Bo'linuvchanlik. Sonning natural bo'luvchilar soni va yig'indisi

💡 Maslahat: Avval 20 ni tub ko'paytuvchilarga ajrating.

1. $20=2^2 \times 5^1$
2. $\tau(20)=(2+1)(1+1)=3 \times 2=6$

✅ Javob: $\tau(20)=6$ (bo'luvchilari: 1,2,4,5,10,20)

Nega bu usul ishlaydi: Formula har bir tub ko'paytuvchi darajasiga 1 qo'shib ko'paytiradi.

Muqobil usul: To'g'ridan-to'g'ri sanash: 1,2,4,5,10,20 — 6 ta.

⚠️ Darajaga 1 qo'shishni unutib, to'g'ridan-to'g'ri darajalarni (2×1=2) ko'paytirish.

💡 Maslahat: 10 ning barcha bo'luvchilarini yozib qo'shing yoki formula qo'llang.

1. 10 ning bo'luvchilari: 1,2,5,10
2. Yig'indi: 1+2+5+10=18

✅ Javob: $\sigma(10)=18$

Nega bu usul ishlaydi: Kichik sonlar uchun to'g'ridan-to'g'ri sanash ham tez va ishonchli.

Muqobil usul: Formula: 10=$2\times 5$, $\sigma(10)=\frac{2^2-1}{2-1}\times\frac{5^2-1}{5-1}=3\times 6=18$.

⚠️ 10 ning o'zini yig'indiga qo'shishni unutib qoldirish (faqat 1+2+5=8 deb noto'g'ri hisoblash).

💡 Maslahat: 360 ni to'liq tub ko'paytuvchilarga ajrating.

1. $360=2^3\times 3^2\times 5^1$
2. $\tau(360)=(3+1)(2+1)(1+1)=4\times 3\times 2=24$

✅ Javob: $\tau(360)=24$

Nega bu usul ishlaydi: Uch tub ko'paytuvchili sonlar uchun ham formula to'g'ridan-to'g'ri kengaytiriladi.

⚠️ 360=$2^3\times 3^2\times 5$ yoyilmasida biror darajani (masalan $3^2$) noto'g'ri hisoblab, 360=$2^3\times 3\times 5\times 3$ kabi takrorlab yozish.

💡 Maslahat: $28=2^2 \times 7$ yoyilmasidan foydalaning, so'ng $\sigma(28)=2 \times 28$ shartini tekshiring.

1. $28=2^2 \times 7^1$
2. $\sigma(28)=\frac{2^3-1}{2-1} \times \frac{7^2-1}{7-1} = 7 \times 8=56$
3. Tekshirish: $\sigma(28)=56=2 \times 28$ — shart bajarildi

✅ Javob: $\sigma(28)=56$, va 28 — mukammal son (chunki $\sigma(28)=2 \times 28$).

Nega bu usul ishlaydi: Mukammal son ta'rifi aynan $\sigma(n)=2n$ shartiga asoslangan.

Muqobil usul: To'g'ridan-to'g'ri: $1+2+4+7+14+28=56$.

⚠️ $\sigma(n)=2n$ o'rniga $\sigma(n)=n$ shartini tekshirish (proper divisors yig'indisi n ga teng bo'lishi, $\sigma(n)$ esa 2n ga).

💡 Maslahat: $\tau(p^3)=(3+1)=4$ formulasidan foydalaning.

1. Umumiy formula: $τ(p³)=3+1=4$
2. n=8=2³ uchun: $τ(8)=4$

✅ Javob: $τ(p³)=4$ (umumiy); $τ(8)=4$, bo'luvchilari: 1,2,4,8.

Nega bu usul ishlaydi: Bitta tub ko'paytuvchili son uchun formula eng sodda ko'rinishga keladi.

Muqobil usul: To'g'ridan-to'g'ri sanash: 1,2,4,8 — 4 ta.

⚠️ $τ(p³)=3$ deb, darajaga 1 qo'shishni unutish.

💡 Maslahat: $\tau(n)=(a+1)(b+1)=12$ tenglamasini yeching.

