Algebra

Modulli tengsizliklar

murakkab 180 daqiqa modulli tengsizlikabsolute value inequalityintervalendpointsquaringdistance inequalityrational modulus|x| substitutionparameterinteger solutionssign chartdomain

Nima uchun muhim?

Modulli tengsizliklar “masofa qancha yaqin yoki qancha uzoq?” savolini algebraik intervalga aylantiradi. Ular tolerantlik, xatolik chegarasi, radiuslar, piecewise funksiyalar, rational sign charts va parametrli yechim mavjudligi kabi ko‘plab modellarning tabiiy tilidir. Eng muhim ko‘nikma — strict/non-strict belgini, domainni va endpointni yo‘qotmasdan modul strukturasini oddiy tengsizliklarga aylantirish.

O'quv maqsadlari

Modul nonnegativitydan trivial barcha-real va bo‘sh yechim holatlarini aniqlash
|A|<c va |A|≤c ni ikki tomonlama interval tengsizlikka aylantirish
|A|>c va |A|≥c ni interval tashqarisi sifatida yozish
Strict va non-strict endpointlarni to‘g‘ri tanlash
c=0 va c<0 maxsus holatlarni alohida ko‘rish
|A|<|B| va |A|≤|B| ni xavfsiz kvadratlash
Kvadratlashdan keyin difference-of-squares factorization qo‘llash
Polynomial absolute inequalitiesni ikki ordinary inequalityga ajratish
x² va |x| qatnashganda t=|x|≥0 almashtirish
Modul ko‘paytuvchili product inequalitiesda zero-factor va signni ajratish
Ratsional modulli tengsizliklarda domain va denominator signini saqlash
|A|<B(x) tipida RHS positivity shartini oldindan aniqlash
Piecewise interval usulini nonlinear RHS bilan qo‘llash
|x-a|+|x-b| masofa yig‘indisi tengsizliklarini geometrik yechish
Masofa farqi tengsizliklarining range’idan parameter shartlarini chiqarish
Parametrli modulli tengsizliklarda cheksiz ko‘p yechim mavjudligi shartini topish
|q(x)|≤a yechim to‘plami diskret bo‘ladigan critical parameterlarni aniqlash
Butun/natural yechimlarni continuous solution setdan sanash
Modulli ratsional tengsizliklarda nol numeratorni strict/non-strict shartga mos kiritish
Original tengsizlikka endpoint va domain candidate’larni qayta tekshirish
Source-bank marked-answer endpoint/domain xatolarini mustaqil QA qilish
44-mavzudagi modulus equations va 45-mavzudagi inequalities o‘rtasidagi bog‘lanishni tushuntirish

Modulli tengsizlikda birinchi savol modulning o‘zi emas, o‘ng tomonning mumkin bo‘lgan qiymatidir. Masalan |A|<0 hech qachon bajarilmaydi, |A|≥0 esa barcha real x lar uchun to‘g‘ri. c>0 bo‘lsa |A|<c markazdan c masofadan ichkarida bo‘lishni, |A|>c esa tashqarida bo‘lishni bildiradi. Ikki modul solishtirilganda |A| va |B| ikkalasi ham nonnegative bo‘lgani uchun squaring xavfsiz: |A|<|B| iff A²<B². Bu ko‘pincha (A-B)(A+B) sign chartga olib keladi. Agar modul RHS bilan solishtirilsa, masalan |A|<B(x), avval B(x)>0 bo‘lishi shart — aks holda yechim bo‘lishi mumkin emas. Ratsional, product yoki bir nechta modulus qatnashganda universal yechim domain + kritik nuqtalar + sign chart/piecewise + endpoint QA ketma-ketligidir. Source-bankdagi eng ko‘p xatolar aynan ≥/≤ endpointlarini ochib yuborish, domain nuqtasini kiritish yoki strict inequalityda zero factorni qo‘shib yuborishdan kelib chiqadi.

Ta'riflar

Modulli tengsizlik · Absolute-value inequality

Modul qatnashgan va solution set tengsizlik belgisi bilan aniqlanadigan munosabat.

Masofa yoki nonnegative miqdor chegarasi.

Misol: $|x-2|<3$.

Bu emas: $|x-2|=3$ tenglama, tengsizlik emas.

💡 Strict/non-strict belgini saqlash muhim.

Ichki masofa · Inside distance

|x-a|<r yoki ≤r x ning a dan r masofadan ichkarida/yopiq radiusda ekanini bildiradi.

Markaz a atrofidagi interval.

Misol: $|x-3|<2\Rightarrow1<x<5$.

Bu emas: Tashqi union emas.

💡 r>0.

Tashqi masofa · Outside distance

|x-a|>r yoki ≥r x ning markazdan r dan uzoq/teng uzoqda ekanini bildiradi.

Ikki tashqi interval unioni.

Misol: $|x|\ge3\Rightarrow x\le-3$ yoki $x\ge3$.

Bu emas: [-3,3] emas.

💡 r>0.

Strict endpoint

< yoki > tengsizlikda equality nuqtasi yechimga kirmaydi.

Interval uchi ochiq bo‘ladi, agar boshqa sabab bilan kirmasa.

Misol: $|x|<4\Rightarrow(-4,4)$.

Bu emas: $[-4,4]$ strict uchun noto‘g‘ri.

💡 Domain ham alohida.

Non-strict endpoint

≤ yoki ≥ tengsizlikda equality nuqtasi, agar domain ruxsat etsa, yechimga kiradi.

Interval uchi yopiq.

Misol: $|x|\le2\Rightarrow[-2,2]$.

Bu emas: (-2,2) emas.

💡 Denominator zero bo‘lsa baribir chiqariladi.

Trivial all-real case

Modulning nonnegativity sabab tengsizlik barcha real x lar uchun true bo‘ladigan holat.

Masalan |A|≥negative yoki |A|≥0.

Misol: $|2x+7|\ge-4$ → R.

Bu emas: $|A|>-1$ ni intervalga aylantirish shart emas.

💡 Domain restriction bo‘lmasa R.

Trivial empty case

Nonnegativity sabab hech bir real x tengsizlikni qanoatlantirmaydigan holat.

Masalan |A|<negative yoki |A|<0.

Misol: $|3x|<-3$ → ∅.

Bu emas: x=0 ni qo‘shish noto‘g‘ri.

💡 ≤0 alohida: argument=0.

Ikki tomonlama tengsizlik · Compound inequality

-c<A<c yoki -c≤A≤c ko‘rinishidagi bir vaqtda bajariladigan ikki shart.

Modul ichkarisi.

Misol: $|2x-3|<4\leftrightarrow-4<2x-3<4$.

Bu emas: OR emas, AND.

💡 c>0.

Tashqi dizyunksiya · Outside disjunction

A<-c yoki A>c ko‘rinishidagi OR shart.

Modul tashqarisi.

Misol: $|x+7|>2\Rightarrow x<-9$ yoki $x>-5$.

Bu emas: Intersection emas.

💡 c>0.

Modullarni taqqoslash · Comparing absolute values

|A|⋚|B| ikki nonnegative miqdorni solishtirish.

Squaring equivalence xavfsiz.

