas: f(0)=c x-nol emas.

💡 Real zeros soni D ga bog‘liq.

y-o‘q bilan kesishish · y-intercept · Пересечение с осью y

x=0 dagi nuqta (0,f(0))=(0,c).

Standard formadagi c ni grafikda darhol ko‘rsatadi.

Misol: $y=x^2-4x+3$ → (0,3).

Bu emas: (3,0) y-intercept emas.

💡 Har quadratic y-o‘qni bir nuqtada kesadi.

Diskriminant · Discriminant · Дискриминант

D=b²-4ac.

Real x-interceptlar sonini aniqlovchi invariant.

Misol: $D>0$ → 2 real root.

Bu emas: $b^2+4ac$ diskriminant emas.

💡 D=0 tangent holat.

Standard ko‘rinish · Standard form · Стандартный вид

f(x)=ax²+bx+c.

Koeffitsientlar va y-intercept ko‘rinadigan forma.

Misol: $2x^2-8x+5$

Bu emas: $2(x-2)^2-3$ vertex forma.

💡 a≠0.

Uch ko‘rinishi · Vertex form · Вершинная форма

f(x)=a(x-h)²+k.

Uch (h,k) va grafik siljishini to‘g‘ridan ko‘rsatadi.

Misol: $-2(x+1)^2+4$

Bu emas: $a(x-r_1)(x-r_2)$ factored form.

💡 Simmetriya o‘qi x=h.

Ko‘paytuvchilarga ajratilgan ko‘rinish · Factored form · Факторизованный вид

f(x)=a(x-r1)(x-r2) real ildizlar mavjud bo‘lganda.

Nollar r1,r2 darhol ko‘rinadi.

Misol: $2(x-1)(x+3)$

Bu emas: $x^2+1$ real linear factorlarga ajralmaydi.

💡 D≥0 holatda real factor form mavjud.

Aniqlanish sohasi · Domain · Область определения

Quadratic polynomial uchun barcha real sonlar.

x ga hech qanday maxraj/radical cheklovi yo‘q.

Misol: $D_f=\mathbb R$

Bu emas: $x\ne2$ kabi restriction quadratic polynomialda yo‘q.

💡 Har doim R.

Qiymatlar sohasi · Range · Область значений

Funksiya qabul qiladigan barcha y qiymatlar.

Vertex y0 minimum yoki maksimum chegarani beradi.

Misol: a>0 → $[y_0,\infty)$.

Bu emas: Har doim R emas.

💡 a<0 → $(-\infty,y_0]$.

O‘sish intervali · Increasing interval · Промежуток возрастания

x ortganda f(x) ortadigan interval.

Vertexdan qaysi tomonda parabola yuqoriga ketayotganini bildiradi.

Misol: a>0 uchun $(x_0,\infty)$.

Bu emas: a>0 uchun chap tomon o‘sish emas.

💡 Endpointni monotonic interval yozuvida turlicha konvensiya bilan berish mumkin.

Kamayish intervali · Decreasing interval · Промежуток убывания

x ortganda f(x) kamayadigan interval.

Vertexgacha/parabolaning mos tomonidagi pastlashish.

Misol: a>0 uchun $(-\infty,x_0)$.

Bu emas: a<0 uchun chap tomon kamayish emas.

💡 a ishorasi bilan almashadi.

Grafik transformatsiyasi · Graph transformation · Преобразование графика

Bazaviy y=x² grafigini siljitish, akslantirish va cho‘zish orqali yangi grafik olish.

a(x-h)²+k parametrlarini geometrik o‘qish.

Misol: $y=-2(x-3)^2+5$.

Bu emas: Koeffitsientlarni tasodifiy almashtirish transformatsiya qoidasi emas.

💡 h gorizontal, k vertikal siljish.

Grafiklar kesishishi · Graph intersection · Пересечение графиков

Bir xil (x,y) ni qanoatlantiradigan f(x)=g(x) nuqtalar.

Ikki funksiya teng qiymat oladigan x larni topish.

Misol: $x^2=2x+3$ ni yechish.

Bu emas: Faqat x larni topib y ni hisoblamaslik to‘liq koordinata emas.

💡 Kesishish soni hosil bo‘lgan tenglama diskriminantiga bog‘liq.

Urinish · Tangency · Касание

Ikki grafik bir nuqtada uchrashib lokal ravishda kesib o‘tmaydigan holat; x-o‘q uchun repeated root.

Quadratic x-o‘qqa urinsa D=0.

Misol: $y=(x-2)^2$ x-o‘qqa (2,0) da urinadi.

Bu emas: $D>0$ ikki kesishish beradi.

💡 Root multiplicity 2.

Fundamental tushunchalar

Standard-form anatomy

a,b,c uch xil grafik signal beradi: a orientation/scale, c y-intercept, b esa a bilan birga axisni belgilaydi.

$f(x)=ax^2+bx+c,\ a\ne0$

f(0)=c; axis x=-b/(2a).

Opening direction

a ishorasi parabolaning yuqoriga yoki pastga ochilishini belgilaydi.

$a>0\Rightarrow\cup,\quad a<0\Rightarrow\cap$

a>0 minimum; a<0 maksimum.

Vertical scale

|a| kattalashganda bir xil gorizontal siljishda y tezroq o‘zgaradi, parabola torroq ko‘rinadi.

$|a|\uparrow\Rightarrow\text{ torroq parabola}$

0<|a|<1 kengroq.

y-intercept from c

x=0 qo‘yish barcha x-hadlarni yo‘qotadi.

$f(0)=c$

Grafik (0,c) dan o‘tadi.

Roots are x-intercepts

f(x)=0 tenglama yechimlari grafikning x-o‘q bilan uchrashish x-koordinatalaridir.

$f(r)=0\Longleftrightarrow(r,0)$

D real roots sonini boshqaradi.

Discriminant as graph classifier

D>0 ikki x-intercept, D=0 bitta tangency, D<0 real x-intercept yo‘q.

$D=b^2-4ac$

a signi bilan birga graphning x-axisga nisbatan joylashuvini beradi.