1. $(a+1)(b+1)=12$
2. 12 ning koʻpaytuvchilar juftliklari: $1\times 12$, $2\times 6$, $3\times 4$, $4\times 3$, $6\times 2$, $12\times 1$
3. Har birini $(a+1,b+1)$ deb olib, $a,b\ge 1$ (ikkalasi ham tub koʻpaytuvchi sifatida qatnashishi uchun) shartini qoʻlaymiz: $(a+1,b+1)=(2,6)\rightarrow (a,b)=(1,5)$; $(3,4)\rightarrow (2,3)$; $(4,3)\rightarrow (3,2)$; $(6,2)\rightarrow (5,1)$

✅ Javob: $(a,b) \in \{(1,5),(2,3),(3,2),(5,1)\}$ — masalan $n=2\times 3^5=486$, yoki $n=2^2\times 3^3=108$, va h.k.

Nega bu usul ishlaydi: $\tau(n)$ formulasini teskari yoʻnalishda, koʻpaytuvchilarga ajratish orqali yechish klassik texnika.

Muqobil usul: $(1,12)$ va $(12,1)$ variantlarini ham hisobga olish mumkin, agar a yoki b=0 boʻlishiga ruxsat berilsa (unda son bitta tub koʻpaytuvchili boʻlib qoladi) — savol sharti aniqlashtirilishi kerak.

⚠️ 12 ning barcha boʻluvchilar juftligini olib, lekin $a+1\ge 1$ (ya'ni $a\ge 0$) shartini unutib, manfiy yoki notoʻgʻri qiymatlar bilan ishlash.

💡 Maslahat: Ko'p kichik tub ko'paytuvchili, 'silliq' sonlarni (masalan 2,3,5 asosida) tekshiring.

1. 96=$2^5 \times 3$: $\tau(96)=(5+1)(1+1)=12$
2. 90=$2 \times 3^2 \times 5$: $\tau(90)=(1+1)(2+1)(1+1)=12$
3. 72=$2^3 \times 3^2$: $\tau(72)=(3+1)(2+1)=12$
4. 60=$2^2 \times 3 \times 5$: $\tau(60)=(2+1)(1+1)(1+1)=12$
5. Bu sonlarning barchasi 12 ta bo'luvchiga ega — bir nechtasi eng ko'p bo'luvchili nomzod ekanini ko'rsatadi; 99 dan katta ikki xonali sonlar orasida 12 dan ko'p bo'luvchili son yo'q.

✅ Javob: 96, 90, 72, 60 kabi sonlar — har biri 12 ta bo'luvchiga ega, bu ikki xonali sonlar orasidagi maksimal qiymat.

Nega bu usul ishlaydi: Kichik tub ko'paytuvchilarni (2,3,5) ko'proq va muvozanatli darajada ishlatish bo'luvchilar sonini maksimallashtiradi ('highly composite numbers' g'oyasi).

Muqobil usul: Barcha ikki xonali sonlarni (10-99) to'g'ridan-to'g'ri sanab tekshirish (sekinroq, lekin ishonchli).

⚠️ Faqat bitta nomzodni (masalan 96 ni) tekshirib, boshqa teng natijali sonlar borligini unutish.

💡 Maslahat: $\sigma(n)/n=2$ mukammal sonlar uchun, boshqa sonlar uchun bu nisbatni hisoblang.

1. $\sigma(6)/6=12/6=2$ (mukammal)
2. $\sigma(28)/28=56/28=2$ (mukammal)
3. $\sigma(12)/12=28/12\approx2.33$ (12 — 'ortiqcha mo'l' son, abundant number, chunki $\sigma(n)>2n$)
4. $\sigma(8)/8=15/8\approx1.88$ (8 — 'kam mo'l' son, deficient number, chunki $\sigma(n)<2n$)

✅ Javob: $\sigma(n)/n$ nisbati sonning tuzilishiga qarab 2 dan kichik (deficient), teng (perfect) yoki katta (abundant) bo'lishi mumkin — bu nisbat monoton o'smaydi, balki $n$ ning tub ko'paytuvchilar tarkibiga bog'liq tebranib turadi.

Nega bu usul ishlaydi: Bo'luvchilar yig'indisi formulasi sonning 'qanchalik ko'p kichik tub ko'paytuvchiga ega'ligiga chambarchas bog'liq.

⚠️ 'Katta son — katta $\sigma(n)/n$ nisbati' deb noto'g'ri umumlashtirish; aslida bu nisbat sonning KATTA-KICHIKLIGIGA emas, TUZILISHIGA bog'liq.

💡 Maslahat: Kichik sonlardan boshlab $\tau(n)$ qiymatlarini hisoblang va ketma-ket uchtasini solishtiring.

1. $\tau(1)=1,\tau(2)=2,\tau(3)=2,\tau(4)=3,\tau(5)=2,\tau(6)=4,\tau(7)=2,\tau(8)=4,\tau(9)=3,\tau(10)=4$
2. $\tau(33)=\tau(3\times 11)=4$, $\tau(34)=\tau(2\times 17)=4$, $\tau(35)=\tau(5\times 7)=4$ — uchtasi ham $4$ ga teng!
3. Kichikroq $n$ larni tekshirib, bundan oldin bunday uchlik yoʻqligini tasdiqlaymiz (33 dan oldingi barcha ketma-ket uchliklar orasida $\tau$ qiymatlari mos kelmaydi).

✅ Javob: $n=33$ ($\tau(33)=\tau(34)=\tau(35)=4$)

Nega bu usul ishlaydi: $\tau(n)$ qiymatlarini tizimli hisoblab, ketma-ket uchta tengligini qidirish — bu turdagi masalalar odatda toʻgʻridan-toʻgʻri (yoki qisman kompyuter yordamida) qidiruv orqali yechiladi.

Muqobil usul: Kichik sonlar orasida 'koʻp boʻluvchili' (masalan yarim tub, $p\times q$ koʻrinishidagi) uchta ketma-ket sonni maqsadli qidirish.

⚠️ $\tau(n)$ ni notoʻgʻri hisoblab (masalan $33=3\times 11$ ni tub deb xato qilib), notoʻg‘ri $n$ topish.

💡 Maslahat: Yevklid-Eyler teoremasiga ko'ra $n=2^{p−1}(2^p−1)$ ko'rinishida, va bu sonlar 9 ga bo'linganda 1 qoldiq berishini $mod$ 9 orqali tekshiring.

1. Yevklid-Eyler teoremasiga ko'ra, har qanday juft mukammal son $n=2^{p−1}(2^p−1)$ ko'rinishida, bu yerda $2^p−1$ tub (Mersenn tub soni).
2. $p$ toq tub son bo'lishi kerak ($p=2$ dan tashqari barcha holatlarda, chunki $2^p−1$ tub bo'lishi uchun $p$ ham tub bo'lishi shart, va $n>6$ uchun $p>2$).
3. $n \mod 9$ ni hisoblaymiz: $2^{p−1}$ ning 9 bo'yicha davri 6 ga teng ($2^6\equiv1 \mod 9$), shuning uchun $p−1$ ning 6 ga bo'lingandagi qoldig'iga qarab hisoblanadi.
4. Bevosita hisoblash (28, 496, 8128 misollarida): $28\rightarrow2+8=10\rightarrow1+0=1$; $496\rightarrow4+9+6=19\rightarrow1+9=10\rightarrow1$; $8128\rightarrow8+1+2+8=19\rightarrow10\rightarrow1$ — barchasida raqamiy ildiz 1.
5. Umumiy holda $p$ toq tub bo'lganida ($p\neq2$) $n \mod 9 \equiv 1$ ekanligi $mod$-arifmetika orqali ko'rsatiladi (to'liq isbot chuqurroq modular arifmetika bilimini talab qiladi).

✅ Javob: $6$ dan katta har qanday juft mukammal sonning raqamiy ildizi $1$ ga teng (bu — $2000$ yildan ortiq ma'lum bo'lgan qiziqarli natija).

Nega bu usul ishlaydi: Mukammal sonlarning maxsus $2^{p−1}(2^p−1)$ tuzilishi ularni $mod$ 9 bo'yicha bashorat qilinadigan qiladi.

Muqobil usul: Faqat bir nechta misolni (28,496,8128) tekshirish — bu umumiy isbot emas, faqat empirik tasdiq.

⚠️ $6$ sonini ham shu qoidaga bo'ysunadi deb tekshirish — $6\rightarrow6$, raqamiy ildizi $1$ emas, $6$; masala aynan '$n>6$' shartini shu sababdan qo'ygan.