Algebra

Modulli ifodalar va tenglamalar

murakkab 180 daqiqa modulabsolute valuemutlaq qiymatpiecewisemasofamodulli tenglamanested modulus|x| substitutionmodulli sistemaildizlar soniparameterinterval

Nima uchun muhim?

Modul — sonlar o‘qidagi masofaning algebraik tili. U tenglamalar, funksiyalar, geometriya, optimallashtirish, xatoliklar va piecewise modellarni birlashtiradi. Modulni faqat “manfiyni musbat qilish” sifatida emas, balki sign va masofa strukturasi sifatida tushunish keyingi modulli tengsizliklar, funksiya grafiklari va parametrli masalalarda katta ustunlik beradi.

O'quv maqsadlari

|x| modulni sonning noldan masofasi sifatida tushuntirish
Modulning piecewise ta’rifini qo‘llash
Berilgan x oralig‘ida modulli ifodani modul belgisisiz yozish
Bir nechta modul uchun kritik nuqtalarni topish
Sonlar o‘qini kritik nuqtalar bo‘yicha intervallarga ajratish
Har intervalda modul belgilarini to‘g‘ri ochish
|A|=A va |A|=-A tenglik shartlarini aniqlash
|A|=0 tenglamani yechish
|A|=c, c>0 tenglamani ikki holatga ajratish
|A|=c, c<0 tenglama yechimsizligini tanish
|A|=|B| tenglamani A=B yoki A=-B ga ajratish
Modullar yig‘indisi 0 bo‘lsa har bir modul 0 bo‘lishini qo‘llash
Nested modulus tenglamalarni ichkaridan tashqariga yechish
x² va |x| qatnashgan tenglamada t=|x| almashtirish
Ratsional modulli tenglamalarda maxraj cheklovini saqlash
|x-a|+|x-b| masofa modelini qo‘llash
Bir nechta modul qatnashgan tenglamalarni interval usuli bilan yechish
Modulli tenglamalar sistemasini sign cases orqali yechish
Triangle inequality equality holatini modul tenglamalarda tanish
|quadratic|=parameter tenglamada ildizlar sonini grafik orqali sanash
|q(|x|)|=a tipida t=|x| orqali ildizlar sonini aniqlash
Source-bank javoblarini endpoint, domain va substitution bilan mustaqil QA qilish

Modulning asosiy ma’nosi |u| — u sonining 0 dan masofasi. Shuning uchun u har doim manfiy emas: |u|≥0. Algebraik ta’rif ikki qismli: u≥0 bo‘lsa |u|=u, u<0 bo‘lsa |u|=-u. Bir nechta modul qatnashganda esa har bir ichki ifoda qaysi nuqtada ishora almashtirishini topib, sonlar o‘qini intervallarga ajratish eng ishonchli universal usuldir. Modulli tenglamalarda bir nechta kuchli standart shablon bor. |A|=c uchun c<0 da yechim yo‘q, c=0 da A=0, c>0 da A=±c. |A|=|B| esa A=B yoki A=-B ga teng kuchli. Modullar yig‘indisi 0 bo‘lsa har bir modul alohida 0 bo‘lishi kerak. Agar tenglama faqat x² va |x| orqali ifodalansa, t=|x|≥0 almashtirish simmetriyani ochib beradi. Source-bankda endpoint, nested-modulus va extraction xatolari bor. Canonical yechim marked optionga emas, modul ta’rifi, interval sign tekshiruvi, original tenglamaga substitution va domain nazoratiga tayanadi.

Ta'riflar

Modul / mutlaq qiymat · Absolute value · Модуль

|x| — x ning 0 dan sonlar o‘qidagi masofasi.

Masofa manfiy bo‘lmagani uchun modul ham manfiy emas.

Misol: |-5|=5, |3|=3.

Bu emas: |-5|=-5 noto‘g‘ri.

💡 Geometrik ma’no algebraik qoidalarni eslab qolishni osonlashtiradi.

Piecewise ta’rif · Piecewise definition

|u|=u agar u≥0; |u|=-u agar u<0.

Ichki ifoda ishorasiga qarab modul ochiladi.

Misol: |x-2|=x-2 agar x≥2.

Bu emas: Har doim |u|=u emas.

💡 Breakpoint u=0.

Modul ichki ifodasi · Argument of absolute value

|u(x)| dagi u(x) ifoda.

Modulni ochish uchun aynan shu ifodaning ishorasi kerak.

Misol: |3x-6| da argument 3x-6.

Bu emas: Butun |3x-6| ni argument deb olish terminologik jihatdan noaniq.

💡 Argument noli kritik nuqta beradi.

Kritik nuqta / breakpoint · Breakpoint

Modul argumenti 0 bo‘ladigan x qiymat.

Shu nuqtada ochilish formulasi almashishi mumkin.

Misol: |2x-4| uchun x=2.

Bu emas: x=4 breakpoint emas.

💡 Bir nechta modulda barcha breakpointlar saralanadi.

Sign interval · Ishora oralig‘i

Argument ishorasi o‘zgarmaydigan breakpointlar orasidagi interval.

Har intervalda modul oddiy algebraik ifodaga aylanadi.

Misol: x<2 va x≥2.

Bu emas: Breakpointni interval ichida e’tiborsiz qoldirish.

💡 Test point bilan ishora tekshiriladi.

Masofa · Distance

|x-a| sonlar o‘qida x va a orasidagi masofa.

Modul tenglamani geometrik talqin qilish mumkin.

Misol: |x-3|=5 → x=8 yoki -2.

Bu emas: x-3=5 ning o‘zi faqat bitta yo‘nalishni beradi.

💡 Masofa hech qachon manfiy emas.

Modulli tenglama · Absolute-value equation

Noma’lum modul ichida yoki modul bilan bog‘liq bo‘lgan tenglama.

Yechim sign cases, masofa yoki substitution orqali topiladi.

Misol: |2x-1|=7.

Bu emas: x²-1=0 modulsiz tenglama.

💡 Original tenglamada tekshirish foydali.

Teng modul · Equal absolute values

|A|=|B| bo‘lsa A=B yoki A=-B.

Ikki sonning 0 dan masofasi bir xil.

Misol: |x-1|=|x+3|.

Bu emas: Faqat A=B ni olish yetarli emas.

💡 Squaring orqali ham A²=B².

Nol modul · Zero absolute value

|A|=0 faqat A=0 bo‘lganda.

Masofa faqat nuqtaning o‘zida 0.

Misol: |3x-6|=0 → x=2.