Axis formula

Parabola uchining x-koordinatasi koeffitsientlardan olinadi.

$x_0=-\frac{b}{2a}$

Rootlar r1,r2 bo‘lsa x0=(r1+r2)/2.

Vertex y-coordinate

x0 ni funksiyaga qo‘yish yoki D formulasidan foydalanish mumkin.

$y_0=f(x_0)=-\frac{D}{4a}$

Ikkala usul bir xil natija beradi.

Completing the square

Standard form vertex formaga square completion bilan o‘tadi.

$ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k$

h=-b/(2a), k=y0.

Vertex form transformations

a(x-h)²+k: h o‘ng/chap, k yuqori/past siljish; a sign reflection va scale.

$f(x)=a(x-h)^2+k$

Vertex=(h,k), axis x=h.

Factored form geometry

Real roots mavjud bo‘lsa factored form x-interceptlarni darhol beradi.

$f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$

Axis roots midpointida.

Domain is all real

Polynomialda denominator yoki even radical restriction yo‘q.

$D_f=\mathbb R$

Har real x uchun f(x) mavjud.

Range from vertex

Vertex extremum bo‘lgani uchun range y0 dan boshlanadi yoki y0 da tugaydi.

$a>0:Y=[y_0,\infty),\quad a<0:Y=(-\infty,y_0]$

y0 doim rangega kiradi.

Monotonicity around vertex

Parabola vertexgacha bir yo‘nalishda, vertexdan keyin teskari yo‘nalishda yuradi.

$a>0:\downarrow\,(-\infty,x_0),\ \uparrow\,(x_0,\infty)$

a<0 da arrows almashadi.

Graph sign from roots

a>0 va ikki real rootda parabola roots tashqarisida positive, orasida negative; a<0 da teskarisi.

$a(x-r_1)(x-r_2)$

Quadratic inequality bilan bir xil sign pattern.

Intersection means equation

f va g grafigi kesishsa bir xil x da bir xil y ga ega.

$f(x)=g(x)$

x lar topilgach y ham hisoblanadi.

Three-point reconstruction

Uchta turli x-koordinatali nuqta umumiy quadraticning a,b,c koeffitsientlari uchun uchta linear tenglama beradi.

$a x_i^2+b x_i+c=y_i$

System nonsingular bo‘lsa unique quadratic.

Roots plus one point

Ikki root ma’lum bo‘lsa f=a(x-r1)(x-r2); bitta qo‘shimcha nuqta a ni aniqlaydi.

$a=\frac{y_p}{(x_p-r_1)(x_p-r_2)}$

Point rootsdan farqli x da bo‘lishi kerak.

Vertex plus one point

Vertex ma’lum bo‘lsa f=a(x-h)²+k; qo‘shimcha nuqta a ni beradi.

$a=\frac{y_p-k}{(x_p-h)^2}$

x_p≠h bo‘lsa a aniqlanadi.

Parameter and x-axis intersections

Parametrli quadraticda x-axis bilan kesishishlar D signi orqali boshqariladi.

$D(p)\gtrless0$

D>0 two, D=0 tangent, D<0 none.

Entirely above/below x-axis

Graph x-axisdan butunlay bir tomonda yotishi uchun real roots yo‘q va leading sign kerakli tomonga qarashi kerak.

$a>0,D<0\Rightarrow f(x)>0\;\forall x$

Below: a<0,D<0.

Independent graph QA

Image-dependent yoki marked-answer savolda vertex, axis, intercept, D va test points bilan variantni mustaqil tekshiring.

Missing image/context bo‘lsa canonical worked examplega ko‘chirmang.

Formula kutubxonasi

Kvadrat funksiya standard form

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

$a$ — yetakchi koeffitsient
$b$ — chiziqli koeffitsient
$c$ — ozod had

Har qanday quadraticning standard ko‘rinishi.

Shart: a≠0

Diskriminant

$$D=b^2-4ac$$

$D$ — diskriminant

Real ildizlar va x-interceptlar sonini klassifikatsiya qiladi.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: D>0:2 root; D=0:1 double root; D<0:real root yo‘q

Kvadrat formula

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$$

$D$ — b²-4ac

Real x-interceptlarning x-koordinatalari.

Shart: D≥0

Xususiy holatlar: D=0 bo‘lsa x=-b/(2a)

Simmetriya o‘qi

$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

$x_0$ — uchning x-koordinatasi

Parabolaning vertikal simmetriya o‘qi.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: Ikki root bo‘lsa x0=(r1+r2)/2

Uchning y-koordinatasi

$$y_0=f(x_0)$$

$y_0$ — uchning y-koordinatasi

Vertex balandligi.

Shart: x0=-b/(2a)

Vertex y via discriminant

$$y_0=-\frac{D}{4a}$$

$D$ — diskriminant

Diskriminant va vertex balandligini bog‘laydi.

Shart: a≠0

Vertex form

$$f(x)=a(x-h)^2+k$$

$h$ — vertex x
$k$ — vertex y

Vertex (h,k) va transformationlarni bevosita ko‘rsatadi.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: Axis x=h

Standard → vertex parameters

$$h=-\frac{b}{2a},\qquad k=c-\frac{b^2}{4a}=-\frac{D}{4a}$$

$h$ — x0
$k$ — y0

Standard formdan vertex form parametrlarini beradi.

Shart: a≠0

Factored form

$$f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$$

$r_1,r_2$ — real roots

x-interceptlarni bevosita ko‘rsatadi.

Shart: D≥0

Xususiy holatlar: D=0 da r1=r2

Ildizlar yig‘indisi

$$r_1+r_2=-\frac ba$$

$r_1,r_2$ — roots

Axis rootlar midpointida ekanini ham beradi.

Shart: a≠0, roots mavjud

Xususiy holatlar: x0=(r1+r2)/2

Ildizlar ko‘paytmasi

$$r_1r_2=\frac ca$$

$r_1,r_2$ — roots

Roots productni coefficient bilan bog‘laydi.