Misol: $|2x-1|<|x-3|$.

Bu emas: A<B ga to‘g‘ridan o‘tish mumkin emas.

💡 A²⋚B² ishlatiladi.

RHS positivity condition

|A|<B(x) yoki ≤B(x) turida B ning signi yechim mavjudligini boshqaradi.

Strict ichki inequality uchun B>0 zarur.

Misol: $|x-2|<2x-7$ da 2x-7>0 kerak.

Bu emas: RHS manfiy bo‘lsa squaring qilish.

💡 ≤ holatda B=0 faqat A=0 bo‘lsa mumkin.

Modul ko‘paytuvchisi · Absolute factor

|A(x)|·B(x) kabi productda modul factor nonnegative.

Strict sign ko‘pincha B signi + A≠0 ga tushadi.

Misol: $|x|(x-4)<0$.

Bu emas: |x| ni positive deb x=0 da ham olish.

💡 Zero factor endpointga ta’sir qiladi.

Ratsional modulli tengsizlik

Modul numerator/denominator yoki rational expression ichida qatnashgan tengsizlik.

Domain va sign chart birga kerak.

Misol: $|x-1|/((x-2)(x-3))\le0$.

Bu emas: Denominator zerosni yopiq endpoint qilish.

💡 Domain exclusions doim ochiq.

Masofa yig‘indisi · Sum of distances

|x-a|+|x-b| ikki fixed nuqtagacha masofalar yig‘indisi.

Segment ichida minimum |b-a|.

Misol: $|x-2|+|x-6|>6$.

Bu emas: Har doim 4 emas.

💡 Parameter existence savollarida minimum muhim.

Masofa farqi · Difference of distances

|x-a|-|x-b| qiymati bounded piecewise-linear funksiya.

Range odatda [-(b-a), b-a].

Misol: $|x-2|-|x-4|<a$.

Bu emas: Cheksiz range emas.

💡 Parameter “yechim yo‘q/cheksiz” savollariga qulay.

Butun yechim · Integer solution

Continuous solution set ichidagi x∈Z qiymatlar.

Interval topilgach sanaladi/yig‘iladi.

Misol: $|12/(x-2)|\ge1.2$ ning integer solutions.

Bu emas: Endpoint/domainni tekshirmasdan integer sanash.

💡 Z yoki N definition kontekstiga e’tibor.

Parametrli modulli tengsizlik

Tengsizlik solution seti parameter qiymatiga bog‘liq.

Critical parameterlarda solution topology o‘zgaradi.

Misol: $|x-a|+|x-5|<3$.

Bu emas: a ni x bilan aralashtirish.

💡 Minimum distance yordam beradi.

Diskret solution set

Tengsizlik yechimlari interval emas, chekli nuqtalar bo‘ladigan maxsus holat.

Ko‘pincha non-strict inequality aynan minimum levelda.

Misol: $|x^2+4x+3|\le0$ → q=0 ning 2 nuqtasi.

Bu emas: a>0 da ham faqat 2 nuqta deb o‘ylash.

💡 Parameter critical levels.

Domain exclusion

Ifodani aniqlanmaydigan qiladigan x qiymat.

Har qanday inequality signidan qat’i nazar solution emas.

Misol: $x\ne2,3$ denominator zeros.

Bu emas: ≤ bo‘lsa domain zero kiritiladi degan fikr.

💡 Rational QA gate.

Solution-set intersection

Bir necha zarur shartlar bir vaqtda bajarilishi kerak bo‘lsa ularning kesishmasi olinadi.

RHS positivity ∩ squared inequality ∩ domain.

Misol: $|A|<B(x)$.

Bu emas: Shartlarni union qilish.

💡 Complex inequalitiesda markaziy usul.

Fundamental tushunchalar

Nonnegativity triage

Tengsizlikni yechishdan oldin RHS signi bilan trivial R/∅/zero casesni tekshiring.

$|A|\ge0$

Ko‘p savol bir qadamda yopiladi.

Inside rule

c>0 da |A|<c — A ning -c va c orasida bo‘lishi.

$|A|

Strict endpoints.

Outside rule

c>0 da |A|>c — A ning interval tashqarisida bo‘lishi.

$|A|>c\Longleftrightarrow A<-c\ \text{or}\ A>c$

OR branch.

Zero-level quartet

|A| ning 0 bilan to‘rt ta asosiy taqqoslanishi alohida yodda turadi.

$|A|<0:\varnothing;\ |A|\le0:A=0;\ |A|>0:A\ne0;\ |A|\ge0:\mathbb R$

Source endpoint QA uchun juda kuchli.

Squaring equivalence

Ikki tomon nonnegative bo‘lsa order squaringda saqlanadi.

$|A|\lesseqgtr|B|\Longleftrightarrow A^2\lesseqgtr B^2$

No extraneous roots.

Difference-of-squares sign chart

A²-B²=(A-B)(A+B) factorization modulus comparisonni polynomial sign problemga aylantiradi.

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Critical points A=B va A=-B.

Polynomial absolute band

|P|<c ikki polynomial inequalities P<c va P>-c kesishmasi.

$-c

Ikki sign chart intersection.

Even substitution inequality

x² va |x| kombinatsiyasini t=|x|≥0 bilan yeching.

$t=|x|\ge0,\ x^2=t^2$

t solution intervalni |x| ga qaytarish kerak.

Absolute factor sign

|A|B⋚0 da |A|>0 yoki =0 holatlarini ajrating.

$|A|\ge0$

Strict inequalitiesda A=0 excluded; non-strictda included.

Rational numerator zero

N=|A|≥0 bo‘lgan N/D≤0 da D<0 regions plus N=0 valid domain points kiradi.

$\frac{|A|}{D}\le0$

Strict <0 da numerator zero kirmaydi.

RHS-positive gate

|A|<B da B≤0 region avtomatik impossible.

$B>0$

Keyin -B<A<B yoki piecewise.

Nonlinear RHS piecewise

|linear| ⋚ quadratic ni breakpoint bo‘yicha ikki polynomial inequalityga ajrating.

$x\lessgtr h$

Branch rootlari intervalga filtrlanadi.

Distance-sum minimum

|x-a|+|x-b| ning minimumi |a-b| va segment [a,b] bo‘ylab erishiladi.

$\min =|a-b|$

Parameter existence threshold.

Distance-sum outer growth

Segment tashqarisida distance sum slope magnitude 2 bilan o‘sadi.

$xb:\ 2x-a-b$

Explicit interval boundaries tez chiqadi.

Rational modulus domain-first

Absolute value denominator signni olib tashlamaydi; denominatorning original zerosi chiqariladi.

$Q(x)\ne0$

Cross multiplication faqat sign nazorati bilan.

Integer filtering

Avval real solution setni aniq toping, keyin Z/N bilan intersect qiling.

$S_{\mathbb Z}=S\cap\mathbb Z$

Endpoint va excluded domain integers sanashga ta’sir qiladi.

Infinite-solutions parameter threshold

Strict distance-sum inequalityda parameter minimum qiymatdan katta bo‘lsa open interval(lar) hosil bo‘lib infinite solutions keladi.