Bu emas: A=±0 ikki xil holat emas.

💡 Unique condition.

Manfiy o‘ng tomon · Negative right-hand side

|A|=c va c<0 bo‘lsa real yechim yo‘q.

Modul manfiy bo‘la olmaydi.

Misol: |5x+3|=-8 → ∅.

Bu emas: ±8 deb ochish noto‘g‘ri.

💡 Eng tez QA qoidalaridan biri.

Nested modulus · Ichma-ich modul

Modul ichida yana modul qatnashgan ifoda.

Ichki moduldan boshlab yangi nonnegative o‘zgaruvchi sifatida qaraladi.

Misol: ||x+1|-5|=9.

Bu emas: Tashqi modulni ichki signni tekshirmasdan ochish.

💡 t=|...|≥0 ko‘p hollarda qulay.

Modul almashtirish · Absolute-value substitution

Tenglama faqat |x| va x² orqali bo‘lsa t=|x|≥0 deb olish.

x²=t² bo‘lib tenglama t ga tushadi.

Misol: x²-5|x|+6=0 → t²-5t+6=0.

Bu emas: t=x deb olish simmetriyani yo‘qotadi.

💡 Har musbat t odatda x=±t beradi.

Modullar yig‘indisi 0 · Zero sum of absolute values

|A|+|B|=0 iff A=0 va B=0.

Nonnegative hadlar yig‘indisi 0 bo‘lishi uchun har biri 0.

Misol: |x-1|+|x²-1|=0 → x=1.

Bu emas: Faqat bittasini 0 qilish yetarli emas.

💡 Ko‘p modulli summaga umumlashadi.

Triangle inequality · Uchburchak tengsizligi

|u+v|≤|u|+|v|.

Masofalar yig‘indisi to‘g‘ri yo‘ldan kam bo‘la olmaydi.

Misol: |a|+|b|≥|a+b|.

Bu emas: Har doim equality deb olish.

💡 Equality sign alignmentga bog‘liq.

Triangle equality holati · Equality case

Real u,v uchun |u|+|v|=|u+v| odatda uv≥0 bo‘lganda.

Ikki yo‘nalish bir tomonga qarasa yo‘l “bukilmaydi”.

Misol: |2x-4|+|x-3|=|3x-7| ni sign orqali tekshirish.

Bu emas: Har x uchun equality emas.

💡 Ko‘p source savollar shu strukturaga tayanadi.

Modulli sistema · Absolute-value system

Kamida bitta tenglamada modul qatnashgan tenglamalar sistemasi.

Har sign choice oddiy linear/nonlinear sistema beradi.

Misol: x+y=5, |2x+3y|=14.

Bu emas: Modulni faqat positive branch bilan almashtirish.

💡 Har branch originalga tekshiriladi.

Ildizlar soni · Number of roots

Tenglamani qanoatlantiradigan distinct real x lar soni.

|q(x)|=a da q=a va q=-a kesishishlari sanaladi.

Misol: |q|=0 da q=0 roots ikki marta sanalmaydi.

Bu emas: Branch rootsni duplicate sanash.

💡 Parameter masalalarda endpoint root count o‘zgaradi.

Modul funksiyasi grafigi · Absolute-value graph

y=|f(x)| grafigi f(x)<0 qismlarni x-o‘qqa nisbatan yuqoriga akslantirish orqali olinadi.

Negative graph portions positive tomonga ko‘tariladi.

Misol: y=|x²-4|.

Bu emas: Butun grafikni y-o‘qqa akslantirish.

💡 |f|=a root count grafik intersection bilan ko‘riladi.

Fundamental tushunchalar

Distance-first meaning

Modulni masofa sifatida ko‘rsak nonnegativity va ± yechimlar tabiiy chiqadi.

$|x-a|=d$

d≥0; d>0 da x=a±d.

Piecewise engine

Har modul argumentining signi uning algebraik shaklini tanlaydi.

$|u|=\begin{cases}u,&u\ge0\\-u,&u<0\end{cases}$

Breakpoint u=0.

Critical-point partition

Bir nechta modulda barcha argument nollarini topib, tartib bilan sonlar o‘qiga qo‘ying.

$u_i(x)=0$

Har ochiq intervalda barcha argument signlari o‘zgarmaydi.

Given interval simplification

Savol x ning oralig‘ini oldindan bersa sign analysis qisqaradi.

$x\in I$

Har argumentni I da musbat/manfiyligini aniqlang.

Identity |A|=A

Modul argumentning o‘ziga teng bo‘lishi uchun argument nonnegative.

$|A|=A\Longleftrightarrow A\ge0$

Equality endpoint kiradi.

Identity |A|=-A

Modul argumentning qarama-qarshisiga teng bo‘lishi uchun argument nonpositive.

$|A|=-A\Longleftrightarrow A\le0$

Equality endpoint kiradi.

Constant RHS trichotomy

|A|=c da c signi masalani uch turga ajratadi.

$c<0:\varnothing;\ c=0:A=0;\ c>0:A=\pm c$

Eng tez yechim patterni.

Equal moduli split

|A|=|B| iff A=B yoki A=-B.

$A^2=B^2$

Ikki linear/quadratic branch hosil bo‘ladi.

Zero sum principle

Nonnegative modullar yig‘indisi 0 bo‘lsa barcha argumentlar 0.

$\sum |A_i|=0\Longleftrightarrow A_i=0\ \forall i$

Common roots kesishmasi olinadi.

Nested modulus from inside out

Ichki modulni t≥0 deb olib tashqi modulus tenglamani t ga nisbatan yeching.

$t=|A(x)|\ge0$

Negative t candidates tashlanadi.

Even symmetry substitution

Faqat |x| va x² bo‘lsa t=|x|, x²=t².

$t=|x|\ge0$

t>0 har biri ±x juft beradi; t=0 bitta x.

Rational modulus domain

Maxrajdagi modul ifoda noldan farqli bo‘lishi shart.

$Q(|x-a|)\ne0$

Algebraik branchdan chiqqan forbidden roots o‘chiriladi.

Piecewise polynomial with modulus

Polynomial + |linear| tenglama breakpoint at linear zero bilan ikki polynomial casega bo‘linadi.

$P(x)+|ax+b|=0$

Har branch rooti o‘z intervaliga mos kelishi kerak.

Distance-sum geometry

|x-a|+|x-b| segment ichida b-a ga teng, tashqarida ortadi.

$|x-a|+|x-b|$

a≤x≤b da constant b-a.

