Арифметическая прогрессия моделирует постоянное изменение: на каждом шаге прибавляется или вычитается одна и та же величина. Это дискретный аналог линейной функции, встречающийся в задачах о равномерном снижении цены, плановом ежедневном росте, нумерации мест по рядам, регулярных накоплениях и многих других моделях. Тема служит основой для суммы арифметической прогрессии, геометрической прогрессии и дальнейшего изучения функций.
Упорядоченный список чисел, индексированных натуральными числами: $a_1,a_2,a_3,\ldots$
У каждого числа есть своё место — индекс.
Пример: $2,5,8,11,\ldots$
Не является примером: Неупорядоченное множество чисел не является последовательностью.
💡 Обычно индексация начинается с $n=1,2,3,\ldots$.
Значение $a_n$, соответствующее определённому индексу в последовательности.
$a_7$ — седьмой член.
Пример: $a_4=11$.
Не является примером: Число 4 здесь может быть индексом, а не самим членом.
💡 Не путайте член и его индекс.
Порядковый номер $n$ члена последовательности.
Показывает, на каком месте стоит член.
Пример: В $a_{10}$ индекс равен 10.
Не является примером: В записи $a_n$ символ $n$ — общий индекс, а не значение члена.
💡 Обычно индекс — положительное целое число.
Последовательность, в которой разность между каждым следующим и предыдущим членами равна одной и той же постоянной $d$.
$a_n-a_{n-1}=d$ для всех $n\ge2$.
Пример: $3,7,11,15,\ldots$
Не является примером: $1,2,4,8,\ldots$ не является арифметической прогрессией.
💡 Термины «арифметическая последовательность» и «арифметическая прогрессия» употребляются как синонимы.
Постоянное число $d$, получаемое как разность следующего и предыдущего членов.
$d=a_n-a_{n-1}$.
Пример: Для $10,7,4,1$ имеем $d=-3$.
Не является примером: Если взять $a_{n-1}-a_n$ вместо $a_n-a_{n-1}$, знак разности изменится.
💡 Направление всегда: следующий минус предыдущий.
Значение прогрессии при $n=1$, обозначаемое $a_1$.
Начальное значение, которое вместе с $d$ определяет всю прогрессию.
Пример: $a_1=5,d=2$ → $5,7,9,\ldots$
Не является примером: $a_0$ относится к другой договорённости об индексации.
💡 В стандартной формуле используется $a_1$.
Формула, которая непосредственно задаёт любой член через индекс $n$.
$a_n=a_1+(n-1)d$.
Пример: $a_1=4,d=3$ → $a_n=4+3(n-1)$.
Не является примером: $a_n=a_1+nd$ при индексации с $n=1$ содержит ошибку на один шаг.
💡 Также называется формулой n-го члена.
Формула, задающая $a_n$ непосредственно через $n$, без обращения к предыдущим членам.
Подставив $n$, сразу получаем нужный член.
Пример: $a_n=5n-2$.
Не является примером: $a_n=a_{n-1}+5$ — рекуррентная формула.
💡 Для арифметической прогрессии это линейное выражение по $n$.
Правило, задающее первый член и каждый следующий член через предыдущий.
$a_1=A,\ a_n=a_{n-1}+d$ при $n\ge2$.
Пример: $a_1=3,\ a_n=a_{n-1}+4$.
Не является примером: $a_n=4n-1$ — явная, а не рекуррентная формула.
💡 Начальный член обязателен.
Арифметическая прогрессия с $d>0$.
На каждом шаге значение увеличивается.
Пример: $1,4,7,10,\ldots$
Не является примером: При $d<0$ прогрессия убывает.
💡 Строго возрастающая последовательность.
Арифметическая прогрессия с $d<0$.
На каждом шаге значение уменьшается.
Пример: $12,8,4,0,\ldots$
Не является примером: При $d>0$ прогрессия возрастает.
💡 Строго убывающая последовательность.
Арифметическая прогрессия с $d=0$.
Все её члены равны.
Пример: $6,6,6,6,\ldots$
Не является примером: Считать такую последовательность неарифметической — ошибка.
💡 Это специальный случай арифметической прогрессии.
Арифметическое среднее двух чисел $A$ и $B$ равно $(A+B)/2$.
Средний из трёх последовательных членов арифметической прогрессии равен среднему арифметическому крайних.
Пример: $4,7,10$: $7=(4+10)/2$.
Не является примером: Геометрическое среднее $\sqrt{AB}$ — другое понятие.
💡 Связано со свойством трёх последовательных членов.
Процесс вставки новых членов между $A$ и $B$ так, чтобы все числа образовали одну арифметическую прогрессию.
Отрезок между крайними значениями делится на равные шаги.
Пример: Между 2 и 14 можно вставить 5, 8, 11.
Не является примером: Вставка чисел с неравными шагами не даёт арифметическую прогрессию.