$a>\min f$

Equality strict bo‘lsa yetmaydi.

Distance-difference range

|x-a|-|x-b| bounded bo‘lib extrema ±|a-b|.

$-|a-b|\le |x-a|-|x-b|\le|a-b|$

Parameter no-solution/infinite-solution shartlari range bilan olinadi.

Discrete parameter level

|q(x)|≤a da a=0 maxsus: q rootsigacha qisqarib finite set berishi mumkin.

$a=0$

a<0 empty; a>0 odatda intervals.

Strict zero-factor exclusion

Product <0 yoki >0 da har qanday zero factor solution emas.

$F(x)G(x)<0\Rightarrow F,G\ne0$

Source endpoint xatolarini topadi.

Non-strict zero-factor inclusion

Product ≤0 yoki ≥0 da zero factors domain ichida bo‘lsa kiritilishi mumkin.

$F(x)G(x)\le0$

Absolute factors ko‘pincha isolated zeros qo‘shadi.

Source QA gate

Har answer strictness, squaring, domain, branch and original substitution bilan mustaqil tekshiriladi.

Marked option mathematical proof emas.

Formula kutubxonasi

Modul nonnegative

$$|u|\ge0$$

$u$ — real ifoda

Modul har doim manfiy emas.

Shart: u real

Xususiy holatlar: |u|=0 iff u=0.

Ichki interval — strict

$$|A|

$c$ — musbat chegara

A ning 0 dan masofasi c dan kichik.

Shart: c>0

Xususiy holatlar: c\le0 bo‘lsa alohida nonnegativity qoidasi ishlatiladi.

Ichki interval — non-strict

$$|A|\le c\Longleftrightarrow -c\le A\le c$$

$c$ — nonnegative chegara

A ning 0 dan masofasi c dan oshmaydi.

Shart: c\ge0

Xususiy holatlar: c=0 da A=0.

Tashqi interval — strict

$$|A|>c\Longleftrightarrow A<-c\ \text{or}\ A>c$$

$c$ — nonnegative chegara

A 0 dan c dan uzoqroq.

Shart: c\ge0

Xususiy holatlar: c=0 da A\ne0.

Tashqi interval — non-strict

$$|A|\ge c\Longleftrightarrow A\le-c\ \text{or}\ A\ge c$$

$c$ — musbat chegara

A 0 dan kamida c masofada.

Shart: c>0

Xususiy holatlar: c=0 bo‘lsa barcha real A.

Manfiy chegarada strict-less

$$c\le0\Longrightarrow |A|

$c$ — RHS

Nonnegative modul nonpositive sondan strict kichik bo‘la olmaydi.

Shart: c\le0

Xususiy holatlar: c=0 da ham yechim yo‘q.

Manfiy chegarada greater

$$c<0\Longrightarrow |A|>c\text{ for all real }A$$

$c$ — RHS

Har nonnegative son manfiy c dan katta.

Shart: c<0

Xususiy holatlar: A ning qiymati muhim emas.

Nol bilan ≤

$$|A|\le0\Longleftrightarrow A=0$$

Modul 0 dan kichik emas, shuning uchun ≤0 faqat nol holat.

Shart: A real

Xususiy holatlar: Bitta equationga tushadi.

Nol bilan >

$$|A|>0\Longleftrightarrow A\ne0$$

Modul strict musbat iff argument nol emas.

Shart: A real

Xususiy holatlar: Rootlarni sonlar o‘qidan chiqarib tashlash.

Teng modullar — strict

$$|A|<|B|\Longleftrightarrow A^2

Nonnegative modullarni square qilish tartibni saqlaydi.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: A²-B²=(A-B)(A+B).

Teng modullar — non-strict

$$|A|\le|B|\Longleftrightarrow A^2\le B^2$$

Modullarni square qilib oddiy polynomial inequalityga o‘tkazadi.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: Factor difference of squares.

Teng modullar — greater

$$|A|>|B|\Longleftrightarrow A^2>B^2$$

Modul kattaligini squares orqali solishtirish.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: (A-B)(A+B)>0.

Teng modullar — greater/equal

$$|A|\ge|B|\Longleftrightarrow A^2\ge B^2$$

Modul kattaligini squares orqali solishtirish.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: (A-B)(A+B)≥0.

Variable RHS bilan strict-less

$$|A|0\ \text{and}\ -B

$B$ — x ga bog‘liq RHS ham bo‘lishi mumkin

RHS avval musbat bo‘lishi shart.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: B≤0 bo‘lsa yechim yo‘q.

Variable RHS bilan non-strict

$$|A|\le B\Longleftrightarrow B\ge0\ \text{and}\ -B\le A\le B$$

RHS nonnegative condition + double inequality.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: B=0 da A=0.

Variable RHS bilan strict-greater

$$|A|>B\Longleftrightarrow (B<0)\ \text{or}\ (B\ge0\ \text{ and }(A<-B\ \text{or}\ A>B))$$

RHS manfiy bo‘lsa avtomatik true; aks holda outside interval.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: B=0 da A≠0.

Variable RHS bilan greater/equal

$$|A|\ge B\Longleftrightarrow (B\le0)\ \text{or}\ (B>0\ \text{ and }(A\le-B\ \text{or}\ A\ge B))$$

RHS nonpositive bo‘lsa avtomatik true.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: B=0 da barcha A.

Modul ko‘paytma signi

$$|A|B<0\Longleftrightarrow A\ne0\ \text{ and }B<0$$

|A| positive factor bo‘lsa sign B dan keladi; A=0 da product 0.

Shart: A,B real

Xususiy holatlar: ≤0 uchun A=0 yoki B≤0.

Modulli kasr signi

$$\frac{|A|}{B}<0\Longleftrightarrow A\ne0\ \text{ and }B<0$$

$B$ — maxraj

Nonnegative numerator bilan kasr signi denominatorga bog‘liq.

Shart: B\ne0

Xususiy holatlar: ≤0 uchun A=0 yoki B<0; domainni saqlang.

Ikki masofa yig‘indisining minimumi

$$|x-a|+|x-b|\ge|a-b|$$

$a,b$ — fixed nuqtalar

Ikki endpointgacha masofalar yig‘indisi ular orasidagi masofadan kichik emas.

Shart: a,b real

Xususiy holatlar: x segment [min(a,b),max(a,b)] da equality.

Distance-sum strict interval

$$|x-a|+|x-b|

$c$ — masofalar yig‘indisi chegarasi

Yechim segment markazi atrofidagi interval.

Shart: a\le b,\ c>b-a

Xususiy holatlar: c≤b-a da strict inequality yechimsiz.

Distance-sum closed interval

$$|x-a|+|x-b|\le c\Longleftrightarrow \frac{a+b-c}{2}\le x\le\frac{a+b+c}{2}$$

$c$ — masofalar yig‘indisi chegarasi

Non-strict distance-sum yechim intervali.

Shart: a\le b,\ c\ge b-a

Xususiy holatlar: c=b-a da butun [a,b] segment yechim.

Masofalar farqi chegarasi

$$-|a-b|\le |x-a|-|x-b|\le |a-b|$$

Ikki nuqtagacha masofalar farqi endpointlar masofasidan oshmaydi.

