Bo'linuvchanlik. Sonning natural bo'luvchilar soni va yig'indisi bo‘yicha savol

Ko‘paytma ichidagi har bir $0$ oxirgi raqamga $10$ (ya’ni $2\cdot5$) faktorining kelishiga bog‘liq. Shuning uchun $81\cdot82\cdots200$ dagi $2$ va $5$ larni necha marta juftlash mumkinligini hisoblaymiz. $200!$ ga nisbatan $81$ dan $200$ gacha bo‘lgan sonlar ichida $5$ ga bo‘linadigan sonlar soni \[ \left\lfloor\frac{200}{5}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{80}{5}\right\rfloor=40-16=24. \] Ularning orasida $25$ ga bo‘linadiganlar ham bor, ularning soni \[ \left\lfloor\frac{200}{25}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{80}{25}\right\rfloor=8-3=5, \] bularni qo‘shib $5$ ga bo‘linadigan umumiy daraja $24+5=29$ ga teng bo‘ladi. $2$ ga bo‘linadigan sonlar soni esa \[ \left\lfloor\frac{200}{2}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{80}{2}\right\rfloor=100-40=60, \] shu sababli $2$ ning darajasi $60$ dan katta. Har bir $0$ uchun bitta $2$ va bitta $5$ kerak bo‘lgani sababli, $5$ ning darajasi (ya’ni $29$) $0$ lar sonini belgilaydi. Shunday qilib ko‘paytma $29$ ta $0$ bilan tugamaydi, balki $30$ ta $0$ bilan tugaydi (chunki $5$ ga bo‘linadigan $29$ faktor plus $200$ o‘zida $2^3\cdot5^2$ ga ega, qo‘shimcha $5$ ga bo‘linadigan $125$ ham $5$ faktori beradi). Natijada eng kichik umumiy daraja $30$ ga yetadi, ya’ni javob **30**.