Distance-difference geometry

|x-a|-|x-b| piecewise linear va qiymatlari masofa farqini ifodalaydi.

$|x-a|-|x-b|$

Breakpointlar a,b.

Triangle-equality shortcut

A+B=C algebraik identitet bo‘lsa |A|+|B|=|C| equality sign conditionsga tushadi.

$|A|+|B|=|A+B|$

AB≥0 real holatda.

Absolute-value systems

Har modulus equation ± branchlarga ajralib, systems unioni olinadi.

$|L_1|=c_1,\ |L_2|=c_2$

Har sign kombinatsiya linear sistema.

Parameter root-count graph

|q(x)|=a gorizontal y=a chiziqning y=|q(x)| bilan intersection sonidir.

$|q(x)|=a$

a<0 root yo‘q; critical heightsda root count o‘zgaradi.

Quadratic absolute root counting

q(x)=a va q(x)=-a roots unioni olinadi; a=0 da ikki branch bir xil bo‘lib duplicate roots sanalmaydi.

$|q(x)|=a\Longleftrightarrow q(x)=\pm a$

Vertex height critical parameterni beradi.

Nested even root counting

|q(|x|)|=a da avval t=|x|≥0 roots topiladi, so‘ng positive t lar ±x ga ochiladi.

$t=|x|\ge0$

t=0 bitta, t>0 ikkita x beradi.

Sign-ratio as sign function

A/|A| yoki |A|/A faqat ±1 bo‘lib A=0 da aniqlanmagan.

$\frac{A}{|A|}=\operatorname{sgn}(A)$

Target qiymat mumkin bo‘lmasa yechim yo‘q.

Source QA gate

Har javob original equation, endpoint inclusion, domain va branch interval bilan tekshiriladi.

Malformed floor/fractional-part yoki missing-parameter records canonical misolga olinmaydi.

Formula kutubxonasi

Modulning piecewise ta’rifi

$$|u|=\begin{cases}u,&u\ge0\\-u,&u<0\end{cases}$$

$u$ — real ifoda

Modul argument ishorasiga qarab ochiladi.

Shart: u real

Xususiy holatlar: u=0 endpoint nonnegative branchga kiradi.

Nonnegativity

$$|u|\ge0$$

$u$ — real son/ifoda

Modul hech qachon manfiy emas.

Xususiy holatlar: |u|=0 iff u=0

Distance formula

$$d(x,a)=|x-a|$$

$a$ — fixed point

Sonlar o‘qida x va a orasidagi masofa.

Positive constant equation

$$|A|=c\Longleftrightarrow A=\pm c$$

$c$ — musbat constant

Ikki simmetrik branch.

Shart: c>0

Zero absolute value

$$|A|=0\Longleftrightarrow A=0$$

Modul faqat argument nol bo‘lganda nol.

Negative RHS impossibility

$$c<0\Longrightarrow |A|=c\text{ has no real solution}$$

$c$ — negative RHS

Nonnegative modulus negative qiymatga teng bo‘la olmaydi.

Shart: c<0

Equal absolute values

$$|A|=|B|\Longleftrightarrow A=B\ \text{or}\ A=-B$$

Teng masofa ikki sign branch beradi.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: Equivalent: A²=B²

Identity |A|=A

$$|A|=A\Longleftrightarrow A\ge0$$

Modul o‘z argumentiga teng bo‘lish sharti.

Shart: A real

Xususiy holatlar: A=0 endpoint kiradi.

Identity |A|=-A

$$|A|=-A\Longleftrightarrow A\le0$$

Modul argument qarama-qarshisiga teng bo‘lish sharti.

Shart: A real

Xususiy holatlar: A=0 endpoint kiradi.

Product rule

$$|ab|=|a||b|$$

$a,b$ — real sonlar

Ko‘paytma moduli modullar ko‘paytmasi.

Quotient rule

$$\left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}$$

$b$ — denominator

Kasr moduli numerator/denominator modullariga ajraladi.

Shart: b≠0

Square identity

$$|x|^2=x^2$$

Squaring modulus signni yo‘qotadi.

Shart: x real

Zero sum of moduli

$$|A_1|+\cdots+|A_n|=0\Longleftrightarrow A_1=\cdots=A_n=0$$

Nonnegative hadlar yig‘indisi 0 iff har biri 0.

Shart: A_i real

Triangle inequality

$$|u+v|\le|u|+|v|$$

To‘g‘ri masofa bukilgan yo‘ldan katta emas.

Shart: u,v real

Triangle equality real case

$$|u|+|v|=|u+v|\Longleftrightarrow uv\ge0$$

u va v bir xil ishorada yoki bittasi 0 bo‘lsa equality.

Shart: u,v real

Distance segment identity

$$|x-a|+|x-b|=b-a$$

$a,b$ — fixed endpoints

Segment ichida ikki endpointgacha masofalar yig‘indisi segment uzunligi.

Shart: a≤x≤b

Xususiy holatlar: Tashqarida qiymat b-a dan katta.

Even substitution

$$t=|x|,\qquad x^2=t^2,\qquad t\ge0$$

$t$ — nonnegative substitute

Simmetrik tenglamani oddiy t tenglamaga tushiradi.

Shart: Expression only through |x| and even powers

Xususiy holatlar: t>0 → x=±t; t=0 → x=0

Sign-function ratio

$$\frac{x}{|x|}=\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0\\-1,&x<0\end{cases}$$

Modul bilan normalizatsiyalangan sign.

Shart: x≠0

Xususiy holatlar: x=0 da undefined.

Absolute quadratic parameter split

$$|q(x)|=a\Longleftrightarrow q(x)=a\ \text{or}\ q(x)=-a$$

$a$ — parameter height

Root-count ikki horizontal levelga ajraladi.

Shart: a≥0

Xususiy holatlar: a=0 da branches duplicate, bir marta sanaladi.

Quadratic branch discriminants

$$D_+(a)=D(q-a),\qquad D_-(a)=D(q+a)$$

$D_+,D_-$ — ikki branch discriminantlari

Har branchdagi real root sonini alohida beradi.

Xususiy holatlar: Branch roots overlap only q=0 when a=0.

Nested even root count

$$N_x=2N_{t>0}+N_{t=0}$$

$t$ — |x| ≥0

Har positive t ikki symmetric x, t=0 esa bitta x beradi.

Shart: Distinct real roots

Breakpoint set

$$\mathcal B=\{x:u_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x)=0\}$$

$u_i$ — modul arguments

Barcha modul argumentlari nollari interval partition beradi.

