Bo'linuvchanlik. Sonning natural bo'luvchilar soni va yig'indisi bo‘yicha savol

Ko‘paytmaning har bir sonini $7$ ga bo‘linish darajasi bo‘yicha ko‘rib chiqamiz. $7$ ning har bir ko‘paytuvchisi $7^k$ ga bo‘linadi, bu yerda $k$ — $7$ ning shu son ichidagi ko‘paytma darajasi. Shunday ekan, $22\cdot23\cdot\ldots\cdot210$ ga bo‘linadigan $7$ darajasining umumiy miqdori \[ \sum_{n=22}^{210}v_{7}(n) \] ga teng, bu yerda $v_{7}(n)$ – $n$ ning $7$ ga bo‘linish darajasi (Legendre funksiyasi). Endi $v_{7}(n)$ ni hisoblaymiz: * $7$ ning har bir to‘liq ko‘paytmasi $7,14,\dots ,210$ (ya’ni $7$ ga bo‘linadigan sonlar) $v_{7}=1$ beradi. $22\le n\le210$ oralig‘ida $7$ ga bo‘linadigan sonlar soni \[ \left\lfloor\frac{210}{7}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{21}{7}\right\rfloor=30-3=27. \] * $7^{2}=49$ ga bo‘linadigan sonlar har birida $v_{7}$ 1 ga qo‘shimcha oshadi. $22\le n\le210$ oralig‘ida $49$ ga bo‘linadigan sonlar soni \[ \left\lfloor\frac{210}{49}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{21}{49}\right\rfloor=4-0=4. \] * $7^{3}=343>210$ bo‘lgani uchun undan yuqori darajalar yo‘q. Shunday qilib umumiy $7$ darajasi \[ 27+4=31. \] Demak, $22\cdot23\cdot\ldots\cdot210$ ko‘paytma $7^{31}$ ga bo‘linadi, lekin $7^{32}$ ga bo‘linmaydi. Eng katta daraja $31$, ya’ni javob **D**.