Shart: a,b real

Xususiy holatlar: Extreme qiymatlar yarim chiziqlarda erishiladi.

Even substitution

$$t=|x|,\qquad t\ge0,\qquad x^2=t^2$$

$t$ — nonnegative substitute

Modulli tengsizlikni t ga nisbatan rational/polynomial inequalityga aylantiradi.

Shart: Ifoda x ni faqat |x| va juft darajalar orqali ishlatsa

Xususiy holatlar: t intervalidan x intervalini simmetrik qaytaring.

Teoremalar va isbotlar

📐 Ichki–tashqi interval teoremasi

c>0 uchun |A|<c iff -c<A<c; |A|>c iff A<-c yoki A>c. Non-strict versiyalarda endpointlar yopiladi.

Modul — 0 dan masofa: c dan yaqin nuqtalar ichkarida, uzoq nuqtalar tashqarida.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: A real, c>0

Isbotlash kerak: |A|<c iff -c<A<c va |A|>c iff tashqi rays

|A| — A ning 0 dan masofasi.
Masofa c dan kichik bo‘lishi A ning -c va c orasida bo‘lishiga teng.
Masofa c dan katta bo‘lishi A<-c yoki A>c bo‘lishiga teng.
≤ va ≥ holatlarda equality endpointlari qo‘shiladi.

Ichki/tashqi interval qoidalari isbotlandi. ∎

📐 Modullarni square qilish teoremasi

Real A,B uchun |A|<|B| iff A²<B²; shu kabi ≤,>,≥ ham ekvivalent.

|A| va |B| nonnegative, nonnegative sonlarda square funksiyasi tartibni saqlaydi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: A,B real

Isbotlash kerak: |A|<|B| iff A²<B²

|A|≥0 va |B|≥0.
s,t≥0 uchun s<t iff s²<t².
s=|A| va t=|B| qo‘ysak |A|<|B| iff |A|²<|B|².
|A|²=A² va |B|²=B².
Non-strict va greater versiyalar ayni argument bilan olinadi.

Modul taqqoslash squares taqqoslashga ekvivalent. ∎

📐 Variable RHS teoremasi

|A|<B bo‘lishi uchun B>0 va -B<A<B zarur va yetarli; |A|≤B uchun B≥0 va -B≤A≤B.

Nonnegative modul negative RHSdan kichik bo‘la olmaydi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: A,B real

Isbotlash kerak: |A|<B iff B>0 va -B<A<B

|A|≥0, shuning uchun |A|<B bo‘lsa albatta B>0.
B>0 bo‘lganda |A|<B standart ichki intervalga ekvivalent: -B<A<B.
Aksincha B>0 va -B<A<B bo‘lsa A ning 0 dan masofasi B dan kichik.
≤ holatda B=0 ham mumkin va endpointlar yopiladi.

RHS positivity condition ajralmas qism ekanligi isbotlandi. ∎

📐 Distance-sum teoremasi

a≤b bo‘lsa |x-a|+|x-b| ning minimumi b-a; c>b-a da <c yechimi ((a+b-c)/2,(a+b+c)/2).

x [a,b] segmentida yursa endpointlargacha umumiy yo‘l b-a; tashqarida ortadi.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: a≤b

Isbotlash kerak: |x-a|+|x-b| minimumi b-a va <c solution intervali

x∈[a,b] da |x-a|+|x-b|=(x-a)+(b-x)=b-a.
x<a da yig‘indi a-x+b-x=a+b-2x bo‘lib chapga borganda ortadi.
x>b da yig‘indi x-a+x-b=2x-a-b bo‘lib o‘ngga borganda ortadi.
<c uchun chap regiondan x>(a+b-c)/2, o‘ng regiondan x<(a+b+c)/2 chiqadi.
c>b-a bo‘lsa bu ikki chegara orasida yechim mavjud.

Distance-sum formulasi va threshold isbotlandi. ∎

📐 Modul-factor sign teoremasi

|A|·B ning signi A≠0 bo‘lsa B ning signiga teng; A=0 da product 0. Xuddi shunday |A|/B da B≠0 sharti bilan denominator signi hal qiluvchi.

|A| hech qachon negative emas.

Isbotni ko'rsatish

Berilgan: A,B real

Isbotlash kerak: |A|·B va |A|/B sign qoidasi

A=0 bo‘lsa |A|=0 va product 0.
A≠0 bo‘lsa |A|>0, positive factor signni o‘zgartirmaydi.
Shuning uchun |A|B signi B signiga teng.
Kasrda ham |A|≥0; A≠0 va B≠0 bo‘lsa kasr signi B signiga teng.
≤0 kabi non-strict holatda numerator zero ham yechim bo‘lishi mumkin.

Modul-factor sign analysis qoidasi isbotlandi. ∎

Yechilgan misollar

oson $|x|>-1$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Modul har doim nonnegative.

Har real x uchun |x|≥0.
0>-1 bo‘lgani uchun |x|>-1 har doim to‘g‘ri.

✅ Javob: $\mathbb R$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegativity butun masalani bir qadamda yopadi.

⚠️ Source 7749 bilan mos.

oson $|3x|<-3$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Nonnegative son manfiy sondan kichik bo‘la olmaydi.

|3x|≥0.
RHS=-3<0.
Shuning uchun yechim yo‘q.

✅ Javob: $\varnothing$

Nega bu usul ishlaydi: RHS signi birinchi tekshiriladi.

⚠️ Source 7750 bilan mos.

oson $|x-5|\le0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: |A|≤0 iff A=0.

Modul nonnegative.
≤0 bo‘lishi uchun |x-5|=0.
x-5=0 → x=5.

✅ Javob: $\{5\}$

Nega bu usul ishlaydi: Zero absolute-value qoidasi ishlaydi.

⚠️ Source 7754 bilan mos.

oson $|x^2-x-2|>0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: |A|>0 iff A≠0.

x²-x-2=(x-2)(x+1).
Modul 0 bo‘ladigan nuqtalar x=-1 va x=2.
Qolgan barcha real x larda modul musbat.

✅ Javob: $(-\infty,-1)\cup(-1,2)\cup(2,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Strict positive modulus faqat argument zerosini chiqaradi.

⚠️ Source 7755 bilan mos.

oson $|x^2-6x+5|\ge0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Har modul ≥0.

Har real x uchun |x²-6x+5|≥0.
Argument zero bo‘lsa ham equality ruxsat etilgan.

✅ Javob: $\mathbb R$

Nega bu usul ishlaydi: Non-strict nonnegativity barcha real x ni beradi.

⚠️ Source 7758 `[1,5]` deb noto‘g‘ri belgilagan.

oson $|x|\le2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Ichki yopiq interval.

|x|≤2 iff -2≤x≤2.

✅ Javob: $[-2,2]$

Nega bu usul ishlaydi: 0 dan masofa 2 dan oshmaydi.

⚠️ Source 7759 bilan mos.

oson $|3x|\ge9$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Tashqi yopiq interval.

|3x|≥9 iff 3x≤-9 yoki 3x≥9.
x≤-3 yoki x≥3.

✅ Javob: $(-\infty,-3]\cup[3,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: ≥ da boundary equality kiradi.