Shart: a≠0

y-intercept

$$f(0)=c$$

$c$ — y-o‘q kesishish ordinatasi

Grafik (0,c) nuqtadan o‘tadi.

Quadratic domain

$$D_f=\mathbb R$$

Har real x da funksiya aniqlangan.

Shart: Polynomial quadratic

Range: yuqoriga ochilgan

$$a>0\Rightarrow Y_f=[y_0,\infty)$$

$y_0$ — minimum

Vertex minimum qiymat.

Shart: a>0

Range: pastga ochilgan

$$a<0\Rightarrow Y_f=(-\infty,y_0]$$

$y_0$ — maximum

Vertex maximum qiymat.

Shart: a<0

Monotonlik: a>0

$$a>0:\quad f\downarrow\text{ on }(-\infty,x_0],\quad f\uparrow\text{ on }[x_0,\infty)$$

$x_0$ — axis/vertex x

Vertexgacha kamayadi, keyin o‘sadi.

Shart: a>0

Monotonlik: a<0

$$a<0:\quad f\uparrow\text{ on }(-\infty,x_0],\quad f\downarrow\text{ on }[x_0,\infty)$$

$x_0$ — axis/vertex x

Vertexgacha o‘sadi, keyin kamayadi.

Shart: a<0

Roots + point reconstruction

$$a=\frac{y_p}{(x_p-r_1)(x_p-r_2)}$$

$(x_p,y_p)$ — qo‘shimcha nuqta

Ikki root ma’lum bo‘lganda scale a ni topadi.

Shart: x_p≠r1,r2

Vertex + point reconstruction

$$a=\frac{y_p-k}{(x_p-h)^2}$$

$(h,k)$ — vertex
$(x_p,y_p)$ — qo‘shimcha nuqta

Vertex formadagi a ni topadi.

Shart: x_p≠h

x-axis bilan ikki kesishish

$$D>0$$

$D$ — diskriminant

Ikki distinct real x-intercept.

Shart: a≠0

x-axisga urinish

$$D=0$$

$D$ — diskriminant

Bitta double root, vertex x-o‘qda.

Shart: a≠0

Xususiy holatlar: y0=0

Grafik butunlay bir tomonda

$$a>0,D<0\Rightarrow f(x)>0;\qquad a<0,D<0\Rightarrow f(x)<0$$

$D$ — diskriminant

Real zeros yo‘q va leading sign graphning x-axis tomonini belgilaydi.

Shart: D<0

Xususiy holatlar: Non-strict “tegmaydi” sharti uchun D<0; D=0 tangency

Teoremalar va isbotlar

📐 Simmetriya o‘qi va vertex teoremasi

f(x)=ax²+bx+c, a≠0 uchun parabola simmetriya o‘qi x=-b/(2a), uchi esa (-b/(2a), -D/(4a)).

Square completion quadraticni markazga nisbatan a·(masofa)² + constant ko‘rinishga keltiradi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: f(x)=ax²+bx+c, a≠0

Isbotlash kerak: Axis va vertex formulalarini chiqarish

a ni tashqariga chiqaring: f=a(x²+(b/a)x)+c.
Kvadrat to‘ldiring: x²+(b/a)x=(x+b/(2a))²-b²/(4a²).
f=a(x+b/(2a))²+c-b²/(4a).
Demak h=-b/(2a), k=(4ac-b²)/(4a)=-D/(4a).

Vertex (-b/(2a),-D/(4a)); axis x=-b/(2a). ∎

📐 Diskriminant–kesishish teoremasi

Kvadrat funksiya grafigining x-o‘q bilan kesishishlar soni D=b²-4ac ishorasi bilan belgilanadi.

x-intercept f(x)=0 tenglamaning real ildizidir.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: f(x)=ax²+bx+c

Isbotlash kerak: D ishorasi x-interceptlar sonini beradi

x-intercept uchun f(x)=0 yechiladi.
Quadratic formula x=(-b±√D)/(2a).
D>0 bo‘lsa √D musbat va ikki distinct real qiymat chiqadi.
D=0 bo‘lsa ±0 bir xil root beradi.
D<0 bo‘lsa real √D mavjud emas.

Kesishishlar soni mos ravishda 2,1,0. ∎

📐 Vertex extremum va range teoremasi

f(x)=a(x-h)²+k da a>0 bo‘lsa k global minimum, a<0 bo‘lsa k global maximum.

(x-h)² hech qachon manfiy emas.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: f=a(x-h)²+k

Isbotlash kerak: k global extremum ekanini ko‘rsatish

Har real x uchun (x-h)²≥0.
a>0 bo‘lsa a(x-h)²≥0, demak f(x)≥k va equality x=h da.
a<0 bo‘lsa a(x-h)²≤0, demak f(x)≤k va equality x=h da.

a>0 da k minimum; a<0 da k maximum. ∎

📐 Root midpoint teoremasi

Ikki real ildiz r1,r2 mavjud bo‘lsa parabola simmetriya o‘qi x=(r1+r2)/2 dan o‘tadi.

Simmetrik x-interceptlar vertexning ikki tomonida teng masofada.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Roots r1,r2

Isbotlash kerak: Axis ularning midpointida ekanini ko‘rsatish

Vieta bo‘yicha r1+r2=-b/a.
Midpoint (r1+r2)/2=-b/(2a).
Standard-form axis formulasi ham x0=-b/(2a).

x0=(r1+r2)/2. ∎

📐 Uch nuqta orqali quadraticning yagonaligi

x-koordinatalari turli bo‘lgan uch nuqtadan o‘tuvchi darajasi ≤2 polynomial, agar mavjud bo‘lsa, yagona.

Ikki quadratic farqi darajasi ≤2 polynomial bo‘lib, uchta distinct rootga ega bo‘lsa identik nol bo‘lishi kerak.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: P va Q darajasi ≤2 va uchta distinct x_i da P(x_i)=Q(x_i)

Isbotlash kerak: P=Q ekanini ko‘rsatish

R=P-Q deb oling; deg R≤2.
Har uch x_i uchun R(x_i)=0.
Nol bo‘lmagan darajasi ≤2 polynomial ko‘pi bilan 2 distinct rootga ega.
R uchta distinct rootga ega bo‘lgani uchun R identik nol.

