Логарифмическая функция является обратной к показательной и переводит огромные диапазоны значений в компактную шкалу. Понимание её графика и свойств позволяет заранее анализировать область определения, монотонность и число решений в логарифмических уравнениях и неравенствах, а также интерпретировать pH, децибелы и модели роста и убывания.
Функция вида f(x)=log_b(x), x>0, где b>0 и b≠1.
Каждому положительному x она сопоставляет показатель степени, в которую нужно возвести b, чтобы получить x.
Пример: f(x)=log_2 x.
Не является примером: f(x)=log_1 x не является допустимой логарифмической функцией.
💡 Это функция, обратная к показательной.
Параметр b в f(x)=log_b(x), удовлетворяющий b>0 и b≠1.
Основание определяет, возрастает график или убывает.
Пример: При b=2 график возрастает.
Не является примером: b=-2 не задаёт стандартную действительную родительскую логарифмическую функцию.
💡 Случаи b>1 и 0<b<1 анализируются отдельно.
Для родительской функции y=log_b x: x∈(0,∞).
Аргумент логарифма должен быть положительным.
Пример: Для log_3 x требуется x>0.
Не является примером: x=0 не входит в область определения.
💡 В преобразованной функции весь аргумент логарифма должен быть >0.
Для родительской функции y=log_b x: y∈R.
Логарифмическая функция может принимать любое действительное значение.
Пример: log_2(1/8)=-3 и log_2(8)=3.
Не является примером: Область значений не ограничена только положительными числами.
💡 Это следует из области определения обратной показательной функции.
Для f и f^{-1}: f(f^{-1}(x))=x и f^{-1}(f(x))=x на соответствующих областях.
Одна функция отменяет действие другой.
Пример: f(x)=2^x и f^{-1}(x)=log_2x.
Не является примером: Функция x^2 на всей R не имеет обратной функции без ограничения области.
💡 Логарифм и показательная функция взаимно обратны.
Разным входным значениям соответствуют разные выходные значения.
Любая горизонтальная прямая пересекает график не более одного раза.
Пример: log_2x — взаимно однозначная функция.
Не является примером: y=x^2 на всей R не является взаимно однозначной.
💡 Это основное условие существования обратной функции.
Прямая x=a, к которой график неограниченно приближается у границы своей области определения.
Это «стена» логарифмического графика.
Пример: Для y=log_bx вертикальная асимптота x=0.
Не является примером: Для y=log_bx прямая y=0 не является асимптотой.
💡 При горизонтальном сдвиге асимптота сдвигается вместе с графиком.
Точка графика, в которой y=0.
Входное значение, при котором логарифм равен нулю.
Пример: log_b1=0, поэтому точка (1,0).
Не является примером: (0,1) не является пересечением с осью x.
💡 Для преобразованного графика находится из уравнения f(x)=0.
Точка графика при x=0, если такое значение существует.
Пересечение графика с осью y.
Пример: Для log_b(x+2) при x=0 существует y=log_b2.
Не является примером: У родительской функции log_bx пересечения с осью y нет.
💡 Область определения должна содержать x=0.
Базовый график f(x)=log_bx, от которого строятся преобразования.
Исходный график без сдвигов и масштабирования.
Пример: y=log_2x.
Не является примером: y=log_2(x-3)+1 — уже преобразованный график.
💡 Опорные точки: (1,0),(b,1),(1/b,-1).
Если x1<x2, то f(x1)<f(x2).
График поднимается слева направо.
Пример: log_bx при b>1.
Не является примером: log_bx при 0<b<1.
💡 В логарифмических неравенствах порядок сохраняется.
Если x1<x2, то f(x1)>f(x2).
График опускается слева направо.
Пример: log_bx при 0<b<1.
Не является примером: log_bx при b>1.
💡 В логарифмических неравенствах порядок обращается.
Направление поведения f(x), когда x приближается к границам области определения.
Описывает, что происходит с графиком у его левого и правого краёв.
Пример: При b>1: когда x→0+, f(x)→-∞.
Не является примером: Поведение на концах — не значение функции в одной отдельной точке.
💡 Зависит от того, больше основание 1 или меньше.
f(x-h) сдвигает родительский график на h единиц вправо, а f(x+h) — на h единиц влево.
Знак внутри аргумента действует в направлении, противоположном его внешнему виду.
Пример: log_b(x-3): сдвиг на 3 вправо.
Не является примером: log_b(x-3) не означает сдвиг на 3 влево.
💡 Асимптота x=0 переносится в x=h.
f(x)+k сдвигает график на k единиц вверх, f(x)-k — на k единиц вниз.
Сложение вне функции изменяет значения y.
Пример: log_bx+2: сдвиг на 2 вверх.