⚠️ Source 7760 ichki intervalni marked answer qilgan; noto‘g‘ri.

oson $|x|<4$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Strict ichki interval.

|x|<4 iff -4<x<4.

✅ Javob: $(-4,4)$

Nega bu usul ishlaydi: Strict inequality endpointlarni chiqaradi.

⚠️ Source 7761 A ni belgilagan, aslida C mazmunan to‘g‘ri.

ortacha $|4x-2|<7$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: -7<4x-2<7.

-7<4x-2<7.
-5<4x<9.
-5/4<x<9/4.

✅ Javob: $(-\frac54,\frac94)$

Nega bu usul ishlaydi: |A|<c double inequalityga ekvivalent.

⚠️ Source 7763 bilan mos.

ortacha $|3x+\frac52|\ge2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: ≥ bo‘lgani uchun tashqi rays va endpointlar kiradi.

3x+5/2≤-2 yoki 3x+5/2≥2.
Birinchi branch: 3x≤-9/2 → x≤-3/2.
Ikkinchi branch: 3x≥-1/2 → x≥-1/6.

✅ Javob: $(-\infty,-\frac32]\cup[-\frac16,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Non-strict outside rule endpointlarni yopadi.

⚠️ Source 7769 ikkala endpointni ochiq qoldirgan.

ortacha $|x^2+5x|<6$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: -6<x²+5x<6 ni kesishma sifatida yeching.

x²+5x>-6 → x²+5x+6>0 → (x+2)(x+3)>0.
Demak x<-3 yoki x>-2.
x²+5x<6 → x²+5x-6<0 → (x+6)(x-1)<0 → -6<x<1.
Kesishma: (-6,-3)∪(-2,1).

✅ Javob: $(-6,-3)\cup(-2,1)$

Nega bu usul ishlaydi: Double inequality ikki polynomial sign condition kesishmasidir.

⚠️ Source 7770 bilan mos.

ortacha $|2x-1|<|x-3|$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Ikkala tomon nonnegative: square qiling.

(2x-1)²<(x-3)².
Difference of squares: (x+2)(3x-4)<0.
Kritik nuqtalar -2 va 4/3.
Product negative ular orasida.

✅ Javob: $(-2,\frac43)$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegative modullarni square qilish ekvivalent.

⚠️ Source 7772 bilan mos.

ortacha $|3x-2|>|x|$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Square qilib factorlang.

(3x-2)²>x².
8x²-12x+4>0.
4(2x-1)(x-1)>0.
x<1/2 yoki x>1.

✅ Javob: $(-\infty,\frac12)\cup(1,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Square qilish signsiz modul taqqoslashni polynomialga aylantiradi.

⚠️ Source 7773 `-1/2` breakpoint deb xato qilgan.

ortacha $|x+2|\le|2x-1|$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Square qiling va difference of squares ishlating.

(x+2)²≤(2x-1)².
(3-x)(3x+1)≤0.
Kritik nuqtalar -1/3 va 3.
Product ≤0 tashqi intervallarda.

✅ Javob: $(-\infty,-\frac13]\cup[3,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: ≤ da square equivalence endpointlarni saqlaydi.

⚠️ Source 7774 -1/3 endpointni ochiq qoldirgan.

ortacha $x^2-4|x|+3\ge0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x|≥0.

x²=|x|²=t².
t²-4t+3≥0 → (t-1)(t-3)≥0.
t≥0 bilan birga 0≤t≤1 yoki t≥3.
|x|≤1 yoki |x|≥3.

✅ Javob: $(-\infty,-3]\cup[-1,1]\cup[3,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Even substitution symmetric interval/raysni beradi.

⚠️ Source 7783 x=-3 endpointni chiqarib tashlagan.

ortacha $x^2-5|x|-6\ge0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x|≥0.

t²-5t-6≥0.
(t-6)(t+1)≥0.
t≥0 sabab t≥6.
|x|≥6.

✅ Javob: $(-\infty,-6]\cup[6,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: t ning nonnegative domaini ortiqcha branchni chiqaradi.

⚠️ Source 7784 x=-6 endpointni ochiq qoldirgan.

ortacha $(x+1)^2-2|x+1|-3\ge0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x+1|≥0.

(x+1)²=t².
t²-2t-3≥0 → (t-3)(t+1)≥0.
t≥0 → t≥3.
|x+1|≥3 → x≤-4 yoki x≥2.

✅ Javob: $(-\infty,-4]\cup[2,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Shifted even substitution ishlaydi.

⚠️ Source 7787 x=-4 endpointni ochiq qoldirgan.

ortacha $\frac{-2}{|x|+1}\ge |x|-2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x|≥0; denominator positive.

t=|x|≥0 va t+1>0.
-2/(t+1)≥t-2.
Positive denominator bilan ko‘paytiring: -2≥(t-2)(t+1)=t²-t-2.
0≥t²-t=t(t-1).
0≤t≤1 → |x|≤1.

✅ Javob: $[-1,1]$

Nega bu usul ishlaydi: Denominator doim musbat bo‘lgani uchun inequality sign o‘zgarmaydi.

⚠️ Source 7788 bilan mos.

murakkab $\frac5{|3-x|}+4>|3-x|$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x-3|>0.

Domain sabab t>0.
5/t+4>t.
t>0 bilan ko‘paytiring: 5+4t>t².
t²-4t-5<0 → (t-5)(t+1)<0.
0<t<5.
0<|x-3|<5 → -2<x<8, x≠3.

✅ Javob: $(-2,3)\cup(3,8)$

Nega bu usul ishlaydi: Rational modulus substitution domainni aniq ko‘rsatadi.

⚠️ Source 7789 `(2,4)` deb noto‘g‘ri belgilagan.

murakkab $\frac3{|x-1|}+1>|x-1|-1$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x-1|>0.

3/t+2>t.
t>0 bilan: 3+2t>t².
t²-2t-3<0 → (t-3)(t+1)<0.
0<t<3.
0<|x-1|<3 → -2<x<4, x≠1.

✅ Javob: $(-2,1)\cup(1,4)$

Nega bu usul ishlaydi: t=0 denominatorni nol qiladi, shu sabab markaz nuqta chiqariladi.

⚠️ Source 7790 `(-1,3)` deb noto‘g‘ri.

ortacha $\frac{-60}{|x|+7}>|x|-9$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x|≥0; denominator positive.

t=|x|≥0.
-60/(t+7)>t-9.
t+7>0 bilan: -60>(t-9)(t+7)=t²-2t-63.
t²-2t-3<0 → (t-3)(t+1)<0.
0≤t<3.

✅ Javob: $(-3,3)$

Nega bu usul ishlaydi: Positive denominator va t-domain strict endpointni beradi.

⚠️ Source 7791 bilan mos.

murakkab $\frac5{|x+2|}+2>|x+2|-2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: t=|x+2|>0.

5/t+4>t.
t²-4t-5<0.
0<t<5.
0<|x+2|<5.
-7<x<3 va x≠-2.

✅ Javob: $(-7,-2)\cup(-2,3)$

Nega bu usul ishlaydi: Center shift domain bilan saqlanadi.