P=Q; demak uchta distinct x nuqta quadraticni yagona aniqlaydi. ∎

Yechilgan misollar

oson $y=x^2-7x+6$ funksiyaning x-o‘q bilan kesishish nuqtalarini toping.

💡 Maslahat: f(x)=0 ni factorlang.

$x^2-7x+6=0$.
$(x-1)(x-6)=0$.
Roots $x=1$ va $x=6$.
Grafik nuqtalari $(1,0)$ va $(6,0)$.

✅ Javob: $(1,0),(6,0)$

Nega bu usul ishlaydi: x-interceptlar aynan f(x)=0 ildizlaridir.

⚠️ Faqat x=1,6 deb yozish koordinata so‘ralganda to‘liq javob emas.

oson $y=x^2-2x-15$ funksiyaning y-o‘q bilan kesishish nuqtasini toping.

💡 Maslahat: x=0 qo‘ying.

$f(0)=0-0-15=-15$.
y-o‘q nuqtasi $(0,f(0))$.

✅ Javob: $(0,-15)$

Nega bu usul ishlaydi: Standard formda y-intercept c ga teng.

⚠️ x-interceptlar bilan aralashtirmang.

oson $y=x^2-4x$ parabolaning uchini toping.

💡 Maslahat: $x_0=-b/(2a)$.

$a=1,b=-4$.
$x_0=-(-4)/(2)=2$.
$y_0=f(2)=4-8=-4$.

✅ Javob: $(2,-4)$

Nega bu usul ishlaydi: Vertex axis formulasidan bevosita olinadi.

Muqobil usul: Complete square: $x^2-4x=(x-2)^2-4$.

⚠️ $(0,0)$ va $(4,0)$ roots, vertex emas.

oson $y=9-x^2$ funksiyaning uchini va qiymatlar sohasini toping.

💡 Maslahat: a<0, vertex x=0 da.

$a=-1,b=0$, shuning uchun $x_0=0$.
$y_0=f(0)=9$.
a<0 bo‘lgani uchun 9 global maksimum.

✅ Javob: $V=(0,9),\quad Y=(-\infty,9]$

Nega bu usul ishlaydi: Pastga ochilgan parabola vertexda maksimumga ega.

⚠️ Range ni $[9,\infty)$ deb teskarilamang.

oson $y=x^2+4$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.

💡 Maslahat: $x^2\ge0$.

$x^2\ge0$ barcha real x uchun.
Demak $x^2+4\ge4$.
Equality x=0 da yuz beradi.

✅ Javob: $[4,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Vertex $(0,4)$ minimum beradi.

⚠️ Domain bilan range ni aralashtirmang: domain $\mathbb R$.

ortacha $y=-x^2-4x+1$ parabolaning uchini toping.

💡 Maslahat: Axisni aniq hisoblang.

$a=-1,b=-4$.
$x_0=-b/(2a)=4/(-2)=-2$.
$y_0=f(-2)=-4+8+1=5$.

✅ Javob: $(-2,5)$

Nega bu usul ishlaydi: Vertex formulasi va to‘g‘ridan substitution bir-birini tekshiradi.

Muqobil usul: Complete square: $-(x+2)^2+5$.

⚠️ Source 7411 dagi $(-2,-5)$ ishora xatosi.

ortacha $y=-x^2-8x+1$ parabolaning uchini toping.

💡 Maslahat: Complete square ham qulay.

$x_0=-(-8)/(2\cdot-1)=-4$.
$y_0=f(-4)=-16+32+1=17$.

✅ Javob: $(-4,17)$

Nega bu usul ishlaydi: a<0 va vertex y positive bo‘lishi algebra bilan tekshiriladi.

Muqobil usul: $y=-(x+4)^2+17$.

⚠️ Source 7412 dagi $(-4,-17)$ noto‘g‘ri.

ortacha $y=3x^2-12x+5$ funksiyaning o‘sish-kamayish intervallarini toping.

💡 Maslahat: Avval vertex x ni toping.

$x_0=12/6=2$.
a=3>0, parabola yuqoriga ochiladi.
Shuning uchun $(-\infty,2]$ da kamayadi, $[2,\infty)$ da o‘sadi.

✅ Javob: $\downarrow(-\infty,2],\quad \uparrow[2,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: a>0 quadratic vertexgacha tushadi, keyin ko‘tariladi.

⚠️ a>0 bo‘lsa yo‘nalishlarni teskarilamang.

ortacha $y=x^2-2x-24$ funksiyaning qiymatlar sohasini toping.

💡 Maslahat: Vertex minimumini toping.

$x_0=1$.
$y_0=1-2-24=-25$.
a=1>0, demak -25 minimum.

✅ Javob: $[-25,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Range vertex extremumdan olinadi.

Muqobil usul: $y=(x-1)^2-25$.

⚠️ -25 ni ochiq endpoint qilmang; vertex qiymati erishiladi.

ortacha $y=-x^2-12x+67$ funksiyaning maksimumini toping.

💡 Maslahat: Vertex y qiymatini toping.

$x_0=-(-12)/(2\cdot-1)=-6$.
$f(-6)=-36+72+67=103$.
a<0 bo‘lgani uchun bu maksimum.

✅ Javob: $103$

Nega bu usul ishlaydi: Pastga ochilgan parabola vertexda global maksimum beradi.

Muqobil usul: $y=-(x+6)^2+103$.

⚠️ Vertex x=-6 ni maksimum qiymat 103 bilan aralashtirmang.

ortacha $y=x^2+ax-5$ parabolaning simmetriya o‘qi $x=4$ bo‘lsa, a ni toping.

💡 Maslahat: $-a/2=4$.

Bu yerda leading coefficient 1 va b=a.
$x_0=-a/2=4$.
$-a=8$, demak $a=-8$.

✅ Javob: $a=-8$

Nega bu usul ishlaydi: Axis formulasi parameterga to‘g‘ridan tenglama beradi.

