Bo'linuvchanlik. Sonning natural bo'luvchilar soni va yig'indisi bo‘yicha savol

Ko‘paytma $31\cdot32\cdot33\cdots98\cdot99$ ni 3 ning qaysi darajasiga bo‘linishini topish uchun har bir sonni $3$ ga bo‘linish darajasi $v_{3}$ (ya’ni $3$ ning maksimal quvvati) bo‘yicha hisoblaymiz va ularning yig‘indisini olamiz. 1. Har bir $k$ soni uchun $v_{3}(k)=\left\lfloor\frac{k}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{k}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{k}{27}\right\rfloor-\dots$ formulasi qo‘llanadi. Biroq bu formulani har bir $k$ ga alohida qo‘llash o‘rniga, $31$ dan $99$ gacha bo‘lgan intervaldagi $3$ ning quvvatlari umumiy hisoblanadi. 2. $31\le k\le 99$ oralig‘ida $3$ ga bo‘linadigan sonlar soni: \[ \left\lfloor\frac{99}{3}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{30}{3}\right\rfloor=33-10=23. \] 3. $9$ ga bo‘linadigan (ya’ni $3^{2}$ ga bo‘linadigan) sonlar soni: \[ \left\lfloor\frac{99}{9}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{30}{9}\right\rfloor=11-3=8. \] 4. $27$ ga bo‘linadigan (ya’ni $3^{3}$ ga bo‘linadigan) sonlar soni: \[ \left\lfloor\frac{99}{27}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{30}{27}\right\rfloor=3-1=2. \] 5. $81$ ga bo‘linadigan (ya’ni $3^{4}$ ga bo‘linadigan) sonlar soni: \[ \left\lfloor\frac{99}{81}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{30}{81}\right\rfloor=1-0=1. \] 6. $3$ ning umumiy darajasi bu sonlarning har birini mos ravishda qo‘shish: \[ v_{3}=23\;(3\text{-lar})+8\;(3^{2}\text{-lar})+2\;(3^{3}\text{-lar})+1\;(3^{4}\text{-lar})=23+8+2+1=34. \] Demak, $31\cdot32\cdot33\cdots98\cdot99$ ko‘paytmasi $3^{34}$ ga bo‘linadi va $3^{35}$ ga bo‘linmaydi. Eng katta daraja $34$, ya’ni javob **B**.