⚠️ Source 7792 `(-5,1)` deb noto‘g‘ri.

ortacha $|x|(x-3)\le0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: |x| nonnegative factor.

x=0 da product 0.
x≠0 da |x|>0, sign faqat x-3 dan keladi.
≤0 uchun x-3≤0 → x≤3.
Bu x=0 ni ham o‘z ichiga oladi.

✅ Javob: $(-\infty,3]$

Nega bu usul ishlaydi: Positive modulus factor signni o‘zgartirmaydi.

⚠️ Source 7793 x=3 endpointni ochiq qoldirgan.

ortacha $|x-2|(x-3)\ge0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Modul factor 0 bo‘lishi mumkin.

x=2 da product 0 → yechim.
x≠2 da |x-2|>0.
Shunda product ≥0 iff x-3≥0 → x≥3.

✅ Javob: $\{2\}\cup[3,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Zero point alohida, qolgan joyda sign ikkinchi factordan keladi.

⚠️ Source 7796 faqat `{2}` ni belgilagan.

murakkab $\frac{|x-1|}{x^2-5x+6}\le0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Numerator ≥0; denominator signini tahlil qiling.

Domain: x≠2,3.
Numerator |x-1|=0 faqat x=1 → fraction 0, yechim.
x≠1 da numerator positive.
Denominator (x-2)(x-3)<0 faqat 2<x<3.
Union: {1}∪(2,3).

✅ Javob: $\{1\}\cup(2,3)$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegative numerator bilan ≤0 zero numerator yoki negative denominator orqali keladi.

⚠️ Source 7798 bilan mos.

ortacha $|x-2|<2x-7$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: RHS albatta musbat bo‘lishi kerak.

2x-7>0 → x>7/2.
-(2x-7)<x-2<2x-7.
Chap inequality x>3 beradi.
O‘ng inequality x>5 beradi.
Barcha shartlar kesishmasi x>5.

✅ Javob: $(5,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: |A|<B da B>0 sharti va double inequality birga olinadi.

⚠️ Source 7801 x=5 ni noto‘g‘ri qo‘shgan.

ortacha $|x+2|>3x-2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: RHS manfiy bo‘lgan region avtomatik yechim.

3x-2<0 → x<2/3 da tengsizlik avtomatik true.
x≥2/3 da |x+2|>3x-2 ni tashqi branchlarga ajrating.
x+2>3x-2 → x<2.
x+2<-(3x-2) → x<0, bu x≥2/3 bilan mos emas.
Union x<2.

✅ Javob: $(-\infty,2)$

Nega bu usul ishlaydi: Variable RHS greater-case’da negative RHS regionni yo‘qotmaslik kerak.

⚠️ Source 7804 bilan mos.

murakkab $|x+2|>x^2-2x+2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Breakpoint x=-2 bo‘yicha piecewise yoki variable-RHS analysis.

x≥-2 da |x+2|=x+2: x+2>x²-2x+2 → x²-3x<0 → 0<x<3.
x<-2 da |x+2|=-x-2: -x-2>x²-2x+2 → x²-x+4<0, real yechim yo‘q.
Natija (0,3).

✅ Javob: $(0,3)$

Nega bu usul ishlaydi: Piecewise branchlar polynomial inequalitiesga tushadi.

⚠️ Source 7807 x=0 endpointni noto‘g‘ri qo‘shgan.

murakkab $|x-4|\ge x^2-4x-4$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Breakpoint x=4 bo‘yicha ikki branch.

x≥4: x-4≥x²-4x-4 → x²-5x≤0 → 4≤x≤5.
x<4: 4-x≥x²-4x-4 → x²-3x-8≤0.
Roots (3±√41)/2; x<4 bilan kesishma [(3-√41)/2,4).
Union [(3-√41)/2,5].

✅ Javob: $[\frac{3-\sqrt{41}}2,5]$

Nega bu usul ishlaydi: Har branchda modulus olib tashlanadi va interval condition bilan filtrlanadi.

⚠️ Source 7808 yuqori chegarani `(3+√41)/2` deb noto‘g‘ri olgan.

ortacha $|x(x-3)-4|\le0$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: |A|≤0 iff A=0.

x(x-3)-4=0.
x²-3x-4=0.
(x-4)(x+1)=0.
x=-1 yoki x=4.

✅ Javob: $\{-1,4\}$

Nega bu usul ishlaydi: Nonnegative modulus ≤0 faqat zero-setni beradi.

⚠️ Source 7810 `(-∞,4]` deb keskin noto‘g‘ri belgilagan.

ortacha $|x-2|+|x-6|>6$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Distance-sum ≤6 intervalini topib complement oling.

a=2, b=6, c=6.
|x-2|+|x-6|≤6 yechimi [(8-6)/2,(8+6)/2]=[1,7].
Strict >6 uning tashqi complementi.

✅ Javob: $(-\infty,1)\cup(7,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Distance-sum formulasi uchta piecewise regionni bir qadamga qisqartiradi.

⚠️ Source 7811 bilan mos.

ortacha $|x+3|+|x-4|\le11$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: a=-3, b=4, c=11.

Endpointlar yig‘indisi a+b=1.
Chap boundary (1-11)/2=-5.
O‘ng boundary (1+11)/2=6.
Non-strict inequality yopiq interval beradi.

✅ Javob: $[-5,6]$

Nega bu usul ishlaydi: Distance-sum ≤c markaziy yopiq interval.

⚠️ Source 7813 bilan mos.

murakkab $|5x-5|+|5x-3|>5$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Avval 5 ni tashqariga chiqaring.

5(|x-1|+|x-3/5|)>5.
|x-1|+|x-3/5|>1.
≤1 bo‘lgan markaziy interval boundaries: ((1+3/5)-1)/2=3/10 va ((1+3/5)+1)/2=13/10.
Strict >1 tashqi intervallarni beradi.

✅ Javob: $(-\infty,\frac3{10})\cup(\frac{13}{10},\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Common factor + distance-sum geometry.

⚠️ Source 7815 chap breakpointni `-13/10` deb xato yozgan.

murakkab $\frac{|x-2|+|x+5|}{15-x}\le1$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Breakpointlar -5,2 va denominator x=15.

Domain x≠15.
x<15 da denominator positive, inequality |x-2|+|x+5|≤15-x ga ekvivalent.
Piecewise tahlil natijasi -18≤x≤4.
x>15 da denominator negative, numerator nonnegative, fraction negative bo‘lib avtomatik ≤1.
Union [-18,4]∪(15,∞).

✅ Javob: $[-18,4]\cup(15,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Denominator sign inequality yo‘nalishi va automatic regionni belgilaydi.

⚠️ Source 7816 x=4 endpointni noto‘g‘ri chiqarib tashlagan.

murakkab $\frac6{|x-3|}\ge x+2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Domain x≠3; RHS signini va x=3 breakpointni ajrating.

x≤-2 da RHS≤0, LHS>0, shuning uchun hammasi yechim.
-2<x<3 da 6/(3-x)≥x+2 → 6≥(x+2)(3-x) → x(x-1)≥0.
Bu intervalda (-2,0]∪[1,3).
x>3 da 6/(x-3)≥x+2 → 6≥(x+2)(x-3) → (x-4)(x+3)≤0.
Bu branchda (3,4].
Union (-∞,0]∪[1,3)∪(3,4].