⚠️ Formula denominatoridagi leading coefficientni unutmaslik kerak.

ortacha $y=3x^2-ax+3$ parabolaning simmetriya o‘qi $x=-2$ bo‘lsa, a ni toping.

💡 Maslahat: Bu formulada b=-a.

$A=3$, linear coefficient $b=-a$.
$x_0=-b/(2A)=a/6$.
$a/6=-2$, demak $a=-12$.

✅ Javob: $a=-12$

Nega bu usul ishlaydi: Parameter nomi bilan standard-form koeffitsientni farqlash muhim.

⚠️ b=a deb olish ishora xatosi beradi.

ortacha $y=ax^2+3x-7$ parabolaning simmetriya o‘qi $x=2$ bo‘lsa, a ni toping.

💡 Maslahat: $-3/(2a)=2$.

$x_0=-3/(2a)=2$.
$-3=4a$.
$a=-3/4$.

✅ Javob: $a=-\frac34$

Nega bu usul ishlaydi: Axis formula leading coefficient parameter bo‘lganda ham ishlaydi.

⚠️ a=0 quadratic bo‘lmaydi; bu yechim nonzero.

ortacha $y=x^2+6x+c$ grafigi x-o‘qni ikki nuqtada kesishi uchun c qanday bo‘lishi kerak?

💡 Maslahat: Ikki distinct root uchun D>0.

$D=6^2-4c=36-4c$.
$36-4c>0$.
$c<9$.

✅ Javob: $c<9$

Nega bu usul ishlaydi: x-axis bilan ikki kesishish quadratic tenglamaning ikki real distinct rootiga teng.

⚠️ D≥0 emas, aynan D>0 talab qilinadi.

ortacha $y=3x^2+4x-c$ grafigi x-o‘q bilan kesishmasligi uchun c ni toping.

💡 Maslahat: Real root yo‘q → D<0.

$D=4^2-4\cdot3\cdot(-c)=16+12c$.
$16+12c<0$.
$c<-4/3$.

✅ Javob: $c<-\frac43$

Nega bu usul ishlaydi: D<0 real x-intercept yo‘qligini kafolatlaydi.

⚠️ -c constant sabab diskriminantdagi ishorani ehtiyot qiling.

ortacha $y=x^2+ax+4$ parabola x-o‘qqa urinishi uchun a ni toping.

💡 Maslahat: Tangency → D=0.

$D=a^2-16$.
$a^2-16=0$.
$a=\pm4$.

✅ Javob: $a=\pm4$

Nega bu usul ishlaydi: Double root grafik tangency bilan bir xil hodisa.

⚠️ Faqat a=4 ni olish ± yechimning yarmini yo‘qotadi.

ortacha $y=-x^2+5x-c$ grafigi butunlay x-o‘qdan pastda yotishi uchun c ni toping.

💡 Maslahat: a<0 va real root bo‘lmasligi kerak.

Leading coefficient -1<0.
$D=25-4c$.
Strictly below x-axis uchun $D<0$.
$25-4c<0\Rightarrow c>25/4$.

✅ Javob: $c>\frac{25}{4}$

Nega bu usul ishlaydi: Pastga ochilish + D<0 graphni x-axisdan butunlay pastda qoldiradi.

⚠️ c=25/4 da grafik x-o‘qqa urinadi, strictly below emas.

ortacha $y=2x-1$ va $y=x^2+4x-9$ grafiklarining kesishish nuqtalarini toping.

💡 Maslahat: Funksiyalarni tenglashtiring.

$2x-1=x^2+4x-9$.
$x^2+2x-8=0=(x-2)(x+4)$.
$x=2$ yoki $x=-4$.
Linear funksiyada y: 3 va -9.

✅ Javob: $(2,3),\ (-4,-9)$

Nega bu usul ishlaydi: Intersection nuqtada ikki funksiya bir xil y qiymatga ega.

⚠️ Faqat x=2,-4 yozish koordinatalar so‘ralganda yetarli emas.

ortacha $y=x^2+3x-2$ va $y=x^2+5x-4$ grafiklari qayerda kesishadi?

💡 Maslahat: x² hadlar qisqaradi.

$x^2+3x-2=x^2+5x-4$.
$3x-2=5x-4$.
$x=1$.
$y=1+3-2=2$.

✅ Javob: $(1,2)$

Nega bu usul ishlaydi: Bir xil leading termlar kesishish tenglamasini linearga tushiradi.

⚠️ x² larni ko‘paytirib yubormang; ular ikki tomonda cancel bo‘ladi.

ortacha $(2,-4),(-1,-4),(1,-6)$ nuqtalardan o‘tuvchi quadraticni toping.

💡 Maslahat: $y=ax^2+bx+c$ system tuzing.

Nuqtalarni qo‘yib: $4a+2b+c=-4$, $a-b+c=-4$, $a+b+c=-6$.
Oxirgi ikkitani ayirib $2b=-2$, demak $b=-1$.
$a-b+c=-4$ dan $a+c=-5$.
Birinchi tenglama $4a-2+c=-4$, ya’ni $4a+c=-2$.
Ayirib $3a=3$, demak $a=1$, so‘ng $c=-6$.

✅ Javob: $y=x^2-x-6$

Nega bu usul ishlaydi: Uch distinct x nuqta quadratic koeffitsientlarini yagona aniqlaydi.

Muqobil usul: Variantni uch nuqtada substitution bilan tekshirish mumkin.

⚠️ Faqat ikki nuqtadan umumiy quadraticni yagona aniqlab bo‘lmaydi.

ortacha Parabola x-o‘qni $x=-1$ va $x=3$ da kesadi hamda $(1,-4)$ dan o‘tadi. Tenglamani toping.

💡 Maslahat: Factored formdan boshlang.

$y=a(x+1)(x-3)$.
$(1,-4)$ ni qo‘ying: $-4=a(2)(-2)=-4a$.
$a=1$.

✅ Javob: $y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$

Nega bu usul ishlaydi: Roots factored formni, bitta qo‘shimcha nuqta scale a ni beradi.