💡 Если вставляется $m$ новых членов, получается $m+1$ равных интервалов.
Известный член $a_m$, который не обязан быть первым.
По $a_m$ и $d$ можно найти любой $a_n$.
Пример: $a_n=a_m+(n-m)d$.
Не является примером: Начинать вычисления всегда с $a_1$ необязательно.
💡 Опорный член сокращает вычисления.
Общее количество индексов в конечной арифметической прогрессии.
Если последний член равен $a_n$, индекс $n$ находится из формулы общего члена.
Пример: В $8,1,-6,\ldots,-41$ число членов равно 8.
Не является примером: Если $n$ получается дробным, указанное последнее значение не является членом прогрессии.
💡 $n$ должно быть положительным целым числом.
Число $x$ является членом прогрессии, если существует положительное целое $n$, для которого $a_n=x$.
Решаем уравнение относительно $n$ и проверяем, что индекс целый положительный.
Пример: В $2,5,8,\ldots$ число 20 является 7-м членом.
Не является примером: Если получается $n=7.5$, число не является членом прогрессии.
💡 Случай $d=0$ рассматривается отдельно.
Члены $a_{k-r}$ и $a_{k+r}$, индексы которых равноудалены от центрального индекса $k$.
Их среднее равно центральному члену $a_k$.
Пример: $a_{k-2}+a_{k+2}=2a_k$.
Не является примером: Если расстояния индексов от центра различны, это равенство в общем случае не действует.
💡 Следствие линейности арифметической прогрессии.
Разность соседних первых разностей последовательности.
В арифметической прогрессии первые разности равны $d,d,d,\ldots$, поэтому вторая разность равна 0.
Пример: $a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=0$.
Не является примером: У квадратичной последовательности вторая разность обычно постоянна и ненулевая.
💡 Критерий распознавания арифметической прогрессии.
Последовательность значений линейной функции, взятых на натуральных индексах.
$a_n=dn+b$.
Пример: $a_n=3n+2$.
Не является примером: $a_n=2^n$ — экспоненциальная последовательность, не арифметическая.
💡 $d$ является наклоном графика точек последовательности.
Главный инвариант арифметической прогрессии: все разности соседних членов одинаковы.
$a_n-a_{n-1}=d$
n≥2
От a_1 до a_n ровно n−1 переходов, поэтому разность d прибавляется n−1 раз.
$a_n=a_1+(n-1)d$
n≥1
Необязательно возвращаться к первому члену: от a_m до a_n можно перейти на n−m шагов.
$a_n=a_m+(n-m)d$
m,n — положительные целые числа
Если известны два члена с разными индексами, то d и a_1 определяются однозначно.
$d=(a_n-a_m)/(n-m)$
n≠m
Одну и ту же арифметическую прогрессию можно задавать рекурсивно через первый член и шаг или явно через индекс.
$a_n=a_{n-1}+d ↔ a_n=a_1+(n-1)d$
n≥2
После упрощения явная формула принимает вид a_n=dn+(a_1−d).
$a_n=dn+b$
b=a_1−d
Знак d полностью определяет направление изменения прогрессии.
$d>0,d<0,d=0$
d — действительное число
При d≠0 индекс заданного значения x находится из линейного уравнения.
$n=1+(x-a_1)/d$
n должно быть натуральным числом
Если найденный n не является положительным целым числом, заданное значение не является членом прогрессии.
d≠0
Для постоянной прогрессии нельзя использовать формулу индекса с делением на d.
$a_n=a_1$
d=0
Каждый внутренний член арифметической прогрессии равен арифметическому среднему двух соседних.
$2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$
k≥2
Члены, равноудалённые по индексам от центра, отличаются от центрального на ±rd, поэтому эти добавки взаимно уничтожаются в сумме.
$a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k$
k−r≥1
Если p+q=r+s, то в арифметической прогрессии выполняется a_p+a_q=a_r+a_s.
$p+q=r+s$
Индексы допустимы
Если между A и B вставить m членов, от A до B получится m+1 равных шагов.
$d=(B-A)/(m+1)$
m≥1, m — целое число
k-е вставленное среднее после A равно A+kd.
$M_k=A+k(B-A)/(m+1)$
1≤k≤m
Подпоследовательность a_s,a_{s+r},a_{s+2r},… сама является арифметической прогрессией с разностью rd.
$d_{sub}=rd$
r — положительное целое число
Подпоследовательности a_1,a_3,a_5,… и a_2,a_4,a_6,… обе имеют разность 2d.
$d_{odd}=d_{even}=2d$
Нужные индексы существуют
В арифметической прогрессии первые разности постоянны, поэтому дискретная вторая разность равна нулю.
$a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=0$
Внутренние индексы
Любая последовательность вида a_n=pn+q является арифметической, а её общая разность равна p.
$a_{n+1}-a_n=p$
n∈N
Любую арифметическую прогрессию можно записать в виде a_n=dn+(a_1−d).
$a_n=dn+(a_1-d)$
n≥1
Если время или шаги отсчитываются от начального момента 0, удобно использовать a_0: a_n=a_0+nd.
$a_n=a_0+nd$
Индексация с нуля
Знание структуры членов арифметической прогрессии является необходимой основой для следующей темы о сумме первых n членов.
$S_n$
В теме 49 сумма S_n не является основной формулой
Для каждой соседней пары разность «следующий минус предыдущий» равна одной и той же величине d.
Условие: n≥2
Частные случаи: d может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
От первого члена до n-го разность d прибавляется n−1 раз.
Условие: n≥1
Частные случаи: При d=0 имеем a_n=a_1.
Каждый следующий член получается прибавлением d к предыдущему.
Условие: n≥2 и задан a_1
Частные случаи: Обязательно нужно начальное значение a_1.
От a_m до a_n выполняется n−m одинаковых шагов.
Условие: m,n — положительные целые числа
Частные случаи: Если n<m, то n−m отрицательно и мы движемся назад по прогрессии.
Разность значений двух членов делится на число шагов между их индексами.
Условие: n≠m
Частные случаи: При перестановке индексов нужно одновременно поменять порядок и в числителе.
От n-го члена возвращаемся назад на n−1 шагов.
Условие: n≥1
Частные случаи: При n=1 формула сводится к тождеству a_1=a_1.
Показывает, за сколько шагов d достигается заданное значение.
Условие: d≠0
Частные случаи: n должно быть положительным целым числом.
Явная формула арифметической прогрессии является линейной функцией индекса n.
Условие: n≥1
Частные случаи: Коэффициент при n равен d.
Коэффициент при n в линейной формуле равен общей разности.
Условие: n — натуральное число
Частные случаи: Свободный член q не влияет на разность.
Первый член находится подстановкой n=1.
Условие: n=1
Частные случаи: Не путайте с формой a_1+(n−1)d.
Средний член равен арифметическому среднему двух соседних.
Условие: k≥2
Частные случаи: Эквивалентно a_k=(a_{k-1}+a_{k+1})/2.
Средний из трёх последовательных членов равен среднему арифметическому крайних.
Условие: Три последовательных члена арифметической прогрессии
Частные случаи: Порядок крайних членов не имеет значения.
Сумма членов, равноудалённых по индексам от центра, равна удвоенному центральному члену.
Условие: k−r≥1
Частные случаи: При r=1 получаем свойство трёх последовательных членов.
Сумма двух членов арифметической прогрессии зависит от суммы их индексов линейно.
Условие: p+q=r+s
Частные случаи: Например, a_2+a_8=a_4+a_6.
Между A и B образуется m+1 равных интервалов.
Условие: m≥1, m — целое число
Частные случаи: Если B<A, то d отрицательно.
От A до k-го вставленного члена выполняется k одинаковых шагов.
Условие: 1≤k≤m
Частные случаи: При k=m получаем член, стоящий на один шаг перед B.
Переход на r индексов складывает исходную разность d ровно r раз.
Условие: r — положительное целое число
Частные случаи: При r=2 получаем подпоследовательности нечётных и чётных индексов.
Каждый следующий член нечётной подпоследовательности находится через два исходных шага.
Условие: Требуемые индексы существуют
Частные случаи: Для чётных индексов разность также равна 2d.
Дискретная вторая разность арифметической прогрессии равна нулю.
Условие: n — внутренний индекс
Частные случаи: Верно и обратное: нулевая вторая разность означает постоянную первую разность.
Если L является N-м членом, формула индекса одновременно даёт число членов конечной прогрессии.
Условие: d≠0 и N — положительное целое число
Частные случаи: Если N получается дробным, L не является членом прогрессии.
Удобная форма для моделей, где начальный момент обозначается n=0.
Условие: n=0,1,2,…
Частные случаи: Не смешивайте эту индексацию со стандартной формулой через a_1.
Позволяет сразу найти любой промежуточный член между двумя известными.
Условие: n≠m
Частные случаи: Если k — середина между m и n, получается обычное арифметическое среднее.
Если индекс k является серединой индексов m и n, то a_k является средним арифметическим a_m и a_n.
Условие: m+n чётно
Частные случаи: k должно быть целым числом.
Для целочисленной прогрессии разность между целевым значением и a_1 должна делиться на d, а полученный индекс обязан быть положительным.
Условие: a_1,d и целевое значение — целые; d≠0
Частные случаи: Дополнительно проверяются знак и положительность индекса.
Формула общего члена позволяет в теме о сумме заменять последний член через a_1,d,n.
Условие: Необходимая база для темы 50
Частные случаи: Формула S_n будет введена уже в теме 50.
Если первый член арифметической прогрессии равен a_1, а общая разность равна d, то n-й член задаётся формулой a_n=a_1+(n-1)d.
От a_1 до a_n существует ровно n−1 одинаковых шагов.
Дано: a_1 — первый член, d — постоянная разность между соседними членами.
Требуется доказать: Доказать a_n=a_1+(n-1)d.
Формула общего члена доказана. ∎
Если заданы два члена a_m и a_n с различными индексами, то общая разность d и первый член a_1 арифметической прогрессии определяются однозначно.
Как две точки однозначно задают прямую, так два индексированных члена задают одну арифметическую прогрессию.
Дано: Известны a_m и a_n, причём m≠n.
Требуется доказать: Доказать однозначность d и a_1.
Два члена с различными индексами однозначно задают параметры арифметической прогрессии. ∎
Числа x,y,z являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда 2y=x+z.
Два соседних шага +d и −d взаимно компенсируются относительно среднего члена.
Дано: x,y,z — три последовательных члена.
Требуется доказать: Доказать эквивалентность: прогрессия ⇔ 2y=x+z.
Условие 2y=x+z является необходимым и достаточным. ∎
В арифметической прогрессии сумма членов, индексы которых симметричны относительно одного центра, равна удвоенному центральному члену: a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k.
Слева от центра получаем −rd, справа +rd; в сумме они исчезают.
Дано: Дана арифметическая прогрессия и допустимые индексы k−r,k,k+r.
Требуется доказать: Доказать a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k.
Симметричные по индексам члены симметричны по значениям относительно центрального члена. ∎
Последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда её общий член задаётся линейной формулой a_n=pn+q.
Постоянная первая разность является дискретным аналогом постоянного наклона.
Дано: Рассматривается последовательность с натуральными индексами.
Требуется доказать: Доказать: арифметическая прогрессия ⇔ a_n=pn+q.
Арифметическая прогрессия — это линейная функция, рассматриваемая на натуральных индексах. ∎
💡 Подсказка: Проверьте разности соседних членов.
✅ Ответ: Да, $d=4$
Почему метод работает: По определению арифметической прогрессии достаточно постоянства первых разностей.
⚠️ Одного факта возрастания недостаточно; разность должна быть постоянной.
💡 Подсказка: Одинаковы ли соседние разности?
✅ Ответ: Нет
Почему метод работает: Для арифметической прогрессии все соседние разности обязаны быть равны.
Альтернативный метод: Это геометрическая закономерность, но для текущей темы достаточно установить, что она не арифметическая.
⚠️ Фраза «каждый раз растёт» не является критерием арифметической прогрессии.
💡 Подсказка: Вычитайте предыдущий член из следующего.
✅ Ответ: $d=-5$
Почему метод работает: Знак общей разности показывает направление изменения прогрессии.
⚠️ Если вычислять «предыдущий минус следующий», ошибочно получится +5.
💡 Подсказка: Разность может быть равна нулю.
✅ Ответ: Да, $d=0$
Почему метод работает: Постоянная последовательность — частный случай арифметической прогрессии.
⚠️ Утверждение «при d=0 это не арифметическая прогрессия» неверно.
💡 Подсказка: Приведите дроби к общему знаменателю.
✅ Ответ: $d=\frac14$
Почему метод работает: Общая разность может быть и дробным числом.
⚠️ Арифметическая прогрессия не обязана состоять из целых чисел.
💡 Подсказка: Используйте $a_n=a_1+(n-1)d$.
✅ Ответ: $a_{20}=64$
Почему метод работает: Между первым и двадцатым членами имеется 19 шагов.
⚠️ Нужно прибавить 19d, а не 20d.
💡 Подсказка: Здесь n−1=14.
✅ Ответ: $51$
Почему метод работает: Формула общего члена одинаково работает и при отрицательном первом члене.
⚠️ Следите за знаком отрицательного первого члена.
💡 Подсказка: Подставьте отрицательное d без изменения знака.
✅ Ответ: $7$
Почему метод работает: В убывающей прогрессии вклад отрицательной разности увеличивается по модулю с ростом n.
⚠️ Не заменяйте d=−3 на +3.
💡 Подсказка: Здесь a_1=2,d=5.
✅ Ответ: $a_n=5n-3$
Почему метод работает: Стандартная формула общего члена упрощается до линейной формы.
Альтернативный метод: Форма $2+5(n-1)$ также является правильной явной формулой.
⚠️ Запись 5n+2 содержит ошибку на один шаг.
💡 Подсказка: Общая разность d=−3.
✅ Ответ: $a_n=53-3n$
Почему метод работает: Отрицательная общая разность проявляется как отрицательный наклон линейной формулы.
Альтернативный метод: $50-3(n-1)$ — эквивалентная запись.
⚠️ Если записать a_n=50−3n, первый член ошибочно станет равен 47.
💡 Подсказка: Сначала найдите a_1 и d.
✅ Ответ: $a_1=5,\quad a_n=a_{n-1}+6$
Почему метод работает: Коэффициент при n в линейной формуле равен общей разности.
Альтернативный метод: Можно проверить через a_2−a_1=11−5=6.
⚠️ В рекурсивной формуле нельзя забывать начальный член.
💡 Подсказка: Общая разность равна 5.
✅ Ответ: $a_n=5n-13$
Почему метод работает: Рекурсивное правило вместе с начальным значением полностью задаёт параметры арифметической прогрессии.
⚠️ Одного правила a_n=a_{n-1}+5 недостаточно для абсолютных значений; нужен a_1.
💡 Подсказка: Используйте $a_3=a_1+2d$.
✅ Ответ: $a_1=3$
Почему метод работает: От первого до третьего члена выполняются два шага.
⚠️ До третьего члена добавляется 2d, а не 3d.
💡 Подсказка: Используйте a_1=a_8−7d.
✅ Ответ: $a_1=11$
Почему метод работает: При движении назад вычитание отрицательного d увеличивает значение.
⚠️ Запись −10−21 является ошибкой при раскрытии двойного знака.
💡 Подсказка: Разделите разность значений членов на разность их индексов.
✅ Ответ: $d=4,\ a_1=2$
Почему метод работает: За 6 индексных шагов значение увеличилось на 24.
Альтернативный метод: Можно также составить и решить два линейных уравнения.
⚠️ Разность индексов равна 10−4=6; делить на 10 или 4 нельзя.
💡 Подсказка: Между индексами 5 и 13 восемь шагов.
✅ Ответ: $d=4,\ a_1=-23$
Почему метод работает: Формула через опорные члены быстро восстанавливает оба параметра.
⚠️ От a_5 до a_1 нужно сделать 4 шага назад.
💡 Подсказка: Используйте a_20=a_7+13d.
✅ Ответ: $a_{20}=-8$
Почему метод работает: Опорный член экономит вычисления: находить a_1 не требуется.
⚠️ Используется 20−7=13 шагов, а не 20.
💡 Подсказка: Используйте формулу для индекса.
✅ Ответ: $68=a_{10}$
Почему метод работает: Линейное уравнение показывает, сколько шагов нужно до заданного значения.
⚠️ Положительный целый индекс подтверждает принадлежность числа прогрессии.
💡 Подсказка: Найдите n и проверьте, является ли оно целым.
✅ Ответ: Нет, 50 не является членом этой прогрессии
Почему метод работает: Индексы последовательности дискретны; действительного решения для n недостаточно.
⚠️ Если n получилось дробным, округлять его до ближайшего индекса нельзя.
💡 Подсказка: Здесь d=−7, а −41=a_n.
✅ Ответ: $8$ членов
Почему метод работает: Индекс последнего члена одновременно равен числу членов конечной прогрессии.
⚠️ Остановка на n=7 означает путаницу между n и n−1.
💡 Подсказка: Общая разность d=5.
✅ Ответ: $11$ членов
Почему метод работает: Индекс последнего значения определяет длину конечной прогрессии.
⚠️ Не забудьте посчитать и первый член.
💡 Подсказка: Получится 4 равных интервала.
✅ Ответ: $5,8,11$
Почему метод работает: m вставленных членов создают m+1 равных шагов.
⚠️ При вставке 3 членов нужно делить на 4, а не на 3.
💡 Подсказка: Получится 5 равных интервалов.
✅ Ответ: $15,10,5,0$
Почему метод работает: Отрицательная равномерная разность тоже задаёт корректную арифметическую прогрессию.
⚠️ Если B<A, отрицательное d совершенно естественно.
💡 Подсказка: Средний член равен арифметическому среднему крайних.
✅ Ответ: $x=13$
Почему метод работает: Теорема о трёх членах позволяет не находить d отдельно.
Альтернативный метод: Можно разделить разность 19−7=12 на два равных шага: d=6, поэтому x=13.
⚠️ x=(19−7)/2 неверно; нужно брать среднее арифметическое крайних значений.
💡 Подсказка: Используйте правило 2·средний = первый+третий.
✅ Ответ: $x=0$
Почему метод работает: Условие среднего члена сразу даёт одно уравнение для параметра.
⚠️ После нахождения параметра полезно проверить обе соседние разности.
💡 Подсказка: Используйте свойство среднего члена.
✅ Ответ: $x=2$
Почему метод работает: Критерий 2y=x+z является необходимым и достаточным.
⚠️ Подставьте найденное x обратно и проверьте равенство разностей.
💡 Подсказка: Индексы 4 и 10 симметричны относительно 7.
✅ Ответ: $40$
Почему метод работает: Добавки ±3d взаимно сокращаются в сумме.
⚠️ Знать d для этой задачи не требуется.
💡 Подсказка: Индекс 7 является серединой между 2 и 12.
✅ Ответ: $-12$
Почему метод работает: Симметрия индексов сохраняет арифметическое среднее значений.
⚠️ Спрашивается сумма членов, а не сумма индексов.
💡 Подсказка: Индекс 6 — середина между 3 и 9.
✅ Ответ: $25$
Почему метод работает: Теорема о симметричных индексах работает без нахождения d и a_1.
⚠️ Деление 50 на 2 обосновано именно симметрией индексов.
💡 Подсказка: У двух пар одинаковая сумма индексов.
✅ Ответ: $30$
Почему метод работает: Из-за линейности формулы a_n сумма пары зависит только от суммы индексов.
⚠️ Это свойство не верно для произвольной последовательности.
💡 Подсказка: Индексы увеличиваются на 3.
✅ Ответ: $-6$
Почему метод работает: Каждый r-й член снова образует арифметическую прогрессию с разностью rd.
Альтернативный метод: То же видно из a_4−a_1=3d.
⚠️ Разность подпоследовательности не равна исходному d.
💡 Подсказка: Каждый раз индекс увеличивается на 2.
✅ Ответ: $10$
Почему метод работает: Подпоследовательность нечётных индексов состоит из каждого второго члена исходной прогрессии.
⚠️ Ответ равен 10, а не 5.
💡 Подсказка: Сначала выпишите первые разности.
✅ Ответ: Не является арифметической прогрессией
Почему метод работает: Арифметическая прогрессия характеризуется нулевой второй разностью.
⚠️ Постоянная ненулевая вторая разность характерна для квадратичной, а не арифметической закономерности.
💡 Подсказка: Посмотрите на коэффициент при n.
✅ Ответ: $a_1=3,\ d=7$
Почему метод работает: Линейная последовательность является арифметической, а её наклон равен общей разности.
⚠️ Нельзя принимать свободный член −4 за a_1.
💡 Подсказка: Сначала найдите d, затем a_1.
✅ Ответ: $a_n=5n+2$
Почему метод работает: Два индексированных члена однозначно задают линейную формулу арифметической прогрессии.
Альтернативный метод: Можно оставить эквивалентную форму $a_n=a_3+(n-3)5$.
⚠️ Проверьте найденную формулу подстановкой a_3=17.
💡 Подсказка: Это модель постоянного уменьшения с индексацией от нуля.
✅ Ответ: $11\,400$
Почему метод работает: Одинаковое абсолютное уменьшение каждый год задаёт арифметическую модель.
Альтернативный метод: При индексации «начало первого года» формула сдвинется; важно заранее определить нулевой момент.
⚠️ В прикладной задаче нужно явно зафиксировать момент начала индексации.
💡 Подсказка: Здесь a_1=18,d=2.
✅ Ответ: $66$
Почему метод работает: Каждый следующий ряд содержит на постоянные 2 места больше.
⚠️ К 25-му ряду прибавление +2 происходит 24 раза, а не 25.
💡 Подсказка: Здесь a_1=12,d=3.
✅ Ответ: $39$
Почему метод работает: Постоянное недельное увеличение на 3 задаёт арифметическую прогрессию.
⚠️ Первая неделя уже является первым членом.
💡 Подсказка: d — коэффициент при n.
✅ Ответ: Убывающая, $d=-7$
Почему метод работает: Знак коэффициента при n определяет знак d и монотонность прогрессии.
⚠️ Положительное число 100 не делает прогрессию возрастающей.
💡 Подсказка: Индекс 10 — середина между 5 и 15.
✅ Ответ: $34$
Почему метод работает: Свойство среднего индекса переносится на среднее значений.
Альтернативный метод: Можно найти d=4 и вычислить 14+5·4=34.
⚠️ Формула a_10=(14+54)/2 работает здесь именно потому, что индексы симметричны.
💡 Подсказка: Индекс 7 — середина между 4 и 10.
✅ Ответ: $23$
Почему метод работает: Линейная интерполяция в середине сводится к обычному арифметическому среднему.
Альтернативный метод: Можно найти d=(35−11)/6=4, затем a_7=11+3·4=23.
⚠️ Если индекс не является серединой, простое среднее значений применять нельзя.
💡 Подсказка: Сначала найдите d по 9 шагам, затем используйте ближайший опорный член.
✅ Ответ: $59$
Почему метод работает: Два известных члена дают d, после чего удобно экстраполировать от ближайшего опорного члена.
Альтернативный метод: Можно найти a_1=2 и использовать a_20=2+19·3.
⚠️ От 11-го до 20-го члена 9 шагов.
💡 Подсказка: Индексы 4 и 8 симметричны относительно 6.
✅ Ответ: Нет, условия эквивалентны
Почему метод работает: Тождества арифметической прогрессии могут делать внешне разные уравнения зависимыми.
⚠️ Наличие двух уравнений на вид не гарантирует две независимые части информации.
💡 Подсказка: Индексы 1 и 5 симметричны относительно 3.
✅ Ответ: $16$
Почему метод работает: Симметрия относительно среднего индекса устраняет неизвестную d.
⚠️ Данных недостаточно для отдельного нахождения a_1 или d, но требуемая сумма определяется однозначно.
💡 Подсказка: Случай d=0 нужно рассматривать отдельно.
✅ Ответ: 7 — любой член; 8 — ни один
Почему метод работает: При d=0 формулу индекса с делением на d применять нельзя.
⚠️ Не пытайтесь искать индекс делением на ноль.
❌ Считать d равным a_n−a_1
Разность d — изменение между соседними членами; в a_n−a_1 величина d накопилась n−1 раз.
✅ Используйте d=a_k−a_{k-1} или d=(a_n−a_m)/(n−m).
Если a_1=3, a_5=15, то d=(15−3)/4=3.
❌ Записывать a_n=a_1+nd
От первого члена до n-го существует n−1, а не n шагов.
✅ Используйте a_n=a_1+(n−1)d.
При a_1=5,d=2 подстановка n=1 должна снова дать 5.
❌ Не делить разность удалённых членов на разность их индексов
В равенстве a_n−a_m=(n−m)d объединены несколько одинаковых шагов.
✅ Используйте d=(a_n−a_m)/(n−m).
a_4=7,a_10=25 ⇒ d=18/6=3.
❌ Считать отрицательное d признаком ошибки
Арифметическая прогрессия может быть убывающей.
✅ Помните: d<0 означает убывающую прогрессию.
Для 20,17,14,11,… имеем d=−3.
❌ Считать случай d=0 не арифметической прогрессией
Нулевая постоянная разность также удовлетворяет определению арифметической прогрессии.
✅ Постоянная последовательность также является арифметической прогрессией.
Для 6,6,6,6,… имеем d=0.
❌ Начать индексацию с 0, но использовать формулу для a_1
Формула a_n=a_1+(n−1)d предполагает, что индексация начинается с 1.
✅ Строго придерживайтесь выбранной индексации; при a_0 формула имеет другой вид.
Если a_0=2,d=3, то a_n=2+3n.
❌ Принять дробный индекс n как допустимый
Индекс члена последовательности должен быть положительным целым числом.
✅ После нахождения n проверьте условие n∈N.
В 4,7,10,… число 20 не является членом: n=1+16/3 не целое.
❌ Не указывать начальный член в рекурсивном задании
Равенство a_n=a_{n-1}+d без a_1 задаёт не одну, а бесконечно много последовательностей.
✅ В рекурсивном задании нужны и a_1, и правило перехода.
Корректно: a_1=5, a_n=a_{n-1}+3.
❌ Принять коэффициент при n в явной формуле за a_1
В a_n=dn+(a_1−d) коэффициент при n равен d, а свободный член равен a_1−d.
✅ d считывайте как коэффициент при n, а a_1 находите подстановкой n=1.
a_n=4n−7 ⇒ d=4, a_1=−3.
❌ Заменить арифметическое среднее геометрическим
Для арифметической прогрессии средний член является арифметическим, а не геометрическим средним соседних.
✅ Используйте 2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}.
Если 7,x,15 — арифметическая прогрессия, то x=11.
❌ Проверять только порядок возрастания трёх чисел
Нужен одинаковый шаг; одного факта возрастания или убывания недостаточно.
✅ Сравните две соседние разности.
2,5,9 возрастает, но 3≠4, поэтому это не арифметическая прогрессия.
❌ Неверно считать число шагов между двумя индексами
От a_m до a_n число переходов равно n−m.
✅ Число шагов равно разности индексов n−m.
a_3=10,d=2 ⇒ a_8=10+5·2=20.
❌ При вставке k средних считать число интервалов равным k
Если между двумя концами вставить k новых чисел, получится k+1 равных интервалов.
✅ Используйте d=(B−A)/(k+1).
Между 2 и 14 вставляем 3 средних: d=12/4=3.
❌ Игнорировать сумму индексов у симметричных членов
В арифметической прогрессии пары, равноудалённые от одного центра, имеют одинаковую сумму индексов.
✅ Если p+q=r+s, то a_p+a_q=a_r+a_s.
a_3+a_9=a_5+a_7.
❌ Путать формулу a_n с формулой суммы S_n
a_n обозначает один член, а S_n — сумму первых n членов.
✅ Различайте обозначения: в этой теме основная величина — отдельный член a_n.
a_10≠S_10.
❌ Моделировать одинаковый процентный рост арифметической прогрессией
Постоянный процент означает мультипликативное изменение и обычно задаёт геометрическую прогрессию.
✅ Арифметическая прогрессия применяется только при постоянном абсолютном изменении.
Каждый месяц +50 тысяч → арифметическая прогрессия; каждый месяц +5% → геометрическая.
❌ Считать график последовательности непрерывной прямой
Область определения последовательности дискретна: n=1,2,3,…
✅ Даже если точки лежат на одной прямой, последовательность остаётся дискретной функцией.
Точки графика последовательности: (1,a_1),(2,a_2),…
❌ Думать, что d можно найти только как a_2−a_1
Любая разность двух членов даёт d после деления на разность индексов.
✅ Используйте d=a_{k+1}−a_k или d=(a_n−a_m)/(n−m).
a_7=31,a_12=51 ⇒ d=4.
❌ В параметрической задаче пытаться отдельно находить все члены
Условие среднего члена или равенство соседних разностей часто сразу даёт одно линейное уравнение.
✅ Используйте 2b=a+c или приравнивайте соседние разности.
Если x+1,2x−3,4x−11 образуют арифметическую прогрессию, то 2(2x−3)=(x+1)+(4x−11).
❌ Проверять формулу только по одному члену
Неверная формула может случайно совпасть с одним членом.
✅ Проверяйте a_1 и хотя бы ещё один член или непосредственно общую разность.
Если a_n=3n+2, то a_1=5 и d=3.
Любая последовательность с заметной закономерностью является арифметической прогрессией.
Арифметической является только последовательность с постоянной разностью соседних членов.
Арифметическая прогрессия может только возрастать.
При d<0 прогрессия убывает, при d=0 остаётся постоянной.
Формула n-го члена имеет вид a_n=a_1+nd.
Правильная формула: a_n=a_1+(n−1)d; от первого члена до n-го есть n−1 шагов.
Рекурсивная и явная формулы задают разные последовательности.
При согласованных параметрах это два эквивалентных способа задания одной последовательности.
Если значение получается из формулы, оно автоматически является членом прогрессии.
Полученный индекс должен быть положительным целым числом.
График арифметической прогрессии — обычная непрерывная линейная функция.
Точки лежат на одной прямой, но область определения состоит из дискретных индексов.
Если между двумя числами вставить k средних, то d=(B−A)/k.
При вставке k новых средних образуется k+1 равных шагов.
Для трёх последовательных членов средний член связан с произведением крайних.
В арифметической прогрессии средний член равен арифметическому среднему соседних: 2b=a+c.
Одинаковый процент роста на каждом шаге задаёт арифметическую прогрессию.
Одинаковый процент означает постоянное отношение, то есть модель геометрической прогрессии.
Арифметическая прогрессия и сумма её членов — одна тема и одна формула.
a_n обозначает отдельный член, S_n — сумму; сумма изучается в следующей отдельной теме.
Если ежемесячный взнос в накопления каждый раз увеличивается на одну и ту же абсолютную сумму, последовательность взносов является арифметической прогрессией.
Если ежедневный план производства, например, увеличивают на 5 единиц в день, получается последовательность с постоянной разностью.
Если в каждом следующем ряду на одинаковое число мест больше, количество мест по рядам образует арифметическую прогрессию.
Если стоимость в каждый период уменьшается на одну и ту же абсолютную сумму, дискретные значения образуют убывающую арифметическую прогрессию.
Если число ежедневных задач увеличивается каждый день на одну и ту же величину, учебная нагрузка моделируется арифметической прогрессией.
Если длины параллельных сечений или регулярно расположенных элементов меняются с постоянным шагом, применяются свойства арифметической прогрессии.
Значения, линейно зависящие от индекса цикла for, образуют арифметическую прогрессию вида «начало + шаг·(n−1)».
Дискретные наблюдения с постоянным абсолютным изменением через равные интервалы времени можно проверять как арифметическую модель линейного тренда.
Постоянная разность объединяет всю тему: шаг между членами, явную формулу и дискретный наклон графика — это одна и та же величина d.
Краткая памятка: в арифметической прогрессии $d=a_n-a_{n-1}=const$. Общий член: $a_n=a_1+(n-1)d$. Через любой известный член: $a_n=a_m+(n-m)d$. Если известны два члена, $d=(a_n-a_m)/(n-m)$. Индекс: $n=1+(a_n-a_1)/d$, $d\ne0$; $n$ должен быть положительным целым числом. Для трёх последовательных членов $2a_k=a_{k-1}+a_{k+1}$. Для симметричных членов $a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k$. При $d>0$ прогрессия возрастает, при $d<0$ убывает, при $d=0$ постоянна.
В следующей теме «Сумма арифметической прогрессии» формула общего члена будет использована для вывода суммы первых n членов $S_n$, метода попарного сложения, среднего члена и прикладных задач на накопление.
Сначала нужно знать: Линейные уравнения, Текстовые задачи, решаемые с помощью уравнений и систем уравнений
Связанные темы: Степень и её свойства, степенные выражения, Функция
Следующие темы: Сумма арифметической прогрессии, Геометрическая прогрессия, Текстовые задачи