Не является примером: Вертикальный сдвиг не изменяет область определения.
💡 Область значений родительской логарифмической функции всё равно остаётся R.
a f(x) масштабирует выходные значения в |a| раз.
При |a|>1 график растягивается по вертикали, при 0<|a|<1 сжимается.
Пример: 2log_2x.
Не является примером: Нельзя автоматически считать 2log_2x равным log_4x.
💡 Если a<0, дополнительно происходит отражение относительно оси x.
-f(x) отражает график относительно оси x.
Знак каждого значения y меняется на противоположный.
Пример: -log_2x.
Не является примером: log_2(-x) не является отражением относительно оси x.
💡 Направление монотонности меняется.
f(-x) отражает график относительно оси y.
Знак каждого значения x меняется на противоположный.
Пример: log_2(-x), область x<0.
Не является примером: -log_2x не является отражением относительно оси y.
💡 Асимптота x=0 остаётся, а область определения переходит на левую полуплоскость.
В f(cx) внутренний коэффициент c даёт горизонтальное масштабирование в 1/|c| раза.
Чем больше |c|, тем сильнее график сжимается по горизонтали.
Пример: log_2(3x), c=3.
Не является примером: 3log_2x — не горизонтальное масштабирование.
💡 Если c<0, дополнительно происходит отражение относительно оси y.
Логарифмическая функция вида g(x)=a log_b(c(x-h))+k, где a≠0,c≠0.
Комбинация сдвигов, масштабирований и отражений родительского логарифмического графика.
Пример: 2log_3(x-1)+4.
Не является примером: log_1(x-1) недопустима.
💡 Область определения задаётся c(x-h)>0; асимптота x=h.
f(x)=ln x=log_e x, x>0.
Логарифмическая функция с основанием e.
Пример: ln e=1.
Не является примером: ln 0 не определён.
💡 Поскольку e>1, функция возрастает.
f(x)=log x=log_{10}x, x>0.
Логарифмическая функция с основанием 10.
Пример: log 100=2.
Не является примером: log(-10) не является действительным.
💡 Поскольку 10>1, функция возрастает.
График логарифмической функции является обратным к графику показательной функции.
$y=\log_bx \Longleftrightarrow x=b^y$
Область определения и область значений меняются местами.
В любой логарифмической функции аргумент должен быть положительным.
$u(x)>0$
Область определения получается из решения неравенства u(x)>0.
Родительская логарифмическая функция существует только при x>0.
$D=(0,\infty)$
x=0 не входит в область.
Родительская логарифмическая функция принимает все действительные значения.
$R=\mathbb R$
График неограниченно продолжается вниз и вверх.
Для любого допустимого основания log_b1=0.
$(1,0)$
Опорная точка не зависит от основания.
x=0 находится вне области определения.
$x=0 \notin D$
Родительский график не пересекает ось y.
Поскольку b^1=b, выполняется log_bb=1.
$(b,1)$
Основание >0 и ≠1.
Поскольку b^{-1}=1/b, выполняется log_b(1/b)=-1.
$(1/b,-1)$
Для любого допустимого основания.
Левая граница области родительской функции — x=0.
$x=0$
График неограниченно приближается к x=0.
При b>1 показательная функция возрастает; её обратная логарифмическая функция также возрастает.
$b>1 \Rightarrow \log_bx \text{ возрастает}$
Порядок сохраняется.
При 0<b<1 показательная функция убывает; её обратная логарифмическая функция также убывает.
$0 Порядок обращается.
При 0<x<1 логарифм отрицателен, при x=1 равен 0, при x>1 положителен.
$0
b>1.
При 0<x<1 логарифм положителен, при x=1 равен 0, при x>1 отрицателен.
$0
0<b<1.
Когда x→0+, значение стремится к -∞; когда x→∞, к +∞.
$\lim_{x\to0^+}\log_bx=-\infty,\quad \lim_{x\to\infty}\log_bx=\infty$
b>1.
Когда x→0+, значение стремится к +∞; когда x→∞, к -∞.
$\lim_{x\to0^+}\log_bx=\infty,\quad \lim_{x\to\infty}\log_bx=-\infty$
0<b<1.
У взаимно обратных функций координаты соответствующих точек меняются местами.
$(u,v)\in y=b^x \Rightarrow (v,u)\in y=\log_bx$
Отражение относительно прямой y=x.
Аргумент x-h сдвигает родительский график на h единиц вправо.
$y=\log_b(x-h)$
Область x>h, асимптота x=h.
Внешнее +k изменяет все значения y на k.
$y=\log_bx+k$
Область определения и асимптота не меняются.
Горизонтальный и вертикальный сдвиги применяются одновременно.
$y=\log_b(x-h)+k$
Область x>h, область значений R, асимптота x=h.
Внутренний линейный аргумент c(x-h) должен быть положительным.
$c(x-h)>0$
Если c>0, то x>h; если c<0, то x<h.
c<0 или замена f(x) на f(-x) отражает график относительно оси y.
$y=\log_b(-x)$
Область x<0, асимптота x=0.
a<0 меняет знак выходных значений.
$y=-\log_bx$
Область определения не меняется; направление возрастания/убывания обращается.
Преобразованный график удобно строить, перенося опорные точки родительской функции.
$(x,y)\mapsto(h+x/c,\ k+ay)$
g(x)=a log_b(c(x-h))+k, c≠0.
Свойства графика заранее показывают число решений и порядок в последующих логарифмических уравнениях и неравенствах.
$\log_bu=\log_bv \Rightarrow u=v$
b>0,b≠1 и u,v>0; монотонность обеспечивает взаимную однозначность.
Основная логарифмическая функция.
Условие: b>0, b≠1, x>0
Значение логарифма является показателем степени.
Условие: b>0, b≠1, x>0
Аргумент должен быть положительным.
Условие: f(x)=log_b x
Логарифмическая функция принимает все действительные значения.
Условие: f(x)=log_b x
График проходит через точку (1,0).
Условие: b>0,b≠1
График проходит через точку (b,1).
Условие: b>0,b≠1
График проходит через точку (1/b,-1).
Условие: b>0,b≠1
Граница области определения и вертикальная асимптота.
Условие: f(x)=log_b x
При основании больше 1 порядок сохраняется.
Условие: b>1; x_1,x_2>0
При основании между 0 и 1 порядок обращается.
Условие: 0<b<1; x_1,x_2>0
Знак логарифма меняется при прохождении через точку (1,0).
Условие: b>1
Для убывающего основания расположение знаков обратное.
Условие: 0<b<1
У асимптоты график уходит вниз, справа — вверх.
Условие: b>1
У асимптоты график уходит вверх, справа — вниз.
Условие: 0<b<1
Обратная к показательной функции f(x)=b^x имеет вид f^{-1}(x)=log_bx.
Условие: b>0,b≠1
Логарифм отменяет возведение в степень.
Условие: x∈R, b>0,b≠1
Возведение в степень отменяет логарифм.
Условие: x>0, b>0,b≠1
Родительский график сдвигается на h вправо и на k вверх.
Условие: x>h
Аргумент x-h должен быть положительным.
Условие: g(x)=log_b(x-h)+k
Асимптота сдвигается вместе с горизонтальным переносом.
Условие: g(x)=log_b(x-h)+k
Универсальная родительская точка переносится в новое положение.
Условие: g(x)=log_b(x-h)+k
|a| масштабирует значения y; при a<0 происходит отражение относительно оси x.
Условие: a≠0,x>0
Родительский график отражается относительно оси x.
Условие: x>0
Родительский график отражается относительно оси y.
Условие: x<0
Общая модель сдвигов, масштабирования и отражений.
Условие: a≠0,c≠0,b>0,b≠1,c(x-h)>0
Весь аргумент логарифма должен быть положительным.
Условие: g(x)=a log_b(c(x-h))+k
Прямая, на которой линейный аргумент обращается в ноль, является асимптотой.
Условие: c≠0
Точки родительского графика, заданные показателем r, переходят в точки преобразованного графика.
Условие: c≠0
Частные случаи: При r=0 получаем (h+1/c,k).
Пересечение с осью x получается из уравнения g(x)=0.
Условие: a≠0,c≠0 и точка принадлежит области определения
Ненулевое вертикальное масштабирование и сдвиг не меняют логарифмическую область значений: все действительные числа.
Условие: a≠0,c≠0
Функция y=log_bx является обратной к y=b^x; поэтому область определения логарифмической функции равна (0,∞), а область значений — R.
У обратной функции роли входа и выхода меняются местами.
Дано: b>0,b≠1 и показательная функция f(x)=b^x.
Требуется доказать: Показать обратность log_bx и её свойства области определения и значений.
Логарифмическая функция является обратной к показательной, а область определения и значений меняются местами. ∎
Если b>1, то log_bx строго возрастает; если 0<b<1, то строго убывает.
Поскольку логарифм является обратной к показательной функции, он наследует её направление монотонности.
Дано: x1<x2, x1,x2>0.
Требуется доказать: Показать монотонность логарифма в зависимости от режима основания.
Монотонность определяется тем, больше основание 1 или меньше. ∎
Для любого допустимого основания график y=log_bx проходит через (1,0), имеет вертикальную асимптоту x=0 и не пересекает ось y.
Точка 1=b^0 универсальна, а x=0 является границей вне области определения логарифма.
Дано: f(x)=log_bx, b>0,b≠1.
Требуется доказать: Показать наличие точки (1,0), асимптоты x=0 и отсутствие y-пересечения.
Универсальный каркас родительского логарифмического графика доказан. ∎
Для g(x)=a log_b(c(x-h))+k, a≠0,c≠0 область определения задаётся c(x-h)>0, вертикальная асимптота имеет вид x=h, а область значений равна R.
Внутренний аргумент логарифма заканчивается на границе, где он равен нулю.
Дано: g(x)=a log_b(c(x-h))+k, a≠0,c≠0.
Требуется доказать: Получить свойства области определения, асимптоты и области значений.
Для общей преобразованной логарифмической функции область определяется c(x-h)>0, асимптота x=h, область значений R. ∎
Для допустимого основания логарифмическая функция взаимно однозначна; поэтому из log_bu=log_bv следует u=v. Монотонность сохраняет или обращает порядок в зависимости от режима основания.
Любая горизонтальная прямая пересекает логарифмический график ровно не более одного раза.
Дано: u,v>0 и log_bu=log_bv.
Требуется доказать: Показать u=v и обосновать свойство порядка.
Рассуждения о равенстве и неравенстве следуют из взаимной однозначности и монотонности логарифмического графика. ∎
💡 Подсказка: Вспомните связь родительской логарифмической функции с обратной показательной.
✅ Ответ: $D=(0,\infty)$, $R=\mathbb R$
Почему метод работает: Логарифмическая функция является обратной к показательной.
Альтернативный метод: То же видно по графику: x>0, а значения y принимают все действительные числа.
⚠️ Не включайте $x=0$ в область определения.
💡 Подсказка: $\log_b1=0$ и область родительской функции x>0.
✅ Ответ: Пересечение с осью x: $(1,0)$; асимптота $x=0$
Почему метод работает: Универсальные свойства родительской функции не зависят от конкретного основания.
⚠️ Не путайте $y=0$ с асимптотой.
💡 Подсказка: Возьмите $x=1,3,1/3$.
✅ Ответ: $(1,0)$, $(3,1)$, $(1/3,-1)$
Почему метод работает: Эти точки соответствуют степеням 0,1,-1 числа 3.
Альтернативный метод: Их можно получить и перестановкой координат опорных точек графика $y=3^x$.
💡 Подсказка: Используйте точки основания и обратного основания.
✅ Ответ: $(1/2,1)$ и $(2,-1)$
Почему метод работает: Даже при основании между 0 и 1 правила $(b,1)$ и $(1/b,-1)$ сохраняются.
⚠️ Не перепутайте знаки y из-за того, что график убывает.
💡 Подсказка: Сравните основание с 1.
✅ Ответ: Возрастает
Почему метод работает: Показательная функция $7^x$ возрастает, и её обратная функция тоже возрастает.
⚠️ Не считайте функцию убывающей только из-за наличия логарифма.
💡 Подсказка: $0<0.2<1$.
✅ Ответ: Убывает
Почему метод работает: При 0<b<1 показательная функция и её обратная логарифмическая функция убывают.
⚠️ Дробное основание допустимо, если выполняется 0<b<1.
💡 Подсказка: Используйте точку $(1,0)$ и возрастание функции.
✅ Ответ: $0<x<1:\ y<0$; $x=1:\ y=0$; $x>1:\ y>0$
Почему метод работает: Возрастающий график слева от (1,0) расположен ниже, справа — выше.
💡 Подсказка: Представьте убывающий график около точки $(1,0)$.
✅ Ответ: $0<x<1:\ y>0$; $x=1:\ y=0$; $x>1:\ y<0$
Почему метод работает: Убывающий график слева от точки (1,0) находится выше.
💡 Подсказка: Относительно какой прямой отражаются графики взаимно обратных функций?
✅ Ответ: Это взаимно обратные графики, отражённые относительно $y=x$.
Почему метод работает: Обратная функция меняет местами входную и выходную координаты.
⚠️ Не называйте это отражением относительно оси x или y.
💡 Подсказка: У обратной функции координаты меняются местами.
✅ Ответ: $(8,3)$
Почему метод работает: Отражение относительно $y=x$ меняет координаты местами.
⚠️ Не оставляйте точку $(3,8)$ без изменения.
💡 Подсказка: Логарифмическая функция по основанию 2 возрастает.
✅ Ответ: $\log_2 3<\log_2 5$
Почему метод работает: Строгая монотонность позволяет обойтись без калькулятора.
⚠️ Не меняйте порядок аргументов без причины.
💡 Подсказка: Логарифмическая функция по основанию 1/2 убывает.
✅ Ответ: $\log_{1/2}3>\log_{1/2}5$
Почему метод работает: Убывающая функция обращает порядок входных значений в выходных.
⚠️ Не переносите автоматически правило для b>1.
💡 Подсказка: Переведите $\log_b9=2$ в показательную форму.
✅ Ответ: $b=3$
Почему метод работает: Точка графика непосредственно задаёт логарифмическое равенство.
Альтернативный метод: $b=-3$ недопустимо как действительное основание логарифма.
⚠️ Не принимайте отрицательный корень квадратного уравнения как основание.
💡 Подсказка: Используйте показательную форму.
✅ Ответ: $b=2$
Почему метод работает: Точка логарифмического графика определяет основание через показательную связь.
⚠️ Не спешите брать $b=1/2$: $(1/2)^{-3}=8$.
💡 Подсказка: $\log_b(1/b)=-1$.
✅ Ответ: $x=1/4$, точка $(1/4,-1)$
Почему метод работает: Показатель -1 даёт обратное основанию число.
💡 Подсказка: Требуйте положительность аргумента.
✅ Ответ: $D=(4,\infty)$; асимптота $x=4$
Почему метод работает: Горизонтальный сдвиг одновременно перемещает область определения и асимптоту.
⚠️ Недостаточно написать только $x\ne4$; требуется $x>4$.
💡 Подсказка: Переместите родительскую точку $(1,0)$.
✅ Ответ: Асимптота $x=5$; опорная точка $(6,3)$
Почему метод работает: Родительский график сдвигается на 5 вправо и на 3 вверх.
⚠️ $(5,3)$ не является опорной точкой; $x=5$ — асимптота.
💡 Подсказка: $x+2=x-(-2)$.
✅ Ответ: $D=(-2,\infty)$; асимптота $x=-2$; точка $(-1,-1)$
Почему метод работает: Слагаемое +2 внутри аргумента сдвигает график на 2 влево.
⚠️ Не интерпретируйте +2 как сдвиг вправо.
💡 Подсказка: Весь аргумент должен быть >0.
✅ Ответ: $D=(3,\infty)$; асимптота $x=3$
Почему метод работает: Положительность линейного аргумента задаёт область определения.
⚠️ Не ограничивайтесь условием $2x-6\ne0$.
💡 Подсказка: Проверьте $x=0$.
✅ Ответ: Да, пересечение с осью y: $(0,0)$
Почему метод работает: В отличие от родительской функции, преобразованный логарифм может содержать $x=0$ в своей области определения.
⚠️ Не переносите свойство «у родительской функции нет пересечения с осью y» на все сдвиги.
💡 Подсказка: $x=0$ входит в область определения?
✅ Ответ: Нет
Почему метод работает: Для существования пересечения с осью y значение x=0 должно принадлежать области определения.
💡 Подсказка: Положите $g(x)=0$.
✅ Ответ: $(13/4,0)$
Почему метод работает: Пересечение с осью x получается при нулевом значении функции.
Альтернативный метод: Можно также использовать общую формулу.
⚠️ Не путайте асимптоту $x=3$ с пересечением оси x.
💡 Подсказка: Сначала выделите логарифм.
✅ Ответ: $(8,0)$
Почему метод работает: Вертикальный масштаб и сдвиг учитываются в уравнении пересечения с осью x.
⚠️ Не переносите 2 в основание логарифма.
💡 Подсказка: Изменяют ли ненулевой вертикальный масштаб и сдвиг родительскую область значений R?
✅ Ответ: $R=\mathbb R$
Почему метод работает: Ненулевое аффинное преобразование выходных значений сохраняет полный действительный диапазон.
⚠️ Не ограничивайте область значений условием $y>7$ из-за вертикального сдвига.
💡 Подсказка: Минус внутри аргумента даёт отражение относительно оси y.
✅ Ответ: Отражение относительно оси y; $D=(-\infty,0)$
Почему метод работает: Замена знака x внутри функции даёт горизонтальное отражение.
⚠️ Не путайте это с отражением относительно оси x.
💡 Подсказка: Минус снаружи даёт отражение относительно оси x.
✅ Ответ: Отражение относительно оси x; убывающая
Почему метод работает: Вертикальное отражение меняет направление монотонности.
Альтернативный метод: Это также видно из тождества $-\log_2x=\log_{1/2}x$.
💡 Подсказка: x не меняется, y умножается на 3.
✅ Ответ: $(2,3)$
Почему метод работает: Внешний коэффициент масштабирует только выходное значение.
⚠️ Не умножайте координату x на 3.
💡 Подсказка: Используйте $4x>0$ и $4x=1$.
✅ Ответ: $D=(0,\infty)$; асимптота $x=0$; точка $(1/4,0)$
Почему метод работает: Внутренний множитель 4 задаёт горизонтальный масштаб; при аргументе 1 значение y равно 0.
Альтернативный метод: Отображение опорной точки: $x=1/c$.
💡 Подсказка: Аргумент >0; при y=2 логарифмическая часть равна 0.
✅ Ответ: $D=(-\infty,1)$; асимптота $x=1$; точка $(1/2,2)$
Почему метод работает: При c<0 график располагается слева от асимптоты.
⚠️ Не пишите автоматически $x>h$, если c<0.
💡 Подсказка: Используйте общее отображение точек.
✅ Ответ: $(7/4,-3)$
Почему метод работает: Отображение опорных точек применяет преобразования непосредственно к координатам.
Альтернативный метод: Проверка: $4(7/4-1)=3$, поэтому $g(7/4)=2(1)-5=-3$.
💡 Подсказка: Асимптота определяет h, а точка — k.
✅ Ответ: $g(x)=\log_2(x-4)+2$
Почему метод работает: При аргументе 1 логарифмическая часть универсальной опорной точки равна 0.
⚠️ Не путайте положение асимптоты с вертикальным сдвигом.
💡 Подсказка: Поменяйте x и y местами и решите относительно y.
✅ Ответ: $f^{-1}(x)=\log_3(x-1)+2$; область определения $x>1$; асимптота $x=1$
Почему метод работает: При переходе к обратной функции граница области значений экспоненты становится границей области определения и асимптотой логарифма.
⚠️ При нахождении обратной функции не забудьте сдвиги.
💡 Подсказка: Основание 5>1.
✅ Ответ: $x\to0^+: y\to-\infty$; $x\to\infty: y\to\infty$
Почему метод работает: Возрастающий родительский график у асимптоты уходит вниз, а справа — вверх.
💡 Подсказка: $0<1/4<1$.
✅ Ответ: $x\to0^+: y\to\infty$; $x\to\infty: y\to-\infty$
Почему метод работает: При основании между 0 и 1 поведение родительского графика противоположно случаю основания больше 1.
💡 Подсказка: Распознайте степени числа 2.
✅ Ответ: $(1/4,-2),(1/2,-1),(1,0),(2,1),(4,2)$
Почему метод работает: Таблица логарифмического графика получается перестановкой координат таблицы показательной функции.
💡 Подсказка: Распознайте степени $(1/2)^n$.
✅ Ответ: $(1/4,2),(1/2,1),(1,0),(2,-1),(4,-2)$
Почему метод работает: Таблица убывающего логарифмического графика строится по степеням основания 1/2.
💡 Подсказка: Найдите основание по точке $(b,1)$.
✅ Ответ: $y=\log_4x$
Почему метод работает: Опорные точки однозначно определяют основание.
💡 Подсказка: Переведите $\log_2x=3$ в показательную форму.
✅ Ответ: $(8,3)$
Почему метод работает: Область значений — все действительные числа, а функция взаимно однозначна, поэтому каждому горизонтальному уровню y соответствует единственный x.
💡 Подсказка: Объедините свойства области значений и взаимной однозначности.
✅ Ответ: Для каждого $c\in\mathbb R$ существует единственное пересечение $(5^c,c)$.
Почему метод работает: Область значений даёт существование, а взаимная однозначность — единственность.
💡 Подсказка: Переход к новому основанию: $\log_2x=2\log_4x$.
✅ Ответ: $\log_2x>\log_4x$
Почему метод работает: Для одного и того же x>1 меньшее основание (>1) даёт большее значение логарифма.
⚠️ При $0<x<1$ это сравнение с тем же знаком не сохраняется.
💡 Подсказка: $\log_2x=2\log_4x$, и оба значения отрицательны.
✅ Ответ: $\log_2x<\log_4x$
Почему метод работает: При сравнении оснований положение x относительно 1 определяет знак значений.
Альтернативный метод: Проверка при $x=1/4$: $-2<-1$.
💡 Подсказка: Аргумент >0.
✅ Ответ: $D=(-\infty,5/2)$; асимптота $x=5/2$
Почему метод работает: Из-за отрицательного внутреннего коэффициента область определения лежит слева от асимптоты.
⚠️ Не забудьте изменить знак неравенства при делении на -2.
💡 Подсказка: Сначала область определения, затем g(x)=0.
✅ Ответ: Область определения $x<4$; пересечение с осью x $(1,0)$
Почему метод работает: Проверка области определения и уравнение преобразованной функции работают совместно.
⚠️ Не оставляйте найденное x без проверки по области определения.
💡 Подсказка: Используйте переход к новому основанию.
✅ Ответ: $\log_{1/2}x=-\log_2x$
Почему метод работает: Обратное основание оказывает тот же эффект, что отражение относительно оси x.
Альтернативный метод: Графики можно рассматривать как отражения друг друга относительно оси x.
💡 Подсказка: Для родительской функции ln используйте (1,0) и ln e=1.
✅ Ответ: $D=(2,\infty)$; асимптота $x=2$; опорная точка $(3,-1)$; пересечение с осью x $(e+2,0)$
Почему метод работает: Все свойства сдвига натурального логарифма совпадают с общими свойствами родительского логарифма.
⚠️ Не путайте пересечение с осью x с опорной точкой $(3,-1)$.
❌ Считать областью определения log_b x все действительные числа.
Аргумент действительного логарифма должен быть положительным.
✅ Для родительской функции область определения x>0.
y=log_2 x: D=(0,∞).
❌ Считать областью значений логарифмической функции (0,∞).
Это область значений показательной функции; у обратной функции область определения и значений меняются местами.
✅ Область значений log_b x — все действительные числа.
E=(-∞,∞).
❌ Записывать вертикальную асимптоту как y=0.
y=0 не является горизонтальной асимптотой родительского логарифма; график пересекает её при x=1.
✅ Для родительской логарифмической функции асимптота x=0.
Для log_2 x: x=0.
❌ Считать, что график log_b x проходит через точку (0,1).
Поскольку log_b1=0, координаты расположены наоборот.
✅ Обязательная точка — (1,0).
log_5 1=0.
❌ Считать log_b x убывающей при b>1.
Показательная функция при b>1 возрастает, и её обратная функция также возрастает.
✅ При b>1 функция log_b x возрастает.
log_2 x возрастает.
❌ Считать log_b x возрастающей при 0<b<1.
При таком основании показательная функция и её обратная логарифмическая функция убывают.
✅ При 0<b<1 функция log_b x убывает.
log_(1/2) x убывает.
❌ В log_b(x-h) сдвигать график на h единиц влево.
Внутренний x-h задаёт горизонтальный сдвиг с противоположным знаком.
✅ x-h сдвигает график на h единиц вправо.
У log_2(x-3) асимптота x=3.
❌ Для log_b(x+h) считать асимптотой x=h.
Аргумент обращается в ноль при x=-h.
✅ Асимптота x=-h.
Для log_3(x+4): x=-4.
❌ Считать, что вертикальный сдвиг +k в log_b(x-h)+k меняет область определения.
Внешнее +k изменяет только значения y.
✅ Область определяется аргументом; +k её не меняет.
log_2(x-1)+5: x>1.
❌ Считать, что внешний множитель a в a log_b x меняет область определения.
Внешний множитель не влияет на аргумент логарифма.
✅ При a≠0 область остаётся x>0.
4log_2x: x>0.
❌ Считать -log_b x и log_b(-x) одним и тем же преобразованием.
Первое отражает график относительно оси x, второе — относительно оси y; области определения тоже различаются.
✅ Различайте внешний и внутренний минус.
-log_2x: x>0; log_2(-x): x<0.
❌ Для log_b(c(x-h)) всегда брать область x>h.
Если c<0, направление неравенства меняется.
✅ Всегда решайте c(x-h)>0.
log_2(-2(x-3)): x<3.
❌ Считать, что область значений преобразованной логарифмической функции автоматически ограничивается.
Ненулевое вертикальное масштабирование, отражение и конечный вертикальный сдвиг сохраняют все действительные значения.
✅ При a≠0 область значений a log_b(c(x-h))+k равна R.
-3log_2(x-1)+4: область значений R.
❌ Искать пересечение с осью x, приравнивая аргумент логарифма к 0.
Логарифм нуля не определён; x-пересечение находится из y=0.
✅ Решайте a log_b(c(x-h))+k=0.
log_2(x-3)=0 ⇒ x=4.
❌ Считать, что у log_b x есть пересечение с осью y.
Для y-пересечения требуется x=0, но x=0 находится вне области определения.
✅ У родительской логарифмической функции y-пересечения нет.
x=0 — вертикальная асимптота.
❌ Считать, что показательный и логарифмический графики проходят через одни и те же точки с теми же координатами.
У обратных функций координаты меняются местами.
✅ Если (u,v) лежит на показательной функции, то (v,u) лежит на логарифмической.
2^3=8 ⇒ (3,8); log_2 8=3 ⇒ (8,3).
❌ Рисовать график так, будто он пересекает вертикальную асимптоту.
На линии асимптоты аргумент логарифма равен 0, поэтому функция не определена.
✅ Вертикальная асимптота является границей области определения.
log_2(x-5) не пересекает x=5.
❌ Определять весь график только по одной точке.
Одной точки недостаточно, чтобы определить основание, монотонность и преобразование.
✅ Используйте асимптоту, область определения, монотонность и минимум 2–3 опорные точки.
(1,0),(b,1),(1/b,-1).
❌ Пытаться определить основание по y-пересечению родительского графика.
У родительского логарифмического графика y-пересечения нет.
✅ Используйте опорную точку (b,1) или (1/b,-1).
Если точка (4,1) лежит на y=log_bx, то b=4.
❌ Считать, что опорные точки родительской функции не меняются после преобразований.
Сдвиги, масштабирования и отражения изменяют координаты.
✅ Вычисляйте новые опорные точки по правилу переноса.
g(x)=2log_2(x-3)+1: родительская (1,0) → (4,1).
Логарифмическая функция — совершенно отдельное семейство, не связанное с показательной функцией.
Нет. Они взаимно обратны: графики y=b^x и y=log_bx отражаются относительно прямой y=x.
Любое положительное b может быть основанием логарифма.
Кроме b>0 требуется b≠1; при b=1 взаимно обратная функция не возникает.
Логарифмическая функция принимает только положительные значения y.
Нет. Область значений — все действительные числа; например, при b>1 и 0<x<1 значения отрицательны.
Логарифмический график достигает линии x=0.
Нет. x=0 находится вне области определения; график лишь асимптотически приближается к этой линии.
Чем больше основание, тем график всегда круче.
Сравнение зависит от интервала x; по формуле log_bx=lnx/lnb и наклону 1/(x lnb) влияние основания анализируется точнее.
Горизонтальный сдвиг задаётся внешним +k.
Внешнее +k — вертикальный сдвиг; горизонтальный сдвиг задаётся внутри аргумента формой x-h.
Внутренний коэффициент c влияет только на горизонтальное растяжение или сжатие и не влияет на область определения.
Знак c определяет и сторону области определения: нужно решать c(x-h)>0.
Внешний минус и внутренний минус дают одно и то же отражение.
Нет. -f(x) отражает относительно оси x, а f(-x) — относительно оси y.
Для построения логарифмического графика обязательно выбирать много случайных значений x.
Обычно быстрее и точнее использовать опорные точки обратной показательной функции, асимптоту и правила преобразования.
Асимптота — только декоративный элемент графика без алгебраического смысла.
Нет. Для логарифма вертикальная асимптота является границей области определения, где аргумент стремится к 0.
Логарифмическая функция как обратная к экспоненциальной модели роста или убывания используется для нахождения неизвестного времени или показателя степени.
Логарифмические шкалы, такие как pH, позволяют сравнивать концентрации из очень широкого диапазона в компактном графическом масштабе.
Отношения интенсивностей переводятся логарифмической шкалой в удобный диапазон; график превращает мультипликативное изменение в аддитивную разность.
Логарифмическая модель помогает выражать очень большие отношения амплитуд удобными числовыми значениями.
Логарифмическая ось позволяет показывать на одном графике величины разных порядков и облегчает чтение сильно асимметричных данных.
Выражения вида log_b n описывают число шагов в бинарном поиске, высоту деревьев и сложность алгоритмов «разделяй и властвуй».
В формулах сложных процентов логарифмическая функция позволяет изолировать время, необходимое для достижения целевой суммы.
Преобразования a log_b(c(x-h))+k помогают считывать из графика порог, масштаб, отражение и базовый уровень реальной модели.
Базовый логарифмический график, обратная связь и последовательность проверки области определения, асимптоты и опорных точек для общего преобразования a log_b(c(x-h))+k.
Родительская функция: $f(x)=\log_bx$, $b>0$, $b\ne1$. Область определения $(0,\infty)$, область значений $\mathbb R$, пересечение с осью x — $(1,0)$, пересечения с осью y нет, вертикальная асимптота $x=0$. При $b>1$ функция возрастает; при $0<b<1$ убывает. Опорные точки: $(1,0)$, $(b,1)$, $(1/b,-1)$. В преобразованных функциях условие argument>0 задаёт область определения; для $\log_b(x-h)+k$ асимптота $x=h$, а опорная точка переносится в $(h+1,k)$.
В следующей теме — логарифмических уравнениях — область определения, взаимная однозначность и обратные свойства используются для нахождения и проверки решений. В логарифмических неравенствах особенно важной становится монотонность для случаев b>1 и 0<b<1.
Сначала нужно знать: Функция, Логарифмы: задачи на вычисление, Преобразование логарифмических выражений
Связанные темы: Показательное уравнение, Показательные неравенства, Степень и её свойства, степенные выражения
Следующие темы: Логарифмические уравнения, Логарифмические неравенства