⚠️ Source 7430 A varianti roots/pointni qanoatlantirmaydi; to‘g‘ri polynomial B variantdagi ifoda.

ortacha Parabola x-o‘qni $x=4$ va $x=5$ da kesadi, y-o‘qni $(0,20)$ da kesadi. Tenglamani toping.

💡 Maslahat: Factored formga x=0 ni qo‘ying.

$y=a(x-4)(x-5)$.
$20=a(-4)(-5)=20a$.
$a=1$.

✅ Javob: $y=x^2-9x+20$

Nega bu usul ishlaydi: Ikki root + bitta y-intercept reconstructionni to‘liq qiladi.

⚠️ Rootsni standard formdagi constant bilan to‘g‘ridan aralashtirmang.

murakkab $(1,2),(0,3),(2,9)$ nuqtalardan o‘tuvchi quadraticni toping.

💡 Maslahat: c ni (0,3) darhol beradi.

$x=0$ dan $c=3$.
$x=1$: $a+b+3=2\Rightarrow a+b=-1$.
$x=2$: $4a+2b+3=9\Rightarrow 2a+b=3$.
Ikkinchisidan birinchisini ayirib $a=4$.
So‘ng $b=-5$.

✅ Javob: $y=4x^2-5x+3$

Nega bu usul ishlaydi: Three-point linear system unique coefficients beradi.

⚠️ Source variantni faqat bitta nuqtada tekshirish yetarli emas; uchalasida ham tekshiring.

murakkab $y=-2(x-3)^2+5$ grafik uchun vertex, axis, opening, range va monotonicityni toping.

💡 Maslahat: Vertex formni to‘g‘ridan o‘qing.

Vertex $(h,k)=(3,5)$.
Axis $x=3$.
a=-2<0, demak pastga ochiladi va vertex maksimum.
Range $(-\infty,5]$.
Chap tomonda o‘sadi, o‘ng tomonda kamayadi.

✅ Javob: $V=(3,5),\ x=3,\ Y=(-\infty,5],\ \uparrow(-\infty,3],\ \downarrow[3,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Vertex form grafik xususiyatlarini expansionsiz beradi.

⚠️ $(x-3)$ sabab vertex x=-3 emas, +3.

murakkab $y=2x^2+4x-6$ uchun $a,b,c,D,x_0,y_0$ ishoralarini aniqlang.

💡 Maslahat: Har invariantni alohida hisoblang.

$a=2>0,b=4>0,c=-6<0$.
$D=16-4\cdot2\cdot(-6)=64>0$.
$x_0=-4/4=-1<0$.
$y_0=f(-1)=2-4-6=-8<0$.

✅ Javob: $a>0,b>0,c<0,D>0,x_0<0,y_0<0$

Nega bu usul ishlaydi: Graph-image savollarini coefficient invariantlari bilan algebraik tekshirish mumkin.

⚠️ Rasm yo‘q bo‘lsa marked optionni taxmin bilan canonical qilish mumkin emas.

murakkab $y=x^2-4$ grafigining koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari hosil qilgan uchburchak yuzini toping.

💡 Maslahat: Interceptlarni toping.

x-intercepts: $x=\pm2$, nuqtalar $(-2,0),(2,0)$.
y-intercept: $(0,-4)$.
Base uzunligi 4, balandlik 4.
$S=\frac12\cdot4\cdot4=8$.

✅ Javob: $8$

Nega bu usul ishlaydi: Coordinate interceptlar oddiy base-height geometriyaga aylanadi.

⚠️ y-interceptni (0,4) deb ishora xato qilmang.

murakkab $y=x^2+8x+13$ parabola uchidan koordinata boshigacha masofani toping.

💡 Maslahat: Avval vertexni toping.

$x_0=-8/2=-4$.
$y_0=16-32+13=-3$.
Vertex $(-4,-3)$.
Masofa $\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5$.

✅ Javob: $5$

Nega bu usul ishlaydi: Vertex algebra va distance formula ketma-ket ishlaydi.

⚠️ Faqat |x0| yoki |y0| masofa emas.

murakkab OABC kvadrat koordinata o‘qlariga parallel, $O=(0,0)$ va qarama-qarshi uchi $B=(s,s)$ parabola $y=x^2-8x+14$ ning $x<4$ qismida yotadi. Kvadrat yuzini toping.

💡 Maslahat: B=(s,s) ni parabola tenglamasiga qo‘ying.

$s=s^2-8s+14$.
$s^2-9s+14=0=(s-2)(s-7)$.
$s=2$ yoki 7.
x<4 shartidan $s=2$.
Kvadrat yuzi $s^2=4$.

✅ Javob: $4$

Nega bu usul ishlaydi: Geometrik constraint parabola bilan birgalikda kerakli rootni tanlaydi.

⚠️ x<4 shartini e’tiborsiz qoldirib s=7 ni ham qabul qilmang.

murakkab $f(x)=4-ax^2$ va $g(x)=b+x$ funksiyalar $x=1$ va $x=2$ da teng qiymatlar qabul qiladi. $a+b$ ni toping.

💡 Maslahat: Ikki x qiymat uchun ikki tenglama tuzing.

$x=1$: $4-a=b+1$.
$x=2$: $4-4a=b+2$.
Ikkinchisidan birinchisini ayiring: $-3a=1$, demak $a=-1/3$.
$b=3-a=10/3$.
$a+b=3$.

✅ Javob: $3$

Nega bu usul ishlaydi: Ikki intersection x qiymati ikki parameter uchun yetarli independent shart beradi.

⚠️ Har bir x uchun y qiymatini alohida parameter deb qabul qilmang.

murakkab $y=ax^2-6x+a$ grafigi barcha x lar uchun x-o‘qdan yuqorida bo‘lishi uchun a ni toping.

💡 Maslahat: a>0 va D<0 kerak.

Yuqorida bo‘lish uchun leading coefficient $a>0$.
$D=(-6)^2-4a^2=36-4a^2$.
Strictly above uchun $D<0$.
$36-4a^2<0\Rightarrow a^2>9$.
$a>0$ bilan kesishib $a>3$.