Xususiy holatlar: Saralang va har intervalni alohida yeching.

Teoremalar va isbotlar

📐 Modulning piecewise teoremasi

Har real u uchun |u| argumentning ishorasiga qarab u yoki -u ga teng.

Masofa yo‘nalishga bog‘liq emas, shuning uchun negative koordinata qarama-qarshi ishora bilan olinadi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: u real

Isbotlash kerak: Piecewise ta’rif

u≥0 bo‘lsa 0 dan u gacha masofa u.
u<0 bo‘lsa 0 dan u gacha masofa -u, chunki -u>0.
u=0 da ikki formula ham 0 beradi.

|u|=u (u≥0), |u|=-u (u<0). ∎

📐 Teng modullar teoremasi

Real A,B uchun |A|=|B| iff A=B yoki A=-B.

0 dan bir xil masofadagi ikki son bir xil yoki qarama-qarshi bo‘ladi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: |A|=|B|

Isbotlash kerak: A=±B

Ikkala tomon nonnegative, shuning uchun square qilish ekvivalent.
A²=B².
A²-B²=(A-B)(A+B)=0.
Demak A=B yoki A=-B.
Har ikki branch original tenglikni qanoatlantiradi.

|A|=|B| iff A=B yoki A=-B. ∎

📐 Nol yig‘indi teoremasi

Nonnegative modullar yig‘indisi 0 bo‘lsa har bir modul 0.

Musbat yoki zero hadlardan biri musbat bo‘lsa yig‘indi 0 bo‘la olmaydi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: Σ|A_i|=0

Isbotlash kerak: Har A_i=0

Har |A_i|≥0.
Agar birortasi musbat bo‘lsa yig‘indi musbat bo‘ladi.
Yig‘indi 0 bo‘lgani uchun har bir |A_i|=0.
|A_i|=0 iff A_i=0.

Barcha argumentlar bir vaqtda 0. ∎

📐 Triangle inequality equality kriteriyi

Real u,v uchun |u|+|v|=|u+v| iff uv≥0.

Bir xil yo‘nalishda masofalar yo‘lda bekor bo‘lmaydi; qarama-qarshi yo‘nalishda cancellation yuz beradi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: u,v real

Isbotlash kerak: Triangle equality iff uv≥0

u,v≥0 bo‘lsa |u|+|v|=u+v=|u+v|.
u,v≤0 bo‘lsa |u|+|v|=-u-v=|u+v|.
Demak uv≥0 equality beradi.
u va v qarama-qarshi strict ishorada bo‘lsa cancellation sabab |u+v|<|u|+|v|.

Equality iff uv≥0. ∎

📐 |quadratic| root-count teoremasi

a≥0 da |q(x)|=a yechimlari q(x)=a va q(x)=-a branchlarining distinct real roots unionidir.

|q| grafigi q ning negative qismini yuqoriga akslantiradi; y=a bilan kesishishlar branch rootsidir.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: |q(x)|=a, a≥0

Isbotlash kerak: Root count branch union orqali

|q|=a va a≥0 bo‘lsa q=a yoki q=-a.
Har branch quadratic tenglama bo‘lib discriminant real roots sonini beradi.
a>0 da q=a va q=-a bir xil x da bo‘la olmaydi.
a=0 da ikki branch aynan q=0 bo‘lib, roots bir marta sanaladi.

Distinct roots soni ikki branch roots unionidan topiladi. ∎

Yechilgan misollar

oson $x\ge1$ bo‘lsa $|x-1|$ ni modul belgisisiz yozing.

💡 Maslahat: x-1 ishorasini tekshiring.

x≥1 bo‘lsa x-1≥0.
Nonnegative argument uchun |x-1|=x-1.

✅ Javob: $x-1$

Nega bu usul ishlaydi: Piecewise ta’rif bevosita qo‘llanadi.

⚠️ Source 7557 bilan mos.

oson $-4<x\le1$ bo‘lsa $|x-1|+|x+4|$ ni soddalashtiring.

💡 Maslahat: Ikki argumentning ishorasi intervalda ma’lum.

x≤1 → x-1≤0, shuning uchun |x-1|=1-x.
x>-4 → x+4>0, shuning uchun |x+4|=x+4.
Yig‘indi 1-x+x+4=5.

✅ Javob: $5$

Nega bu usul ishlaydi: Berilgan interval breakpointlar orasida joylashgan.

Muqobil usul: Masofa ma’nosi: x [-4,1] orasida bo‘lsa endpointlargacha masofalar yig‘indisi 5.

⚠️ Source 7564 bilan mos.

ortacha $x>-1$ bo‘lsa $x-2-\frac{x^2-1}{|x+1|}$ ni soddalashtiring.

💡 Maslahat: |x+1|=x+1 va x²-1 factorlanadi.

x>-1 → |x+1|=x+1.
x²-1=(x-1)(x+1).
Kasr x-1 ga qisqaradi.
x-2-(x-1)=-1.

✅ Javob: $-1$

Nega bu usul ishlaydi: Interval maxrajning ishorasi va noldan farqliligini bir vaqtda beradi.

⚠️ Source 7572 bilan mos.

oson $|4x-2|=4x-2$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: |A|=A iff A≥0.

4x-2≥0 bo‘lishi kerak.
4x≥2.
x≥1/2.

✅ Javob: $[\frac12,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Equality endpointda ham to‘g‘ri, chunki |0|=0.

Muqobil usul: Piecewise ochish ham ayni natijani beradi.

⚠️ Source 7577 `(1/2,∞)` deb x=1/2 endpointni noto‘g‘ri chiqarib tashlagan.

oson $|x^2-9|=x^2-9$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: |A|=A iff A≥0.

x²-9≥0.
(x-3)(x+3)≥0.
x≤-3 yoki x≥3.

✅ Javob: $(-\infty,-3]\cup[3,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Modul argument nonnegative bo‘lgan barcha x lar yechim.

Muqobil usul: Sign chart.

⚠️ Source 7580 `-3` endpointni ochiq qoldirgan.

murakkab $|x^3-2x|=x^2-2x$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: O‘ng tomon avval nonnegative bo‘lishi kerak, so‘ng branchlarni tekshiring.

RHS=x(x-2)≥0 → x≤0 yoki x≥2.
Case 1: x³-2x≥0 bo‘lsa x³-2x=x²-2x → x²(x-1)=0; region shartidan x=0 qoladi.
Case 2: x³-2x<0 bo‘lsa -(x³-2x)=x²-2x → x(x²+x-4)=0.
Nonzero roots x=(-1±√17)/2.
Sign va RHS shartlarini tekshirganda faqat (-1-√17)/2 qoladi.