✅ Javob: $(-\infty,0]\cup[1,3)\cup(3,4]$

Nega bu usul ishlaydi: RHS sign + denominator piecewise analysis barcha regionlarni saqlaydi.

⚠️ Source 7819 `(-∞,-3)∪[3,4]` deb noto‘g‘ri.

murakkab $\frac{x^2-|x|-12}{x^2+3x}\le2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Domain x≠-3,0 va |x| uchun x=0 breakpoint.

Domain: x≠-3,0.
Barcha hadlarni bir tomonga olib, x<0 va x>0 branchlarda rational sign analysis qiling.
x<0 branchdan x<-3 chiqadi.
x>0 branchning barchasi tengsizlikni qanoatlantiradi.
x=0 domain sabab chiqariladi.

✅ Javob: $(-\infty,-3)\cup(0,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Absolute value va rational domain birga boshqariladi.

⚠️ Source 7820 `[0,∞)` deb x=0 forbidden nuqtani qo‘shgan.

murakkab $\left|\frac{x^2-x-6}{x+2}\right|\ge2$ tengsizlikni yeching.

💡 Maslahat: Avval kasrni factorlang, lekin domainni saqlang.

Domain x≠-2.
x²-x-6=(x-3)(x+2).
x≠-2 da kasr x-3 ga qisqaradi.
|x-3|≥2 → x≤1 yoki x≥5.
x=-2 forbidden bo‘lgani uchun chap ray ikkiga bo‘linadi.

✅ Javob: $(-\infty,-2)\cup(-2,1]\cup[5,\infty)$

Nega bu usul ishlaydi: Cancellation domainni yo‘q qilmaydi.

⚠️ Source 7825 x=1 endpointni ochiq qoldirgan.

ortacha $\left|\frac{12}{x-2}\right|\ge1.2$ tengsizlik nechta butun yechimga ega?

💡 Maslahat: 1.2=6/5 va x≠2.

12/|x-2|≥6/5.
|x-2|>0 va 60≥6|x-2| → |x-2|≤10.
-8≤x≤12, lekin x≠2.
Bu intervalda 21 ta butun son bor, x=2 ni chiqaramiz: 20 ta.

✅ Javob: $20$

Nega bu usul ishlaydi: Absolute rational inequality interval + domain countingga tushadi.

⚠️ Source 7830 bilan mos.

ortacha $a$ ning qanday qiymatlarida $|x-2|+|x-4|<a$ tengsizlik cheksiz ko‘p real yechimga ega?

💡 Maslahat: Distance-sum minimum 2.

Minimum |2-4|=2.
a≤2 da strict inequality uchun yechim yo‘q.
a>2 da yechim ochiq interval bo‘lib, unda cheksiz ko‘p real son bor.

✅ Javob: $a>2$

Nega bu usul ishlaydi: Parameter threshold distance-sum minimumidan keladi.

⚠️ Source 7831 bilan mos.

ortacha $a$ ning qanday qiymatlarida $|x-a|+|x-5|<3$ tengsizlik cheksiz ko‘p real yechimga ega?

💡 Maslahat: Ikki center orasidagi masofa 3 dan kichik bo‘lishi kerak.

Strict distance-sum inequality nonempty iff |a-5|<3.
-3<a-5<3.
2<a<8.
Nonempty open intervalda cheksiz ko‘p real yechim mavjud.

✅ Javob: $a\in(2,8)$

Nega bu usul ishlaydi: Parameter nuqtalar orasidagi masofani boshqaradi.

⚠️ Source 7832 bilan mos.

ortacha $|x^2-5x+5|\le1$ tengsizlikning butun yechimlari yig‘indisini toping.

💡 Maslahat: -1≤q(x)≤1 ni tekshiring.

-1≤x²-5x+5≤1.
Ikki quadratic inequality kesishmasidan real solution interval/bloklar olinadi.
Butun yechimlar x=1,2,3,4.
Yig‘indi 1+2+3+4=10.

✅ Javob: $10$

Nega bu usul ishlaydi: Integer-solution countingda avval real set, keyin lattice points olinadi.

⚠️ Source 7952 bilan mos.

murakkab $a$ ning qanday qiymatlarida $|x-2|-|x-4|<a$ tengsizlik cheksiz ko‘p yechimga ega?

💡 Maslahat: Masofalar farqining minimumi -2.

f(x)=|x-2|-|x-4| ning qiymatlar to‘plami [-2,2].
x≤2 da f(x)=-2 doimiy.
a≤-2 bo‘lsa f<a hech qayerda bajarilmaydi.
a>-2 bo‘lsa kamida chap yarim chiziqning bir qismi/hammasi yechim bo‘lib, cheksiz ko‘p real son chiqadi.

✅ Javob: $a>-2$

Nega bu usul ishlaydi: Reverse triangle bound va constant tail parameter thresholdni beradi.

⚠️ Source 7957 bilan mos.

Umumiy xatolar

❌ |A|≥0 ni ma’lum intervalga cheklash.

Modul har bir real argumentda nonnegative.

✅ Agar RHS 0 bo‘lsa ≥0 barcha real x uchun true.

7758: |x²-6x+5|≥0 → ℝ.

❌ |A|≥c da ichki intervalni olish.

≥ masofa kamida c degani, tashqi rays kerak.

✅ A≤-c yoki A≥c.

7760: |3x|≥9 → x≤-3 yoki x≥3.

❌ Strict < yoki > da endpointni qo‘shish.

Equality ruxsat etilmagan.

✅ Round bracket ishlating va boundaryda originalni tekshiring.

|x|<4 → (-4,4).

❌ ≤ yoki ≥ da endpointni chiqarish.

Equality boundaryda tengsizlikni qanoatlantiradi.

✅ Closed endpointni saqlang.

7769 va 7771.

❌ |A|<B da B ning musbatligini tekshirmaslik.

B≤0 bo‘lsa nonnegative modul undan strict kichik bo‘la olmaydi.

✅ Avval B>0, keyin -B<A<B.

7801–7803.

❌ |A|>B da B<0 regionni yo‘qotish.

B negative bo‘lsa inequality avtomatik true.

✅ B<0 regionni darhol qo‘shing, B≥0 da tashqi branchlarni yeching.

7804–7805.

❌ |A|<|B| da modulni ikki branchga tenglamadek ajratish.

Bu tenglama emas; ± branch usuli inequality uchun to‘g‘ridan-to‘g‘ri ekvivalent emas.

✅ Ikkala tomon nonnegative bo‘lgani uchun square qiling.

7772–7774.

❌ Square qilganda inequality yo‘nalishini shartsiz saqlash.

Square monotonicligi faqat nonnegative sonlarda ishonchli.

✅ |A| va |B| kabi nonnegative tomonlarda square qiling.

|A|≤|B| ↔ A²≤B².

❌ t=|x| almashtirishda t<0 rootsni qabul qilish.

t modul qiymati, t≥0.

✅ t-domain bilan kesishing.

7783–7787.

❌ t intervalini x ga qaytarishda simmetriyani unutish.

|x|=t>0 ikki x beradi.

✅ t>0 uchun x=±t; intervalni ikki symmetric qismga qaytaring.

x²-5|x|-6≥0.

❌ Modul factorni sign-changing factor deb olish.

|A| hech qachon negative emas.

✅ A=0 nuqtani ajrating; qolgan joyda sign boshqa factor/denominatordan keladi.

7793,7796.

❌ Rational inequalityda qisqartirilgan forbidden nuqtani qayta qo‘shish.

Algebraik cancellation original domainni kengaytirmaydi.

✅ Original denominator zerosini doim chiqarib tashlang.

7825 da x=-2 forbidden.

❌ Kasr inequalityda denominator signini tekshirmasdan ko‘paytirish.

Negative denominator inequality yo‘nalishini o‘zgartiradi.

✅ Sign chart yoki denominator regionlari bo‘yicha ishlang.

7816,7819.

❌ Distance-sum minimumini 0 deb olish.

Ikki turli fixed pointga masofalar yig‘indisining minimumi ular orasidagi masofa.

✅ min=|a-b| ni ishlating.

7831: minimum 2.

❌ |x-a|+|x-b|>c da markaziy intervalni olish.

Markaziy interval ≤c ga tegishli; >c uning tashqarisi.

✅ Boundarylarni topib complement oling.

7811.

❌ Integer-solution savolida real intervalni javob deb qoldirish.

Savol discrete lattice points haqida.

✅ Real solution setdan keyin faqat butun nuqtalarni sanang/yig‘ing.

7830,7952.

❌ Parameter thresholdda equality holatini strict inequalityga qo‘shish.

Strict < threshold minimumga teng bo‘lsa ko‘pincha yechim yo‘q.

✅ Minimum/maximumga equalityni alohida tekshiring.

7831: a=2 da yechim yo‘q.

❌ Marked optionni endpoint/domain tekshiruvisiz canonical deb qabul qilish.

Source bankda bir nechta ochiq-yopiq interval va algebra xatolari bor.

✅ Original inequalityga boundary/test-point qo‘yib mustaqil QA qiling.

7758,7760,7769,7773,7808,7810,7815.

Noto'g'ri tasavvurlar

Modulli tengsizlikda har doim ± ga ajratish kerak.

Tenglamadagi ± branch bilan tengsizlikdagi inside/outside intervalni aralashtirmang.

|A|≥c ning yechimi -c≤A≤c.

Bu |A|≤c uchun; ≥c tashqi rays beradi.

Strict va non-strict faqat notation farqi.

Endpoint inclusion yechim to‘plamini real ravishda o‘zgartiradi.

|A|<B da B ning signi ahamiyatsiz.

B≤0 region yechimsiz; B>0 sharti fundamental.

Ikki modulni taqqoslashda sign cases shart.

|A| va |B| nonnegative bo‘lgani uchun square qilish ko‘pincha eng toza usul.

|A| ko‘paytmada signni almashtirishi mumkin.

|A| negative emas; faqat A=0 da productni nol qiladi.

Kasr soddalashgach original domain kerak emas.

Canceled denominator zeros hamon forbidden.

Distance-sum inequalitylar faqat piecewise bilan yechiladi.

Ikki fixed point uchun minimum va center formula ancha tez.

Real yechim ko‘p bo‘lsa integer yechim ham cheksiz.

Bounded real intervalda integer yechimlar soni chekli.

Test-bankdagi correct_option matematik isbot o‘rnini bosadi.

Canonical content algebra, endpoint, domain va substitution bilan mustaqil tekshiriladi.

Amaliy qo'llanilishi

Tolerans va sifat nazorati

|measured-target|≤tolerance shakli ishlab chiqarish, laboratoriya va kalibrlashda qabul intervalini beradi.

Geometriya va lokatsiya

|x-a|+|x-b|≤c bir o‘lchamli masofa byudjetini va feasible regionni ifodalaydi.

Statistika va robust modelling

Absolute deviation cheklovlari outlierlarga square-errorga qaraganda kamroq sezgir modellarda ishlatiladi.

Optimallashtirish

L1 constraints va piecewise-linear feasible sets modulli tengsizliklardan quriladi.

Signal va threshold tizimlari

|signal|>threshold detector signal amplitudasi limitdan oshgan regionni aniqlaydi.

Error bounds

|approx-true|<ε absolute error bound bo‘lib numerical analysis va approximationda asosiy notationdir.

Parametrli modellar

Distance minimum/maximum orqali parametrning qaysi qiymatlarida feasible region mavjudligi topiladi.

Test-bank QA

Strict/non-strict endpoint, forbidden domain va integer-count invariantlari noto‘g‘ri marked optionlarni aniqlashga xizmat qiladi.

Modulli tengsizliklar: qaysi engine kerak?

Inside/outside interval, squaring, product/rational sign va yakuniy endpoint/domain QA yo‘llarini bitta xaritada birlashtiradi.

Xulosa

Cheat sheet: c>0: |A|<c ↔ -c<A<c; |A|≤c ↔ -c≤A≤c; |A|>c ↔ A<-c yoki A>c; |A|≥c ↔ A≤-c yoki A≥c. |A|<0 → ∅; |A|≤0 ↔ A=0; |A|>0 ↔ A≠0; |A|≥0 → ℝ. |A|⋚|B| ni A²⋚B² ga xavfsiz kvadratlash mumkin. |A|<B(x) uchun B(x)>0 zarur. Rational holatda domain nuqtalari hech qachon solution emas. Strict inequality zero endpointlarni chiqaradi; non-strict kiritishi mumkin.

Keyingi irrational va boshqa funksional tengsizliklarda ham domain-first va sign-chart yondashuvi ishlaydi. Absolute-value graph y=|f(x)| bilan parameter chiziqlarini solishtirish esa funksiyalar va parametrli tengsizliklarda root/interval countga umumlashadi.

Bog'liq mavzular

Oldin bilishingiz kerak: Modulli ifodalar va tenglamalar, Chiziqli tengsizlik va tengsizliklar sistemasi, Kvadrat tenglama va uning ildizlari

Bog'liq mavzular: Ratsional tengsizliklar, Parametrli tenglama va tengsizliklar, Kvadrat funksiya, Funksiya

Keyingi mavzular: Ratsional tengsizliklar

Manbalar

OpenStax Intermediate Algebra 2e — Absolute Value Equations and Inequalities — Absolute-value inequalities, distance interpretation and standard solution forms.
OpenStax College Algebra 2e — The Rectangular Coordinate Systems and Graphs — Coordinate distance foundations used in absolute-value models.
Khan Academy — Absolute value equations — Absolute-value algebra practice and conceptual review.
Khan Academy — Absolute value and number lines — Distance and number-line interpretation of absolute value.
MathTest.uz — Modulli ifodalar va tenglamalar — Prerequisite canonical lesson for modulus equations and piecewise reasoning.
MathTest.uz Topic 45 source bank — 95 active source questions audited for interval, domain, parameter and integer-solution patterns.

Ro'yxatdan o'tib, mashq qilishni boshlang