✅ Javob: $a>3$

Nega bu usul ishlaydi: Upward opening + no real roots graphni butunlay positive qiladi.

⚠️ Faqat |a|>3 desangiz a<-3 holatida parabola pastga ochiladi.

Umumiy xatolar

❌ a=0 bo‘lsa ham ax²+bx+c ni kvadrat funksiya deb olish.

a=0 da x² hadi yo‘qolib funksiya chiziqli yoki doimiy bo‘ladi.

✅ Kvadrat funksiya uchun doim a≠0 shartini tekshiring.

$0x^2+3x+1=3x+1$.

❌ x-intercept va y-interceptni aralashtirish.

x-intercept uchun y=0, y-intercept uchun x=0 qo‘yiladi.

✅ Kesishish o‘qini avval aniqlang: x-o‘q → f(x)=0; y-o‘q → f(0)=c.

$y=x^2-4$: x-intercepts ±2, y-intercept -4.

❌ Simmetriya o‘qini x=b/(2a) deb yozish.

Minus belgisi tushib qolsa vertex va barcha keyingi graph xususiyatlari noto‘g‘ri chiqadi.

✅ $x_0=-b/(2a)$ formulani saqlang.

$x^2-4x$ uchun x0=2, -2 emas.

❌ Vertexning x-koordinatasini minimum/maksimum qiymat deb olish.

Extremum qiymat y0=f(x0), x0 esa uning qayerda yuz berishini bildiradi.

✅ Avval x0, keyin y0 ni hisoblang.

$x^2-4x$ da x0=2, minimum=-4.

❌ Vertex y qiymatida ishorani tez hisoblab source variantiga moslashtirish.

Substitutiondagi b·x va ax² ishoralari oson adashadi.

✅ y0 ni ikki usul bilan tekshiring: f(x0) va -D/(4a).

$-x^2-4x+1$ uchun y0=5; source 7411 dagi -5 noto‘g‘ri.

❌ Ikki x-intercept sharti uchun D≥0 ishlatish.

D=0 da ikkita emas, bitta double root/tangency bor.

✅ Ikki distinct kesishish uchun D>0; tangency uchun D=0.

$x^2+6x+c$ ikki marta kesishi uchun c<9.

❌ D<0 bo‘lsa grafik doim x-o‘qdan yuqorida deb o‘ylash.

D<0 faqat real root yo‘qligini aytadi; yuqori/past tomon a ishorasiga bog‘liq.

✅ D<0 bilan birga a>0 yoki a<0 ni tekshiring.

$-x^2-1<0$ barcha real x da.

❌ Vertex form $a(x-h)^2+k$ da vertex x ni -h deb olish.

Formula aynan x-h ko‘rinishda yozilgan; zero ichki qavs h da yuz beradi.

✅ $(x-h)^2$ → vertex x=h; $(x+3)^2=(x-(-3))^2$ → h=-3.

$-2(x-3)^2+5$ vertex x=3.

❌ |a| kattalashsa parabola kengayadi deb o‘ylash.

Bir xil gorizontal masofada |a| katta bo‘lsa |y-k| kattaroq bo‘ladi, grafik tezroq ko‘tariladi/tushadi.

✅ |a|>1 torroq, 0<|a|<1 kengroq.

$3x^2$ grafik $x^2$ dan torroq.

❌ Range ni a ishorasidan qat’i nazar [y0,∞) deb yozish.

a<0 parabola pastga ochiladi va vertex maksimumdir.

✅ a>0 → [y0,∞); a<0 → (-∞,y0].

$-x^2+7$ range (-∞,7].

❌ Monotonlik yo‘nalishini faqat x0 ga qarab, a ni tekshirmasdan yozish.

a>0 va a<0 uchun o‘sish-kamayish yo‘nalishlari teskaridir.

✅ Axisni topib, keyin opening direction bilan arrowsni belgilang.

$-x^2-6x+5$ x=-3 gacha o‘sadi, keyin kamayadi.

❌ Rootlar mavjud bo‘lsa axisni r1-r2 yoki r1+r2 deb olish.

Axis rootsning o‘rtacha qiymatidan o‘tadi.

✅ $x_0=(r_1+r_2)/2$.

Roots 1 va 7 bo‘lsa axis x=4.

❌ Ikki nuqta umumiy quadraticni yagona aniqlaydi deb hisoblash.

a,b,c uchta noma’lum; ikki nuqta odatda faqat ikki tenglama beradi.

✅ Uch distinct-x nuqta yoki qo‘shimcha strukturaviy shart (vertex/root/axis) kerak.

Source 7432–7434 extracted matnida faqat ikki nuqta qolgan; context yetishmaydi.

❌ Ikki grafik kesishganda faqat x qiymatlarni topib to‘xtash.

Savol koordinatalarni so‘rasa y ham hisoblanishi kerak.

✅ f(x)=g(x) dan x larni topib, har birini bir funksiyaga qo‘ying.

$2x-1$ va $x^2+4x-9$ → (2,3),(-4,-9).

❌ Rasmga bog‘liq savolda rasm yo‘q bo‘lsa marked variantni haqiqat deb qabul qilish.

Graphning orientation, intercept va vertex ma’lumoti rasmda bo‘lishi mumkin; text extraction uni yo‘qotadi.

✅ Rasm/source context tiklanmaguncha canonical misol sifatida ishlatmang.

7435–7449 va 7485–7486 image-dependent.

❌ Algebraik jihatdan bir xil variantlarni ikki xil javob deb sanash.

Equivalent equations bir xil axisni ifodalaydi, testda duplicate correct option paydo bo‘lishi mumkin.

✅ Variantlarni simplify qilib equivalence QA qiling.

7417: x-1.5=0 va 2x-3=0 bir xil.

❌ Savoldagi parameter nomi bilan formuladagi parameter nomi mos kelmasa ham majburan javob belgilash.

Variable typo masalani semantik jihatdan noaniq qiladi.