✅ Javob: $x=0\text{ yoki }x=\frac{-1-\sqrt{17}}2$

Nega bu usul ishlaydi: Modul equationda branch rootlari o‘z sign regioniga qayta tekshiriladi.

⚠️ Source 7581 bergan interval yechimlar noto‘g‘ri.

oson $|5x+3|=-8$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Modul manfiy bo‘lmaydi.

Har real x uchun |5x+3|≥0.
-8<0.
Shuning uchun tenglik mumkin emas.

✅ Javob: $\varnothing$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegativity masalani bir qadamda yopadi.

⚠️ Canonical javob bo‘sh to‘plam.

oson $|3x-1|=5$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: 3x-1=±5.

3x-1=5 → x=2.
3x-1=-5 → x=-4/3.

✅ Javob: $x=2\text{ yoki }x=-\frac43$

Nega bu usul ishlaydi: Positive RHS ikki symmetric branch beradi.

⚠️ Source 7590 bilan mos.

ortacha $|x^2-17|=19$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: x²-17=±19.

x²-17=19 → x²=36 → x=±6.
x²-17=-19 → x²=-2, real yechim yo‘q.

✅ Javob: $x=\pm6$

Nega bu usul ishlaydi: Har branch real-domain bilan tekshiriladi.

⚠️ Source 7595 bilan mos.

ortacha $|4x+1|=|2x+3|$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: A=B yoki A=-B.

4x+1=2x+3 → x=1.
4x+1=-(2x+3) → 6x=-4 → x=-2/3.

✅ Javob: $x=1\text{ yoki }x=-\frac23$

Nega bu usul ishlaydi: Equal moduli theorem barcha branchlarni qamraydi.

Muqobil usul: Kvadratlab ham ishlaydi.

⚠️ Source 7597 bilan mos.

ortacha $|x^2-4x+3|+|x-1|=0$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Har ikkala modul 0 bo‘lishi kerak.

x²-4x+3=0 → x=1 yoki3.
x-1=0 → x=1.
Common root x=1.

✅ Javob: $x=1$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegative hadlar yig‘indisi 0 faqat har ikkalasi 0 bo‘lganda.

Muqobil usul: Common-root intersection.

⚠️ Source 7602 bilan mos.

ortacha $||x+1|+3|=5$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Ichki |x+1|+3 doim musbat.

|x+1|≥0, shuning uchun |x+1|+3≥3.
Tashqi modul redundant: |x+1|+3=5.
|x+1|=2.
x+1=±2 → x=1 yoki -3.

✅ Javob: $x\in\{-3,1\}$

Nega bu usul ishlaydi: Nested modulus ichkaridan tashqariga soddalashtiriladi.

⚠️ Source 7607 variantlari to‘liq javobni bermaydi va A=x=2 noto‘g‘ri.

ortacha $||x+3|-5|=9$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: t=|x+3|≥0 deb oling.

|t-5|=9.
t-5=9 yoki t-5=-9.
t=14 yoki t=-4; t≥0 sabab faqat14.
|x+3|=14 → x=11 yoki -17.

✅ Javob: $x\in\{-17,11\}$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegative t constraint invalid branchni chiqaradi.

⚠️ Source 7608 marked x=-6 noto‘g‘ri va to‘liq yechimni bermaydi.

ortacha $||x-5|+1|=3$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Ichki ifoda ≥1.

|x-5|+1≥1, tashqi modul redundant.
|x-5|+1=3.
|x-5|=2.
x=3 yoki7.

✅ Javob: $x\in\{3,7\}$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegative inner expression tashqi modulusni yo‘q qiladi.

⚠️ Source 7609 da x=3 va x=7 alohida variantlarda, marked A=x=10 noto‘g‘ri.

ortacha $|2-|x-1||=2$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: t=|x-1|≥0.

|2-t|=2.
2-t=2 → t=0; 2-t=-2 → t=4.
t=0 → x=1.
t=4 → x=5 yoki -3.

✅ Javob: $x\in\{-3,1,5\}$

Nega bu usul ishlaydi: Nested modulusda t ning har valid qiymati ichki absolute equationga qaytariladi.

⚠️ Source 7611 to‘liq yechimni bermaydi.

ortacha $x^2-5|x|+6=0$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: t=|x|≥0.

x²=|x|²=t².
t²-5t+6=0.
(t-2)(t-3)=0 → t=2 yoki3.
|x|=2 yoki3 → x=±2,±3.

✅ Javob: $x=\pm2,\pm3$

Nega bu usul ishlaydi: Even symmetry t substitution bilan ochiladi.

⚠️ Source 7612 bilan mos.

ortacha $\frac{|x-3|+1}{|x-3|-1}=\frac32$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: t=|x-3|≥0, t≠1.

(t+1)/(t-1)=3/2.
2t+2=3t-3 → t=5.
t=5 domainni buzmaydi.
|x-3|=5 → x=8 yoki -2.

✅ Javob: $x\in\{-2,8\}$

Nega bu usul ishlaydi: Rational modulus domain va t substitution birga ishlaydi.

⚠️ Source 7617 bilan mos.

murakkab $\frac{(2|x-3|)^2-|x-6|}{4x+1}=0$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Kasr 0 bo‘lishi uchun numerator 0, denominator ≠0.

Numerator: 4(x-3)²-|x-6|=0.
Breakpoint x=6 bo‘yicha ikki case yechiladi.
x<6 da 4(x-3)²-(6-x)=0 → 4x²-23x+30=0 → x=2 yoki15/4.
Ikkalasi x<6 va denominatorlari nonzero.
x≥6 branch real yangi root bermaydi.

✅ Javob: $x=2\text{ yoki }x=\frac{15}{4}$

Nega bu usul ishlaydi: Zero-rational equation numerator/domain bilan yechiladi.

⚠️ Source 7618 variantlari noto‘g‘ri.

ortacha $x^2-3x+|x-3|=0$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Breakpoint x=3.

x≥3: |x-3|=x-3 → x²-2x-3=0 → x=3,-1; intervaldan x=3.
x<3: |x-3|=3-x → x²-4x+3=0 → x=1,3; intervaldan x=1.

✅ Javob: $x\in\{1,3\}$

Nega bu usul ishlaydi: Har branch rooti branch intervaliga mosligi bilan filtrlanadi.

⚠️ Source 7624 bilan mos.

ortacha $|x-2|+|x-5|=5$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Breakpointlar 2 va5.

2≤x≤5 da yig‘indi 3, 5 emas.
x<2 da (2-x)+(5-x)=7-2x=5 → x=1.
x>5 da (x-2)+(x-5)=2x-7=5 → x=6.

✅ Javob: $x\in\{1,6\}$

Nega bu usul ishlaydi: Masofa yig‘indisi segment tashqarisida linear o‘sadi.

⚠️ Source 7631 bilan mos.

ortacha $|x+3|-|x-2|=3$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Breakpointlar -3 va2.

x<-3 da -x-3-(2-x)=-5, yechim emas.
-3≤x<2 da x+3-(2-x)=2x+1=3 → x=1.
x≥2 da x+3-(x-2)=5, yechim emas.

✅ Javob: $x=1$

Nega bu usul ishlaydi: Distance difference piecewise constant/linear bo‘ladi.

⚠️ Source 7633 bilan mos.

ortacha $\begin{cases}x+y=5\\|2x+3y|=14\end{cases}$ sistemani yeching.

💡 Maslahat: Ikkinchi tenglamani ±14 ga ajrating.

2x+3y=14 va x+y=5 → (x,y)=(1,4).
2x+3y=-14 va x+y=5 → (x,y)=(29,-24).
Ikkala juftlik original modulga mos.

✅ Javob: $(1,4),(29,-24)$

Nega bu usul ishlaydi: Absolute linear equation ikki linear system branch beradi.

⚠️ Source 7635 bilan mos.

ortacha $|2x-4|+|x-3|=|3x-7|$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Chapdagi ichki ifodalar yig‘indisi 3x-7.

A=2x-4, B=x-3 va A+B=3x-7.
|A|+|B|=|A+B| iff AB≥0.
(2x-4)(x-3)≥0.
2(x-2)(x-3)≥0 → x≤2 yoki x≥3.

✅ Javob: $(-\infty,2]\cup[3,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Triangle equality interval usulini qisqartiradi.

⚠️ Source 7639 bilan mos.

murakkab $|4x-5|+|2x-3|=|6x-8|$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: A+B=6x-8.

A=4x-5, B=2x-3.
Equality iff AB≥0.
(4x-5)(2x-3)≥0.
Kritik nuqtalar 5/4 va3/2.
Natija x≤5/4 yoki x≥3/2.

✅ Javob: $(-\infty,\frac54]\cup[\frac32,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Triangle equality endpointlarni ham o‘z ichiga oladi.

⚠️ Source 7640 chap breakpointni -5/4 deb xato yozgan.

murakkab $|7x+8|-|3x+5|=|4x+3|$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Breakpointlar -5/3,-8/7,-3/4.

Breakpointlarni tartiblang: -5/3 < -8/7 < -3/4.
Har intervalda uch modulni ochib linear equality yechiladi.
Valid solution qismlari x≤-5/3 va x≥-3/4 chiqadi.
Endpointlar original tenglamada equalityni qanoatlantiradi.

✅ Javob: $(-\infty,-\frac53]\cup[-\frac34,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Subtraction of moduli uchun piecewise analysis kerak.

⚠️ Source 7646 intervali noto‘g‘ri.

murakkab $|8x+7|+|3x+5|=|5x+2|$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Barcha linear breakpointlarni tartiblang.

Breakpointlar -5/3, -7/8 va -2/5.
Har intervaldagi linear equality tekshiriladi.
Valid solution interval -5/3≤x≤-7/8.

✅ Javob: $[-\frac53,-\frac78]$

Nega bu usul ishlaydi: Ko‘p modul equationda piecewise interval QA aniq ishlaydi.

⚠️ Source 7647 `[-3/2,-5/6]` deb noto‘g‘ri interval bergan.

murakkab $|6x-5|+|2x+3|=|4x+2|$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Piecewise tekshiring.

Breakpointlar -3/2,-1/2,5/6.
Har intervalda modullar ochiladi.
Valid candidate x=3/4 va x=1 chiqadi.
Ikkalasi original tenglamada tekshiriladi.

✅ Javob: $x\in\{\frac34,1\}$

Nega bu usul ishlaydi: Interval method discrete rootsni aniq ajratadi.

⚠️ Source 7648 `{0}∪[1,∞)` noto‘g‘ri.

murakkab $|x^2-4x-3|=a$ tenglama aynan 2 ta distinct real ildizga ega bo‘lishi uchun a ni toping.

💡 Maslahat: q=(x-2)²-7 va a≥0.

a<0 da root yo‘q.
a=0 da q=0 ikki distinct root beradi.
a>0 da q=a doim2 root.
q=-a branch 0<a<7 da yana2 root, a=7 da1 root, a>7 da0 root.
Shuning uchun aynan2 root: a=0 yoki a>7.

✅ Javob: $a=0\text{ yoki }a>7$

Nega bu usul ishlaydi: |q| graphining critical heighti vertex depth 7.

Muqobil usul: Ikki branch discriminant bilan ham.

⚠️ Source 7649 a=2 deb belgilagan, noto‘g‘ri.

murakkab $|x^2-8x+12|=a+2$ tenglama aynan 3 ta real ildizga ega bo‘lsin.

💡 Maslahat: q=(x-4)²-4, c=a+2≥0.

|q|=c.
3 roots q=-c branch vertexda double root berganda yuz beradi.
Critical height c=4.
a+2=4 → a=2.

✅ Javob: $a=2$

Nega bu usul ishlaydi: c=4 da q=c branch2 roots, q=-c branch1 root: jami3.

Muqobil usul: Discriminants bilan sanash mumkin.

⚠️ Source 7650 `(1,5)` intervalini bergan, noto‘g‘ri.

murakkab $|x^2-6x+5|=a-1$ tenglama aynan 4 ta real ildizga ega bo‘lsin.

💡 Maslahat: q=(x-3)²-4, c=a-1.

4 distinct roots uchun 0<c<4.
0<a-1<4.
1<a<5.

✅ Javob: $(1,5)$

Nega bu usul ishlaydi: Horizontal level reflected quadraticni to‘rt nuqtada kesadi.

Muqobil usul: Branch discriminants.

⚠️ Source 7651 javobi noto‘g‘ri.

murakkab $|x^2-5ax|=a$ tenglama 1 ta manfiy va 3 ta musbat ildizga ega bo‘lsin.

💡 Maslahat: a>0 va ikki branchni tahlil qiling.

a<0 impossible, a=0 faqat x=0.
a>0: q=a → x²-5ax-a=0 product -a<0, bitta negative va bitta positive root.
q=-a → x²-5ax+a=0; D=a(25a-4).
a>4/25 da bu branch ikkita distinct positive root beradi.
Jami1 negative,3 positive.

✅ Javob: $(\frac4{25},\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Product/sum branch roots ishorasini aniq beradi.

⚠️ Source 7655 bilan mos.

murakkab $|x^2+2ax|=a$ tenglama 3 ta manfiy va 1 ta musbat ildizga ega bo‘lsin.

💡 Maslahat: a>0.

q=a branch product -a<0: bir negative, bir positive.
q=-a branch x²+2ax+a=0.
D=4a(a-1).
a>1 da branchning ikki distinct rooti bor; sum -2a<0, product a>0 → ikkalasi negative.
Jami3 negative va1 positive.

✅ Javob: $(1,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Vieta root signs + discriminant root count.

⚠️ Source 7656 bilan mos.

murakkab $\frac{|x-1|}{x-1}-\frac{x-4}{|x-4|}=1$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Har ratio ±1, x≠1,4.

|x-1|/(x-1)=sgn(x-1).
(x-4)/|x-4|=sgn(x-4).
Farq x<1 da0, 1<x<4 da2, x>4 da0.
Hech qayerda1 emas.

✅ Javob: $\varnothing$

Nega bu usul ishlaydi: Sign-function values target1 ni bera olmaydi.

⚠️ Source 7657 interval javobi noto‘g‘ri.

murakkab $\frac{x+1}{|x+1|}-\frac{|x+3|}{x+3}=-1$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: x≠-1,-3.

Birinchi ratio sgn(x+1), ikkinchisi sgn(x+3).
x<-3: farq0.
-3<x<-1: -1-1=-2.
x>-1: farq0.
Target -1 hech qayerda chiqmaydi.

✅ Javob: $\varnothing$

Nega bu usul ishlaydi: Sign differences faqat0 yoki ±2 bo‘lishi mumkin.

Muqobil usul: Qiymatlar jadvali.

⚠️ Source 7658 `(-3,-1)` noto‘g‘ri; u intervalda LHS=-2.

murakkab $|x+2|-|x-3|+|x-1|=4$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Breakpointlar -2,1,3.

To‘rtta intervalda modul ochiladi.
x<-2 branchdan x=-8 chiqadi.
-2≤x<1 branch valid root bermaydi.
1≤x<3 branchdan x=2 chiqadi.
x≥3 branch valid yangi root bermaydi.

✅ Javob: $x\in\{-8,2\}$

Nega bu usul ishlaydi: Breakpoint interval method universal.

Muqobil usul: Graph/piecewise.

⚠️ Source 7659 bilan mos.

murakkab $|x+1|-|x-4|=x$ tenglamani yeching.

💡 Maslahat: Breakpointlar -1 va4.

x<-1: (-x-1)-(4-x)=-5=x → x=-5.
-1≤x<4: (x+1)-(4-x)=2x-3=x → x=3.
x≥4: (x+1)-(x-4)=5=x → x=5.

✅ Javob: $x\in\{-5,3,5\}$

Nega bu usul ishlaydi: Har region linear equation beradi va root regionga mos tekshiriladi.

⚠️ Source 7839 `{15,3}` noto‘g‘ri va x=5 ni yo‘qotgan.

murakkab $|x^2+4x-5|=a$ tenglama aynan 2 ta distinct ildizga ega bo‘lsin.

💡 Maslahat: q=(x+2)²-9.

a<0: root yo‘q.
a=0: q=0 ikki root.
0<a<9: q=a branch2 root + q=-a branch2 root =4.
a=9:3 roots.
a>9: faqat q=a branch2 roots.

✅ Javob: $a=0\text{ yoki }a>9$

Nega bu usul ishlaydi: Critical level vertex depth 9 ga teng.

Muqobil usul: Graph intersection.

⚠️ Source 7842 A mazmunan to‘g‘ri, lekin LaTeX matni buzilgan.

Umumiy xatolar

❌ |u| ni har doim u deb ochish.

u manfiy bo‘lsa modul -u ga teng.

✅ Avval u ishorasini intervalda aniqlang.

$x<-2$ da |x+2|=-(x+2).

❌ |A|=A tenglamada A>0 deb olish.

A=0 da ham equality to‘g‘ri.

✅ A≥0 ishlating.

7577 da x=1/2 endpoint kiradi.

❌ |A|=-A tenglamada A<0 deb olish.

A=0 da ham |0|=-0.

✅ A≤0 ishlating.

Endpointlarni yopiq saqlang.

❌ |A|=c, c<0 da A=±c deb yozish.

Modul manfiy qiymat olmaydi.

✅ Darhol ∅ deb xulosa qiling.

|5x+3|=-8.

❌ |A|=|B| da faqat A=B branchni olish.

A va B qarama-qarshi bo‘lsa ham modullari teng.

✅ A=B yoki A=-B ni oling.

7597.

❌ Modullar yig‘indisi 0 da bittasini 0 qilish kifoya deb o‘ylash.

Barcha hadlar nonnegative, shuning uchun har biri 0 bo‘lishi kerak.

✅ Argumentlarning common rootsini oling.

7602–7606.

❌ Nested modulusni tashqaridan tasodifiy ± qilib ochish.

Ichki modul yangi nonnegative o‘zgaruvchi bo‘lib qo‘shimcha cheklov beradi.

✅ t=|A|≥0 deb ichkaridan tashqariga yeching.

7607–7611.

❌ t=|x| almashtirishdan keyin t ning manfiy ildizlarini x ga qaytarish.

t modul bo‘lgani uchun t≥0.

✅ Negative t candidate’larni chiqarib tashlang.

x²+3|x|-4=0.

❌ t>0 ildizdan faqat x=t ni olish.

|x|=t da x=±t.

✅ Har musbat t uchun symmetric pair yozing.

7612.

❌ Ratsional modulli tenglamada maxraj nol bo‘ladigan x ni unutish.

Algebraik soddalashtirish forbidden root yaratishi mumkin.

✅ Original denominator cheklovini yakunda tekshiring.

7617,7621–7623.

❌ Piecewise branchdan chiqqan rootni o‘z intervaliga tekshirmaslik.

Branch formulasi faqat belgilangan sign intervalida ekvivalent.

✅ Har candidate rootni branch intervali va originalga tekshiring.

7624–7628.

