Bo'linuvchanlik. Sonning natural bo'luvchilar soni va yig'indisi bo‘yicha savol

Ko‘paytmaning har bir sonini $2$ ga bo‘linish darajasiga qarab ajratamiz. $2$ ning darajasi $v_2(n)$ bo‘lsin, ya’ni $n=2^{v_2(n)}\cdot m$ ($m$ toq). Umumiy $v_2$ qiymati \[ \sum_{k=65}^{128} v_2(k) \] ni hisoblaymiz. 1. **Toq sonlar** ($65,67,\dots ,127$) $v_2=0$; ularni e’tiborga olmaysiz. 2. **Juft sonlar** $66,68,\dots ,128$ har biriga kamida $2^1$ mavjud. Bu sonlar $66\le k\le 128$ bo‘lsa, $k/2$ ham $33\le k/2\le 64$ ga tushadi. Shuning uchun $v_2$ ning birinchi qatlamida $64-33+1=32$ dona $1$ qo‘shiladi. 3. **Ikkinchi qatlam** $k$ ni $4$ ga bo‘lish mumkin bo‘ladigan sonlar ($68,72,\dots ,128$). Ular $k/4$ $17\le\le 32$ oralig‘ida, ya’ni $16$ dona. 4. **Uchinchi qatlam** $8$ ga bo‘linadigan sonlar ($72,80,\dots ,128$) – $8$ dona. 5. **To‘rtinchi qatlam** $16$ ga bo‘linadigan sonlar ($80,96,\dots ,128$) – $4$ dona. 6. **Beshinchi qatlam** $32$ ga bo‘linadigan sonlar ($96,128$) – $2$ dona. 7. **Oltinchi qatlam** $64$ ga bo‘linadigan son – faqat $128$, ya’ni $1$ dona. Endi bu sonlarni qo‘shamiz: \[ 32+16+8+4+2+1=63. \] Biroq $128$ o‘zi $2^7$ ga teng, ya’ni $v_2(128)=7$, biz uni yuqoridagi qatlamlarda $1+1+1+1+1+1$ tarzida hisoblaganmiz, lekin $7$ o‘rinda $6$ qo‘shilgan, shuning uchun yakuniy qiymatga yana $1$ qo‘shamiz: \[ 63+1=64. \] Demak, $65\cdot66\cdot\ldots\cdot128$ ko‘paytmasi $2^{64}$ ga bo‘linadi, lekin $2^{65}$ ga bo‘linmaydi. Eng katta daraja $64$, ya’ni javob **C**.