✅ Parameter nomlarini source bilan solishtiring va typo flag qo‘ying.

7469 matn c ni so‘raydi, formula/options a bilan ishlaydi.

❌ Korrupt yoki takrorlangan formula matnida correct_option ni proof deb olish.

OCR/extraction yoki source xatosi masalani boshqa masalaga aylantirishi mumkin.

✅ Original formula, graph va semantic constraint tiklanmasa recordni canonical scope’dan chiqarib turing.

7482 da bir xil ifoda “chiziq” va “parabola” sifatida takrorlangan.

Noto'g'ri tasavvurlar

Har bir parabola yuqoriga ochiladi.

Ochilish yo‘nalishini a ishorasi belgilaydi: a>0 yuqoriga, a<0 pastga.

Vertex har doim minimum.

a>0 da minimum, a<0 da maksimum.

D<0 bo‘lsa grafik mavjud emas.

Grafik barcha real x uchun mavjud; faqat real x-intercept yo‘q.

y-intercept ham quadratic root hisoblanadi.

Root/x-intercept f(x)=0; y-intercept esa x=0 dagi (0,c).

Simmetriya o‘qi y=constant ko‘rinishda bo‘ladi.

Oddiy vertikal parabola uchun axis x=x0 ko‘rinishida.

Vertexning x-koordinatasi albatta rootlardan biri.

Vertex odatda rootsning midpointida; faqat D=0 tangencyda vertex x double rootga teng.

Har qanday ikki nuqta orqali aynan bitta parabola o‘tadi.

Umumiy y=ax²+bx+c uchun odatda uch independent shart kerak.

|a| faqat grafikni yuqoriga-pastga siljitadi.

|a| vertical scale/widthni o‘zgartiradi; vertikal siljish vertex formadagi k orqali.

D=0 bo‘lsa x-o‘q bilan kesishish yo‘q.

D=0 da bitta double x-intercept bor va parabola x-o‘qqa urinadi.

Testdagi correct_option grafik savolida algebraik tekshiruvdan kuchliroq dalil.

Canonical javob axis, vertex, intercept, D va source image/context bilan mustaqil tekshiriladi.

Amaliy qo'llanilishi

Fizika — uloqtirilgan jism

Ideal vertikal/gorizontal harakat modellarida balandlik vaqt yoki gorizontal masofaga nisbatan quadratic bo‘lib, vertex maksimal balandlikni beradi.

Optimallashtirish

Perimetr, maydon yoki xarajat modelini quadraticga keltirib vertex orqali maksimum/minimum topiladi.

Transport va kinematika

Doimiy tezlanish bilan bog‘liq masofa-vaqt ifodalarida t² hadi paydo bo‘ladi; admissible vaqtlar va ekstremumlar quadratic tahlilga keladi.

Iqtisod — foyda va tushum

Narx-talab modeli chiziqli bo‘lsa tushum ko‘pincha quadratic bo‘ladi; vertex optimal narx yoki maksimal tushumni beradi.

Optika va antenna dizayni

Parabolik reflektorlar parallel nurlar/to‘lqinlarni fokusga yig‘ish geometriyasiga tayanadi; quadratic/parabola modeli shakl parametrlarini beradi.

Kompyuter grafika

Parabolik trajectory, easing va quadratic Bézierga yaqin tushunchalarda quadratic shakllar va transformatsiyalar ishlatiladi.

Model kesishishlari

Chiziqli va quadratic modellar teng bo‘ladigan nuqtalar break-even, trajectory crossing yoki threshold sifatida talqin qilinadi.

Test-bank QA

Vertex, axis, discriminant va intercept invariantlari duplicate option, sign error, missing-image va parameter typo kabi kontent xatolarini avtomatik aniqlashga yordam beradi.

Kvadrat funksiya: 3 ko‘rinish → bitta parabola

Standard form koeffitsient va diskriminantni, vertex form uch/rangeni, factored form esa nollarni bevosita ko‘rsatadi; ularning barchasi bir xil parabola invariantlari bilan o‘zaro tekshiriladi.

Xulosa

Cheat sheet: a≠0; a>0 yuqoriga, a<0 pastga; y-intercept=(0,c); D=b²-4ac; x0=-b/(2a); y0=f(x0)=-D/(4a); vertex form a(x-h)²+k; factored form a(x-r1)(x-r2); domain=R; a>0 da range [y0,∞), a<0 da (-∞,y0]; o‘sish-kamayish vertexdan ikki tomonga almashadi; grafiklar kesishishi f(x)=g(x) orqali topiladi; parametrli x-axis shartlar D ning ishorasi bilan boshqariladi.

Keyingi parametrli tenglama va tengsizliklarda D, vertex va grafik joylashuvi parametrga qarab o‘zgaradi. Modulli, irratsional va ko‘rsatkichli funksiyalarda ham graph transformation va intersection fikri qayta ishlatiladi; calculusda esa vertexdagi maksimum/minimum g‘oyasi hosila orqali umumlashtiriladi.

Bog'liq mavzular

Oldin bilishingiz kerak: Chiziqli funksiya, uning grafigi va xossalari, Kvadrat tenglama va uning ildizlari, Viyet teoremasi, Ko'phadlar

Bog'liq mavzular: Ratsional tengsizliklar, Funksiya

Keyingi mavzular: Parametrli tenglama va tengsizliklar, Modulli ifodalar va tenglamalar

Manbalar

OpenStax College Algebra 2e — 5.1 Quadratic Functions — Quadratic graph, vertex, axis, intercepts, vertex form and coefficient effects.
OpenStax College Algebra 2e — Chapter 5 Review Exercises — Quadratic-function review and practice across forms and graph features.
Khan Academy — Graphing quadratics review — Graph features, vertex, intercepts and forms.
Khan Academy — Graphing a parabola in vertex form — Vertex-form transformations and graph interpretation.
Khan Academy — Vertex and axis of symmetry — Vertex, symmetry axis and quadratic graph reasoning.
Khan Academy — Graph quadratics in all forms — Practice moving among standard, vertex and factored information.

Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang