Bo'linish belgilari, tub va murakkab sonlar bo‘yicha savol

5119 sonini birinchi marta 11 ga bo‘linishini tekshirish uchun uning raqamlarining yig‘indisini 11 ga bo‘linish qoidasi bilan solishtiramiz: bir son $N$ ning 11 ga bo‘linishi uchun $N$ ning oxirgi raqami ni $10$ ga ko‘paytirib, qolgan raqamlaridan ayirmoq kerak, ya’ni $N$ ni $10a+b$ deb yozsak, $a-b$ 11 ga bo‘linishi kerak. Agar 5119 ni $k$ marta ketma‑ket yozsak, $N_k = 5119\underbrace{5119\ldots 5119}_{k-1\ \text{marta}}$ bo‘ladi. $N_k$ ning oxirgi raqami $9$, oldingi qismi esa $M_k = \frac{N_k-9}{10}=511\underbrace{5119\ldots 5119}_{k-1\ \text{marta}}$ ga teng. Shunday qilib $a-b = M_k-9$. 5119 raqamlari $5+1+1+9=16$ ga teng, ya’ni har bir to‘rtlik blok $5119$ $M_k$ ga $16$ ga ko‘paytirilib qo‘shiladi. Demak $M_k-9 = 16(k-1)+ (5+1+1)=16(k-1)+7$. $16(k-1)+7$ ni 11 ga bo‘linishi uchun $16(k-1)+7\equiv0\pmod{11}\;\Rightarrow\;5(k-1)+7\equiv0\pmod{11}\;\Rightarrow\;5(k-1)\equiv4\pmod{11}\;\Rightarrow\;k-1\equiv8\pmod{11}$. Eng kichik ijobiy $k$ qiymati $k=9$, ya’ni 5119 sonini **11** marta ketma‑ket yozganda hosil bo‘lgan son 11 ga bo‘linadi. (Javob: **D**)