Функция — один из центральных языков современной математики: она описывает, как одна величина изменяется в зависимости от другой. Алгебраические формулы, графики, физические модели, экономические зависимости, статистика, а также последующие темы о показательных, логарифмических и тригонометрических функциях опираются на это понятие.
Отношение, которое каждому элементу области определения сопоставляет ровно одно выходное значение.
Для каждого входа должен существовать только один выход.
Пример: $f(x)=2x+1$.
Не является примером: {(1,2),(1,3)} не является функцией.
💡 Разные входы могут иметь одинаковый выход.
Множество упорядоченных пар, связывающих элементы двух множеств.
Не каждое отношение является функцией.
Пример: {(1,2),(2,2)}.
Не является примером: Если один вход связан с двумя выходами, отношение не является функцией.
💡 Функция — специальный вид отношения.
Множество всех допустимых входных значений функции.
Показывает, какие значения x разрешено подставлять.
Пример: Для $f(x)=1/(x-2)$ требуется $x\ne2$.
Не является примером: Включать значение, при котором знаменатель равен нулю.
💡 Контекст может сузить алгебраическую область определения.
Множество всех выходных значений, которые функция действительно принимает.
Показывает, какие значения y могут получиться.
Пример: Для $f(x)=x^2$ выполняется $y\ge0$.
Не является примером: Считать, что область значений всегда совпадает с кодоменом.
💡 На графике соответствует вертикальному охвату функции.
Переменная, играющая роль входа функции.
Её значение выбирают или задают.
Пример: $x$ в записи $y=f(x)$.
Не является примером: Считать выход независимой переменной.
💡 Обычно откладывается по горизонтальной оси.
Выходная переменная, значение которой определяется входом.
При изменении $x$ меняется и $y=f(x)$.
Пример: $y$ в формуле $y=3x-2$.
Не является примером: Задавать два разных y для одного и того же x.
💡 Обычно откладывается по вертикальной оси.
$f(x)$ обозначает значение функции f при входном значении x.
Это не произведение f и x.
Пример: $f(3)$ означает значение функции при входе 3.
Не является примером: Читать $f(x)$ как произведение f на x.
💡 Аргумент записывается в скобках.
Пара $(x,y)$, в которой первая координата — вход, вторая — выход.
Порядок координат имеет значение.
Пример: $(2,5)$ означает $f(2)=5$.
Не является примером: Пары (2,5) и (5,2) не являются одной и той же точкой.
💡 Непосредственно соответствует точке графика.
Изображение на координатной плоскости множества всех точек $(x,f(x))$ функции.
Визуальное представление связи между входом и выходом.
Пример: Парабола $y=x^2$.
Не является примером: Не любая линия на координатной плоскости является графиком функции y от x.
💡 Для проверки функции применяется тест вертикальной прямой.
Значение c из области определения, для которого $f(c)=0$.
Это x-координата точки, где график пересекает или касается оси x.
Пример: У функции $f(x)=x-4$ ноль равен 4.
Не является примером: Называть пересечение с осью y нулём функции.
💡 Соответствующая точка пересечения с осью x имеет координаты $(c,0)$.
Точка графика, лежащая на оси x.
В такой точке y=0.
Пример: $(4,0)$.
Не является примером: Называть любую точку при x=0 пересечением с осью x.
💡 Связано с нулями функции.
Точка графика, лежащая на оси y.
В такой точке x=0.
Пример: Если $f(0)=b$, то точка пересечения — $(0,b)$.
Не является примером: Утверждать, что пересечение с осью y существует, когда 0 не входит в область определения.
💡 У функции может быть не более одного такого пересечения.
Функция, заданная разными формулами на разных частях области определения.
Используется та формула, условию которой удовлетворяет вход.
Пример: $|x|=x$ при $x\ge0$ и $-x$ при $x<0$.
Не является примером: Задавать для одного и того же x одновременно две противоречащие друг другу ветви.
💡 Особенно важно правильно учитывать граничные условия интервалов.
Функция, для которой на рассматриваемом интервале из $x_1<x_2$ следует $f(x_1)<f(x_2)$.
При движении слева направо значения функции растут.
Пример: $f(x)=x^3$ возрастает на всей числовой прямой.
Не является примером: Положительные значения функции сами по себе не означают возрастание.
💡 Следует различать строгое возрастание и неубывание.
Функция, для которой на рассматриваемом интервале из $x_1<x_2$ следует $f(x_1)>f(x_2)$.
При движении слева направо значения функции уменьшаются.
Пример: $f(x)=-x$ убывает на всей числовой прямой.
Не является примером: Отрицательные значения функции не означают автоматическое убывание.
💡 Свойство всегда указывается на конкретном интервале.
Функция с симметричной областью определения, для которой $f(-x)=f(x)$.
Её график симметричен относительно оси y.
Пример: $f(x)=x^2$.
Не является примером: $f(x)=x^3$ не является чётной.
💡 Область определения должна быть симметрична относительно нуля.
Функция с симметричной областью определения, для которой $f(-x)=-f(x)$.
Её график имеет центральную симметрию относительно начала координат.
Пример: $f(x)=x^3$.
Не является примером: $f(x)=x^2$ не является нечётной.
💡 Если 0 входит в область определения нечётной функции, то $f(0)=0$.
Операция, при которой выход одной функции используется как вход другой функции.
Сначала вычисляется внутренняя функция.
Пример: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$.
Не является примером: Автоматически считать произведение $fg$ композицией.
💡 Область определения ограничивается условиями обоих этапов.
Функция, для которой из $f(x_1)=f(x_2)$ следует $x_1=x_2$.
Разным входам соответствуют разные выходы.
Пример: $f(x)=2x+1$.
Не является примером: $f(x)=x^2$ на всей числовой прямой не является взаимно однозначной.
💡 На графике проверяется тестом горизонтальной прямой.
Функция $f^{-1}$ меняет местами роли входа и выхода исходной функции и при композиции восстанавливает исходное значение.
По выходу восстанавливает соответствующий вход.
Пример: Если $f(x)=2x+3$, то $f^{-1}(x)=(x-3)/2$.
Не является примером: Не путайте $f^{-1}(x)$ с $1/f(x)$.
💡 Исходная функция должна быть взаимно однозначной либо её область определения нужно ограничить.
Каждое допустимое входное значение преобразуется ровно в одно выходное значение.
$x\mapsto f(x)$
Один и тот же вход не может давать два разных выхода.
Одну функцию можно задавать формулой, таблицей, упорядоченными парами, диаграммой соответствий и графиком.
$f: x↦y$
Смена способа представления не меняет саму функцию.
Если любая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке, график задаёт функцию y от x.
$x=c$
Для каждого x допускается не более одного y.
Знаменатель не равен нулю; подкоренное выражение чётного корня неотрицательно; аргумент логарифма положителен и т. п.
$D_f$
Нужно пересечь все ограничения одновременно.
В прикладной модели физический или смысловой контекст может сузить алгебраическую область определения.
$D_{\text{контекст}}\subseteq D_{\text{алгебра}}$
Учитываются ограничения времени, длины, количества и других реальных величин.
Вертикальный охват графика показывает все значения, которые принимает функция.
$R_f$
Просматривайте график снизу вверх по оси y.
Чтобы найти f(a), в формуле функции каждое x заменяют на a.
$f(a)$
Скобки помогают сохранить структуру выражения.
Нули часто служат критическими точками для анализа знака функции и границ интервалов.
$f(x)=0$
Действительные нули соответствуют пересечениям или касаниям оси x.
Возрастание, убывание и постоянство описываются по интервалам оси x.
$\text{возрастает на }(a,b)$
Указываются интервалы x, а не диапазон значений y.
Локальный экстремум сравнивается с соседними точками, абсолютный — со всей областью определения.
$f(c)=M$
Концевая точка области также может быть абсолютным экстремумом.
Равна изменению выходного значения, делённому на изменение входного значения.
$\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Это наклон секущей между двумя точками графика.
Для каждого входа используется только та ветвь, условию которой он удовлетворяет.
$\text{кусочно}$
Открытые и закрытые границы интервалов имеют значение.
Модуль задаётся двумя линейными правилами в зависимости от знака x.
$|x|=x\text{ если }x\ge0;\quad |x|=-x\text{ если }x<0$
График имеет V-образную форму.
Добавление k к выходу сдвигает каждую точку графика на k единиц по вертикали.
$g(x)=f(x)+k$
При k>0 график сдвигается вверх, при k<0 — вниз.
Функция $f(x-h)$ сдвигает график f на h единиц вправо при h>0.
$g(x)=f(x-h)$
Знак внутри аргумента визуально действует противоположно ожидаемому.
$-f(x)$ отражает график относительно оси x, а $f(-x)$ — относительно оси y.
$-f(x), f(-x)$
Знак снаружи меняет выходы, знак внутри — входы.
В функции $af(x)$ все значения y умножаются на a.
$g=af$
При |a|>1 — растяжение; при 0<|a|<1 — сжатие; при a<0 дополнительно происходит отражение.
Сумма, разность и произведение определены на пересечении областей; для частного дополнительно требуется $g(x)\ne0$.
$f\pm g,fg,f/g$
При каждой операции нужно отслеживать область определения.
В $(f\circ g)(x)$ сначала вычисляется g(x), затем к результату применяется f.
$f(g(x))$
Обычно $f\circ g\ne g\circ f$.
Значение x должно принадлежать области g, а значение g(x) — области f.
$D_{f\circ g}=\{x\in D_g:g(x)\in D_f\}$
Нужно проверить и вход внутренней функции, и её выход для внешней функции.
Чтобы обратное соответствие было функцией, разные входы исходной функции не должны давать один и тот же выход.
$f^{-1}$
На графике используется тест горизонтальной прямой.
Графики f и $f^{-1}$ симметричны относительно прямой y=x.
$(a,b)↔(b,a)$
Область определения и область значений меняются местами.
Функцию $x^2$ можно сделать взаимно однозначной, ограничив область, например условием x≥0.
$x^2, x\ge0$
После ограничения обратной становится функция $\sqrt{x}$.
Недостаточно получить формулу: область определения, единицы и предсказываемое поведение должны соответствовать реальной ситуации.
$y=f(x)$
Вход и выход должны иметь смысл в реальном контексте.
Выходное значение зависит от входа x.
Условие: x принадлежит области определения
Один и тот же вход не может иметь два разных выхода.
Условие: Речь идёт об одной и той же функции и одном входе
Частные случаи: Обратное утверждение характеризует взаимную однозначность, а не обычную функцию.
Значение входа, соответствующее пересечению с осью x.
Условие: c принадлежит области определения
Частные случаи: Точка графика имеет вид (c,0).
Значение графика при x=0.
Условие: 0 принадлежит области определения
Частные случаи: Точка имеет вид (0,f(0)).
Наклон секущей между двумя точками графика.
Условие: a и b принадлежат области определения; a≠b
Частные случаи: Для линейной функции это значение постоянно.
Средняя скорость изменения на шаге h.
Условие: h≠0; оба входа принадлежат области определения
Частные случаи: Предшественник определения производной.
Симметрия относительно оси y.
Условие: Область определения симметрична относительно нуля
Центральная симметрия относительно начала координат.
Условие: Область определения симметрична относительно нуля
Частные случаи: Если 0 входит в область определения, то f(0)=0.
Разные правила действуют на разных частях области определения.
Условие: В каждой допустимой точке должен определяться один выход
Частные случаи: Перекрывающиеся граничные условия не должны противоречить друг другу.
Модуль задаётся двумя линейными правилами.
Условие: x — действительное число
Сдвигает график вверх или вниз.
Частные случаи: При k>0 график сдвигается вверх.
Сдвигает график вправо или влево.
Частные случаи: При h>0 график сдвигается вправо.
Меняет знаки всех выходных значений.
Меняет знаки входных значений внутри аргумента.
Умножает все значения y на коэффициент a.
Условие: a≠0
Частные случаи: При a<0 дополнительно происходит отражение относительно оси x.
Объединяет сдвиги, отражения и масштабирование.
Условие: a,b≠0
Частные случаи: Горизонтальный коэффициент масштаба равен 1/|b|.
Поточечная сумма двух функций.
Условие: x принадлежит пересечению D_f∩D_g
Поточечная разность двух функций.
Условие: x принадлежит пересечению D_f∩D_g
Поточечное произведение двух функций.
Условие: x принадлежит пересечению D_f∩D_g
Поточечное частное двух функций.
Условие: x принадлежит D_f∩D_g и g(x)≠0
Частные случаи: Нули функции g исключаются из области определения.
Сначала применяется g, затем f.
Условие: x принадлежит D_g и g(x) принадлежит D_f
Частные случаи: Порядок композиции имеет значение.
Учитывает ограничения внутренней и внешней функций.
Критерий инъективности функции.
Обратная функция отменяет действие исходной.
Условие: Корректные области определения и значений
Наборы входов и выходов меняются местами.
Условие: f взаимно однозначна
Решаем y=ax+b относительно x и меняем обозначения переменных.
Условие: a≠0
Ограничение x≥0 делает x² взаимно однозначной.
Условие: Область исходной функции: x≥0
Частные случаи: Область и значения обратной также удовлетворяют x≥0.
Линейная функция, проходящая через начало координат.
Частные случаи: При x≠0 коэффициент k=y/x.
График на плоскости задаёт y как функцию x тогда и только тогда, когда каждая вертикальная прямая пересекает график не более чем в одной точке.
Если на одной вертикали находятся две точки графика, один и тот же вход имеет два выхода.
Дано: Дан график отношения.
Требуется доказать: Показать эквивалентность теста вертикальной прямой определению функции.
Тест вертикальной прямой эквивалентен определению функции. ∎
$(f\circ g)(x)=f(g(x))$ определена тогда и только тогда, когда x принадлежит области g и g(x) принадлежит области f.
Внутренняя функция должна сработать, а её результат должен быть допустим для внешней функции.
Дано: Даны функции f и g.
Требуется доказать: Доказать формулу области определения композиции.
Теорема об области определения композиции доказана. ∎
Обратное отношение функции снова является функцией тогда и только тогда, когда исходная функция взаимно однозначна.
Если к одному выходу исходной функции приходят два входа, то после обращения один вход получит два выхода.
Дано: Дана функция f и её обратное отношение.
Требуется доказать: Показать, что обратное отношение является функцией тогда и только тогда, когда f взаимно однозначна.
Обратная функция существует тогда и только тогда, когда исходная функция взаимно однозначна. ∎
Для взаимно однозначной функции f область определения обратной функции равна области значений f, а область значений обратной функции равна области определения f.
Обратная функция меняет местами роли входа и выхода.
Дано: f взаимно однозначна и имеет обратную функцию.
Требуется доказать: Показать, что при обращении область определения и область значений меняются местами.
Область определения и область значений обратной функции меняются местами. ∎
Для функции с симметричной областью определения: f чётная тогда и только тогда, когда её график симметричен относительно оси y; f нечётная тогда и только тогда, когда график симметричен относительно начала координат.
Замена x на -x кодирует соответствующее отражение графика.
Дано: Область определения f симметрична относительно нуля.
Требуется доказать: Показать эквивалентность алгебраических признаков чётности и нечётности соответствующей симметрии графика.
Эквивалентность чётности/нечётности и симметрии графика доказана. ∎
💡 Подсказка: Проверьте каждую первую координату.
✅ Ответ: Да, это функция
Почему метод работает: Непосредственно применяется определение функции.
⚠️ Разные входы могут иметь одинаковый выход 5.
💡 Подсказка: Обратите внимание на вход 1.
✅ Ответ: Нет, это не функция
Почему метод работает: Проверяется условие единственности выхода.
⚠️ Проблема не в повторении выходов, а в наличии двух выходов у одного входа.
💡 Подсказка: Подставьте x=4 вместо каждого x.
✅ Ответ: $21$
Почему метод работает: Значение функции находится подстановкой входа в формулу.
⚠️ Сохраняйте скобки при подстановке.
💡 Подсказка: Сначала отдельно запишите два значения функции.
✅ Ответ: $2ah+h^2$
Почему метод работает: Используется символическая подстановка в функцию.
⚠️ Не забывайте, что $(a+h)^2$ не равно $a^2+h^2$.
💡 Подсказка: Знаменатель не должен равняться нулю.
✅ Ответ: $(-\infty,5)\cup(5,\infty)$
Почему метод работает: Для рациональной функции исключаются нули знаменателя.
⚠️ Не включайте x=5 в область определения.
💡 Подсказка: Подкоренное выражение должно быть ≥0.
✅ Ответ: $[3,\infty)$
Почему метод работает: Для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
⚠️ Не требуйте строго >0: нулевое подкоренное выражение допустимо.
💡 Подсказка: Пересеките оба ограничения.
✅ Ответ: $[-2,1)\cup(1,\infty)$
Почему метод работает: Все алгебраические ограничения должны выполняться одновременно.
⚠️ Недостаточно учитывать только ограничение от корня.
💡 Подсказка: Используйте $x^2\ge0$.
✅ Ответ: $[3,\infty)$
Почему метод работает: Минимум получается из неотрицательности квадрата.
⚠️ Не путайте область определения и область значений.
💡 Подсказка: Главный квадратный корень неотрицателен.
✅ Ответ: $[0,\infty)$
Почему метод работает: Используется диапазон главного квадратного корня.
⚠️ [2,∞) — это область определения, а не область значений.
💡 Подсказка: Положите $f(x)=0$.
✅ Ответ: $2,3$
Почему метод работает: Нули функции находятся из уравнения f(x)=0.
⚠️ Точки пересечения с осью x имеют координаты (2,0) и (3,0).
💡 Подсказка: Подставьте $x=0$.
✅ Ответ: $(0,2)$
Почему метод работает: Пересечение с осью y определяется значением f(0).
⚠️ Не путайте его с пересечением с осью x.
💡 Подсказка: Используйте тест вертикальной прямой.
✅ Ответ: Нет
Почему метод работает: График не проходит тест вертикальной прямой.
⚠️ Верхняя полуокружность отдельно может задавать функцию.
💡 Подсказка: Вершина имеет x=2.
✅ Ответ: Возрастает $(-\infty,2)$; убывает $(2,\infty)$
Почему метод работает: Используется поведение параболы относительно вершины.
⚠️ Интервалы возрастания и убывания записывайте по значениям x.
💡 Подсказка: Квадрат неотрицателен.
✅ Ответ: Минимальное значение $-4$ достигается при x=-1
Почему метод работает: Минимум квадратичной функции находится в вершине.
⚠️ x=-1 — место минимума, а -4 — минимальное значение функции.
💡 Подсказка: Используйте формулу наклона секущей.
✅ Ответ: $5$
Почему метод работает: Получаем среднее изменение выхода на единицу изменения входа.
⚠️ Не делите $(16-1)$ только на 4.
💡 Подсказка: Определите, к какой ветви относится граничное значение.
✅ Ответ: $3$
Почему метод работает: Правило выбирается по условию соответствующей ветви кусочной функции.
⚠️ Не используйте ветвь x<1 для граничной точки x=1.
💡 Подсказка: Разберите знак выражения внутри модуля.
✅ Ответ: $x-3$ при $x\ge3$; $3-x$ при $x<3$
Почему метод работает: Используется определение модуля.
⚠️ Граничное значение x=3 достаточно включить только в одну ветвь.
💡 Подсказка: Число +4 находится снаружи функции.
✅ Ответ: Сдвинуть на 4 единицы вверх
Почему метод работает: Это вертикальный сдвиг функции.
⚠️ Не сдвигайте график вправо на 4.
💡 Подсказка: Внутри аргумента стоит x-5.
✅ Ответ: Сдвинуть на 5 единиц вправо
Почему метод работает: Для горизонтального сдвига знак внутри аргумента действует противоположно внешнему ожиданию.
⚠️ Не считайте, что график сдвигается на 5 единиц влево.
💡 Подсказка: Меняется знак выходного значения.
✅ Ответ: Отразить относительно оси x
Почему метод работает: Преобразование -f(x) меняет знак всех выходов.
⚠️ Не путайте это с преобразованием f(-x).
💡 Подсказка: Используйте общий вид $a f(x-h)+k$.
✅ Ответ: Вправо на 3, отражение относительно оси x, вертикальное растяжение ×2, вверх на 1
Почему метод работает: Параметры общей формулы преобразований читаются по отдельности.
⚠️ Не путайте внутренние и внешние параметры преобразования.
💡 Подсказка: Возьмите пересечение областей определения.
✅ Ответ: $\sqrt{x}+1/(x-4)$, область $[0,4)\cup(4,\infty)$
Почему метод работает: При операции над функциями используются только входы, допустимые для обеих функций.
⚠️ Формула суммы не делает область определения автоматически всей числовой прямой.
💡 Подсказка: В частном дополнительно требуется g(x)≠0.
✅ Ответ: $(x+1)/(x-2)$, $x\ne2$
Почему метод работает: Знаменатель частного функций не может быть равен нулю.
⚠️ Хотя f и g по отдельности определены для всех действительных x, их частное не определено при x=2.
💡 Подсказка: Сначала найдите g(3).
✅ Ответ: $19$
Почему метод работает: В композиции сначала вычисляется внутренняя функция, затем внешняя.
⚠️ Не перемножайте f(3) и g(3).
💡 Подсказка: Подставьте g(x) вместо входа функции f.
✅ Ответ: $2x^2-7$
Почему метод работает: Это прямая подстановка внутренней функции во внешнюю.
⚠️ $g(f(x))$ — другая композиция.
💡 Подсказка: Проверьте область внутренней функции и запрещённый вход внешней.
✅ Ответ: $[1,10)\cup(10,\infty)$
Почему метод работает: Область композиции проходит два последовательных фильтра допустимости.
⚠️ Недостаточно учитывать только условие x≥1.
💡 Подсказка: Вычислите обе композиции отдельно.
✅ Ответ: $f\circ g=2x+1$, $g\circ f=2x+2$
Почему метод работает: Композиция функций в общем случае некоммутативна.
⚠️ Не меняйте порядок функций без проверки.
💡 Подсказка: Начните с равенства $f(a)=f(b)$.
✅ Ответ: Да, взаимно однозначна
Почему метод работает: Используется алгебраический критерий инъективности.
⚠️ Линейная функция с ненулевым наклоном взаимно однозначна.
💡 Подсказка: Сравните f(1) и f(-1).
✅ Ответ: Нет
Почему метод работает: Для опровержения взаимной однозначности достаточно одного контрпримера.
⚠️ Быть функцией и быть взаимно однозначной функцией — разные свойства.
💡 Подсказка: Решите y=x² относительно x на неотрицательной ветви.
✅ Ответ: $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$, $x\ge0$
Почему метод работает: Ограничение области устраняет неоднозначность ±.
⚠️ Обратная функция не равна ±sqrt(x): функция должна давать один выход.
💡 Подсказка: Решите y=5x-2 относительно x.
✅ Ответ: $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}$
Почему метод работает: Решаем уравнение относительно входа и меняем роли переменных.
⚠️ $1/(5x-2)$ не является обратной функцией.
💡 Подсказка: Проверьте оба тождества композиции.
✅ Ответ: $g=f^{-1}$
Почему метод работает: Два композиционных тождества подтверждают взаимную обратимость функций.
⚠️ Проверка только одного случайного значения не является общим доказательством.
💡 Подсказка: Решите y=1/(x-2) относительно x.
✅ Ответ: $f^{-1}(x)=2+1/x$; область $x\ne0$; значения $y\ne2$
Почему метод работает: При переходе к обратной функции область определения и область значений меняются местами.
⚠️ После получения формулы отдельно укажите её область определения.
💡 Подсказка: Вычислите f(-x).
✅ Ответ: Чётная
Почему метод работает: Применяется критерий чётной функции.
⚠️ Наличие только чётных степеней даёт быстрый признак для такого многочлена, но универсальной проверкой остаётся f(-x).
💡 Подсказка: Вычислите f(-x).
✅ Ответ: Нечётная
Почему метод работает: Применяется критерий нечётной функции.
⚠️ Многочлен только из нечётных степеней имеет симметрию относительно начала координат.
💡 Подсказка: Сравните f(-x) с f(x) и -f(x).
✅ Ответ: Ни чётная, ни нечётная
Почему метод работает: Используются определения чётности и нечётности.
⚠️ Функция не обязана быть либо чётной, либо нечётной.
💡 Подсказка: Используйте $y=kx$.
✅ Ответ: $f(x)=\frac52x$
Почему метод работает: Коэффициент прямой пропорциональности определяется по одной ненулевой паре значений.
⚠️ Не добавляйте свободный член: график прямой пропорциональности проходит через начало координат.
💡 Подсказка: Сложите фиксированную и переменную части стоимости.
✅ Ответ: $C(x)=10000+2500x$
Почему метод работает: Реальная ситуация переводится в линейную функциональную модель.
⚠️ Явно укажите: x — расстояние в км, C — стоимость в сумах.
💡 Подсказка: Расстояние не может быть отрицательным.
✅ Ответ: Контекстная область $[0,\infty)$
Почему метод работает: Контекст может сужать алгебраическую область определения.
⚠️ То, что формула определена для всех действительных x, не означает, что реальная модель допускает все такие x.
💡 Подсказка: Проверьте постоянство разностей выходов.
✅ Ответ: Скорость $3$, $f(x)=3x+2$
Почему метод работает: Постоянная первая разность указывает на линейную функцию.
⚠️ Не путайте входные значения x с выходами таблицы.
💡 Подсказка: 15000 попадает во вторую ветвь.
✅ Ответ: $2000$
Почему метод работает: Используется нужная ветвь кусочной прикладной модели.
⚠️ Во второй ветви коэффициент 20% применяется только к части сверх 10000.
💡 Подсказка: Внутри x+3, снаружи множитель 2 и -1.
✅ Ответ: Влево на 3, вертикальное растяжение ×2, вниз на 1; область $[-3,\infty)$
Почему метод работает: Преобразования сохраняют структуру родительской функции и соответствующим образом меняют область.
⚠️ Не интерпретируйте x+3 как сдвиг вправо на 3.
💡 Подсказка: Приравняйте выходы: f(x)=g(x).
✅ Ответ: $(-1,1)$ и $(3,9)$
Почему метод работает: В точке пересечения обе функции имеют одинаковый выход.
⚠️ Если задача просит точки пересечения, недостаточно указать только значения x.
💡 Подсказка: Дробь с ненулевым числителем не может быть равна нулю.
✅ Ответ: $(-\infty,3)\cup(3,\infty)$
Почему метод работает: Сдвинутая обратная пропорциональность не принимает значение своей горизонтальной асимптоты.
⚠️ Не путайте ограничение области x≠2 с ограничением значений y≠3.
💡 Подсказка: Найдите начальное значение и предел показательного слагаемого.
✅ Ответ: Начальное значение $80^\circ$, предел $25^\circ$, область $[0,\infty)$
Почему метод работает: Ключевые свойства функции имеют прямой смысл в контексте модели.
⚠️ То, что формула алгебраически существует и при отрицательном t, не делает такие значения допустимыми в данной модели.
❌ Читать $f(x)$ как $f\cdot x$.
Функциональная запись не означает умножение.
✅ Читайте $f(x)$ как «значение функции f при x».
$f(3)$ — вход 3.
❌ Считать отношение функцией, даже если одному входу соответствуют два выхода.
Нарушается определение функции: одному входу соответствуют два выхода.
✅ Для каждого входа проверяйте наличие ровно одного выхода.
(1,2),(1,4) не задаёт функцию.
❌ Считать повторяющийся выход признаком того, что это не функция.
Разные входы могут иметь один и тот же выход.
✅ Проверяйте уникальность выхода для каждого входа, а не уникальность самих выходов.
(1,5),(2,5) задаёт функцию.
❌ Менять местами область определения и область значений.
Область определения относится к входам, область значений — к выходам.
✅ Горизонтальный охват графика даёт область определения, вертикальный — область значений.
Для $x^2$: область определения — все действительные, область значений — [0,∞).
❌ Оставлять точку, где знаменатель равен нулю, в области рациональной функции.
Деление на ноль не определено.
✅ Исключайте нули знаменателя из области определения.
Для $1/(x-2)$ требуется x≠2.
❌ Требовать строго положительное подкоренное выражение для чётного корня.
Квадратный корень из нуля определён.
✅ Для чётного корня требуйте, чтобы подкоренное выражение было ≥0.
В $\sqrt{x-3}$ значение x=3 допустимо.
❌ Решать f(x)=0 для нахождения пересечения с осью y.
Уравнение f(x)=0 находит нули и пересечения с осью x.
✅ Для пересечения с осью y подставляйте x=0.
Пересечение с осью y имеет вид $(0,f(0))$.
❌ Описывать интервал возрастания диапазоном значений y.
Возрастание и убывание описывают изменение функции при движении по входным значениям.
✅ Записывайте соответствующий интервал по оси x.
Интервал возрастания записывают по x, например (-∞,2), а не как y<5.
❌ В знаменателе средней скорости изменения брать только b или только a.
Изменение входа равно b-a, а не одному из концов интервала.
✅ Используйте $[f(b)-f(a)]/(b-a)$.
Для $f(x)=x^2$ на [1,4] средняя скорость изменения равна 5.
❌ Выбирать неправильную ветвь кусочной функции на границе.
Знаки <, ≤, > и ≥ определяют включение граничной точки.
✅ Точно проверяйте условие каждой ветви.
Если ветвь задана при x≥1, то при x=1 используется именно она.
❌ Считать, что $f(x-h)$ сдвигает график влево на h.
У горизонтального сдвига знак внутри аргумента визуально действует наоборот.
✅ $f(x-h)$ означает сдвиг вправо на h.
График $|x-5|$ сдвинут вправо на 5.
❌ Путать $-f(x)$ и $f(-x)$.
В первом случае меняется знак выхода, во втором — входа.
✅ $-f(x)$ отражает относительно оси x; $f(-x)$ — относительно оси y.
$-\sqrt{x}$ и $\sqrt{-x}$ — разные преобразования.
❌ Автоматически считать область суммы или произведения функций всей числовой прямой.
Каждый операнд имеет собственную область определения.
✅ Берите пересечение областей определения всех частей.
Для $\sqrt{x}+1/(x-4)$ нужно учесть оба ограничения.
❌ Забывать условие g(x)≠0 в частном функций.
Деление на ноль невозможно.
✅ Используйте общую область f и g и дополнительно исключайте нули знаменателя g(x).
$(f/g)(2)$ не определено, если g(2)=0.
❌ Менять порядок функций в композиции.
Порядок композиции обычно меняет результат.
✅ Сначала вычисляйте функцию, стоящую внутри скобок.
Если f(x)=x+1, g(x)=2x, то f(g(x))=2x+1, а g(f(x))=2x+2.
❌ При поиске области композиции проверять только область внутренней функции.
Результат внутренней функции может оказаться недопустимым для внешней.
✅ Проверяйте одновременно $x\in D_g$ и $g(x)\in D_f$.
В композиции с $1/(\sqrt{x-1}-3)$ значение x=10 исключается из-за нулевого знаменателя.
❌ Считать $f^{-1}(x)$ равным $1/f(x)$.
Обратная функция — не обратное число к значению функции.
✅ Запишите y=f(x), решите уравнение относительно x и затем поменяйте обозначения входа и выхода.
Для $f(x)=5x-2$ обратная функция равна $(x+2)/5$.
❌ Записывать обратную функцию для функции, которая не является взаимно однозначной.
Обратное отношение не проходит тест вертикальной прямой.
✅ Ограничьте область определения или укажите, что обратной функции нет.
$x^2$ на всей числовой прямой не имеет обратной функции.
❌ Оставлять область определения и область значений обратной функции такими же, как у исходной.
При обращении роли входа и выхода меняются местами.
✅ Используйте $D_{f^{-1}}=R_f$ и $R_{f^{-1}}=D_f$.
Если f(x)=1/(x-2), то область определения обратной функции исключает 0, потому что 0 не входит в область значений f.
❌ В реальной модели принимать всю алгебраическую область без учёта смысла переменных.
Отрицательное время или длина могут быть допустимы алгебраически, но не имеют смысла в модели.
✅ Пересекайте алгебраическую область с контекстными ограничениями.
Для модели стоимости такси расстояние обычно удовлетворяет x≥0.
Любое уравнение автоматически задаёт y как функцию x.
Например, окружность может давать два значения y для одного x; поэтому нужен тест вертикальной прямой.
Чтобы отношение было функцией, все выходные значения должны быть различными.
Это условие взаимной однозначности; в обычной функции разные входы могут иметь один и тот же выход.
Область определения функции всегда состоит из всех действительных чисел.
Знаменатели, корни, логарифмы и реальный контекст могут существенно ограничивать допустимые входы.
Область значений можно всегда находить так же механически, как область определения.
Для области значений нужно анализировать выходное поведение: график, экстремумы, обратное рассуждение или другие свойства функции.
Если график находится выше оси x, функция возрастает.
Положительность значений и возрастание — разные свойства; функция может быть положительной и убывающей.
$f(x)+k$ и $f(x+k)$ задают один и тот же сдвиг.
$f(x)+k$ — вертикальный сдвиг, а $f(x+k)$ — горизонтальный сдвиг в противоположную сторону по знаку внутри аргумента.
Композиция функций коммутативна: f∘g=g∘f.
В общем случае порядок важен: обычно $f\circ g\ne g\circ f$.
У каждой функции существует обратная функция.
Обратное отношение является функцией только для взаимно однозначной исходной функции; иногда нужно ограничить её область определения.
График обратной функции получается отражением относительно оси x.
График обратной функции получается отражением относительно прямой y=x.
Формула реальной функциональной модели применима ко всем x, где она алгебраически определена.
В прикладной модели область определения дополнительно ограничивается физическим и смысловым контекстом.
Связи координаты и времени, скорости и времени, температуры, энергии и других величин выражаются функциями.
Затраты, выручка, прибыль, спрос и налоги моделируются линейными, нелинейными и кусочными функциями.
Отображение признаков в прогноз, преобразования данных и функции отклика моделей имеют функциональную структуру.
Системы вход–выход, калибровочные кривые, передаточные зависимости и рабочие области описываются функциями.
Рост популяции, зависимость эффекта от дозы и процессы, меняющиеся со временем, задаются функциональными моделями.
Абстракция функции, композиция и контракты входов/выходов напрямую перекликаются с математической идеей функции.
Площадь и объём как функции параметра требуют анализа области определения, поведения и экстремумов.
Чтение графиков, область определения и значений, обратные функции и преобразования — базовые навыки для SAT и вступительных экзаменов.
Сначала проверяется, задаёт ли соответствие функцию, затем определяются область определения и область значений. После этого анализируются свойства графика, преобразования, операции и композиция либо переход к обратной функции и модели. В конце контролируются область композиции, взаимная однозначность и контекстные ограничения.
Краткая памятка: функция сопоставляет каждому входу ровно один выход; $y=f(x)$; область определения — допустимые входы; область значений — получаемые выходы; ноль функции удовлетворяет $f(x)=0$; пересечение с осью y равно $f(0)$, если 0 входит в область определения; вертикальная прямая проверяет, является ли график функцией; горизонтальная — взаимную однозначность; средняя скорость изменения равна $(f(b)-f(a))/(b-a)$; $(f\circ g)(x)=f(g(x))$; для обратной функции $f^{-1}(f(x))=x$ на подходящей области; при обращении область определения и область значений меняются местами; преобразования графика: $f(x)+k$ — вверх, $f(x-h)$ — вправо, $-f(x)$ — отражение относительно оси x, $f(-x)$ — относительно оси y.
В следующих темах о показательных, логарифмических и тригонометрических функциях будут напрямую использоваться область определения, область значений, монотонность, преобразования, композиция и обратная функция. Логарифмическая функция станет обратной к показательной.
Сначала нужно знать: Линейная функция, её график и свойства, Квадратичная функция, Текстовые задачи
Связанные темы: Арифметический квадратный корень и его свойства, Выражения и уравнения с модулем
Следующие темы: Показательное уравнение, Логарифмическая функция и её свойства, Тригонометрия. Основные понятия