❌ Triangle inequality equalityni har x uchun identity deb olish.

|u|+|v|=|u+v| faqat sign alignment holatida.

✅ uv≥0 kriteriyini qo‘llang.

7639.

❌ Ko‘p modul equationda breakpointlarni to‘liq topmaslik.

Bir argument sign almashishi yechim formulasini o‘zgartiradi.

✅ Barcha argument nollarini saralang.

7646–7648.

❌ |q(x)|=a da faqat q=a branchni olish.

q=-a branch ham roots beradi.

✅ a≥0 da ikki branchni oling; a=0 overlapni bir marta sanang.

7649–7651.

❌ Ildizlar sonini branch bo‘yicha qo‘shib, duplicate rootsni ikki marta sanash.

a=0 da q=a va q=-a aynan bir tenglama.

✅ Distinct roots unionini sanang.

|q|=0.

❌ A/|A| yoki |A|/A ni A=0 da ±1 deb qabul qilish.

Denominator 0 bo‘ladi.

✅ A=0 nuqtani domain’dan chiqarib tashlang.

7657–7658.

❌ Savolda parametr so‘ralgan bo‘lsa, formula parametrsiz bo‘lsa ham marked variantni ishlatish.

Parameter yo‘q record semantik jihatdan to‘liq emas.

✅ Source contextni tiklang yoki recordni canonical scope’dan chiqaring.

7652–7654.

❌ OCR/extraction buzilgan floor/fractional-part yoki product notationni taxmin bilan yechish.

Matematik operatorning o‘zi noma’lum bo‘lsa canonical javob ishonchsiz.

✅ Original source qayta tiklanmaguncha QA flag qiling.

7664–7668 va 7835.

Noto'g'ri tasavvurlar

Modul shunchaki minus belgini o‘chiradi.

Modul argumentning ishorasiga bog‘liq piecewise funksiya va masofa tushunchasidir.

|a+b|=|a|+|b| har doim.

Faqat mos sign alignmentda equality; umumiy holda triangle inequality bor.

|A|=A faqat A>0 da.

A=0 ham kiradi: shart A≥0.

|A|=c har doim ikki yechim branch beradi.

c<0 da yo‘q, c=0 da bitta branch A=0, c>0 da ±c.

|A|=|B| faqat A=B degani.

A=-B ham mumkin.

Nested modulusni bir qadamda ± bilan to‘liq ochish mumkin.

Ichki nonnegative constraint va bir nechta darajadagi case’lar bor; ichkaridan tashqariga ishlash xavfsiz.

|x| substitutiondan chiqqan har t bitta x beradi.

t>0 ikki symmetric x=±t, t=0 bitta x beradi.

|q(x)|=a root count faqat q ning diskriminantiga bog‘liq.

q=a va q=-a ikki branchning discriminantlari va overlap holati kerak.

Modulli sistema faqat positive branchni yechish bilan tugaydi.

Har independent modul uchun ± sign kombinatsiyalarini ko‘rish kerak.

Testdagi correct_option canonical truth hisoblanadi.

Endpoint, domain, nested branches va original substitution bilan mustaqil tekshirish kerak.

Amaliy qo'llanilishi

Masofa va geometriya

|x-a| bir o‘lchamli masofa; masofa yig‘indisi va farqi lokatsiya/geometriya masalalarida ishlatiladi.

Xatolik va tolerantlik

|measured-true| absolute errorni ifodalaydi; engineering tolerance modulli tengsizlikka aylanadi.

Statistika

Absolute deviation va median bilan bog‘liq optimallashtirishlarda modul ishlatiladi.

Signal processing

Rectification y=|f(t)| negative signal qismlarini positive tomonga akslantiradi.

Optimallashtirish

L1 objective va city-block distance modullar yig‘indisiga tayanadi.

Piecewise modelling

Tarif, jarima, deviation va threshold modellar ko‘pincha modul orqali kompakt yoziladi.

Grafik va parametr

|q(x)|=a gorizontal chiziq intersectionlari parameterga qarab root countni beradi.

Test-bank QA

Modulning endpoint/domain invariants source’dagi ochiq-yopiq interval, incomplete solution va OCR xatolarini topishga yordam beradi.

Modul yechim xaritasi: masofa → breakpoint → branch → QA

Masofa ma’nosidan boshlab fast patterns, t-substitution yoki piecewise interval yo‘lini tanlash va yakuniy domain/endpoint/source-QA tekshiruvigacha bo‘lgan modul workflow.

Xulosa

Cheat sheet: |u|≥0; |u|=u agar u≥0, aks holda -u; |A|=c: c<0 → ∅, c=0 → A=0, c>0 → A=±c; |A|=|B| ↔ A=B yoki A=-B; |A|+|B|=0 ↔ A=B=0; |A|=A ↔ A≥0; |A|=-A ↔ A≤0; x²=|x|²; |ab|=|a||b|; |a/b|=|a|/|b|; |x-a| masofa; bir nechta modulda breakpointlar ichki ifodalar nollari; t=|x|≥0 simmetrik tenglamalarni soddalashtiradi.

Keyingi “Modulli tengsizliklar” mavzusida ayni piecewise va masofa g‘oyalari interval yechimlariga o‘tadi. Funksiya mavzularida |f(x)| grafikning x-o‘q ostidagi qismini yuqoriga akslantiradi; parametrli masalalarda esa |q(x)|=a gorizontal chiziq bilan kesishishlar soniga aylanadi.

Bog'liq mavzular

Oldin bilishingiz kerak: Ko'phadlar va ular ustida amallar, Chiziqli tengsizlik va tengsizliklar sistemasi, Kvadrat tenglama va uning ildizlari

Bog'liq mavzular: Parametrli tenglama va tengsizliklar, Funksiya, Kvadrat funksiya

Keyingi mavzular: Modulli tengsizliklar, Ratsional tengsizliklar

Manbalar

OpenStax Intermediate Algebra 2e — Absolute Value Equations and Inequalities — Absolute value definition, equations and distance interpretation.
OpenStax College Algebra 2e — The Rectangular Coordinate Systems and Graphs — Coordinate/distance and algebraic foundations used by absolute-value models.
Khan Academy — Absolute value equations — Basic and multi-step absolute-value equation practice.
Khan Academy — Absolute value and number lines — Distance interpretation of absolute value.
MathTest.uz Topic 44 source bank — 121 active source questions, including QA-flagged endpoint/nested/parameter records.
OpenStax Prealgebra 2e — Integers and Absolute Value — Foundational absolute-value properties and number-line interpretation.

Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang