Daraja katta yoki juda kichik sonlarni ixcham yozish, takroriy ko‘paytirishni umumlashtirish va algebraik ifodalarni tez soddalashtirish imkonini beradi. Daraja xossalari ko‘phadlar, qisqa ko‘paytirish formulalari, ildizlar, logarifmlar, funksiyalar, fizikadagi o‘lchovlar va ilmiy yozuv uchun tayanch hisoblanadi. Bu mavzuda ayniqsa qavs, manfiy ishora va manfiy ko‘rsatkichni ajrata bilish keyingi algebra xatolarining katta qismini oldini oladi.
$a^n$ yozuv, bunda $a$ — asos, $n$ — ko‘rsatkich. Natural $n$ uchun $a^n$ — $a$ ning o‘ziga $n$ marta ko‘paytmasi.
Takroriy ko‘paytirishning qisqa yozuvi.
Misol: $2^5=2·2·2·2·2=32$.
Bu emas: $2·5$ daraja emas.
💡 Daraja butun ifodaga ham qo‘llanishi mumkin: $(ab)^n$.
Daraja ifodasida ko‘paytiriladigan son yoki algebraik ifoda.
a^n da a — asos.
Misol: $(-3)^4$ da asos −3.
Bu emas: $-3^4$ yozuvida darajaning asosi 3, tashqi minus darajaga kirmaydi.
💡 Qavs asos chegarasini aniq ko‘rsatadi.
Asos nechanchi darajaga ko‘tarilganini bildiruvchi son. Natural ko‘rsatkich takroriy ko‘paytiruvchilar sonini beradi.
a^7 da 7 — ko‘rsatkich.
Misol: $x^{12}$ da ko‘rsatkich 12.
Bu emas: $12x$ dagi 12 koeffitsient, ko‘rsatkich emas.
💡 Ko‘rsatkich 0, manfiy yoki kasr ham bo‘lishi mumkin.
$a^2$ son yoki ifodaning ikkinchi darajasi.
Sonni o‘ziga bir marta ko‘paytirish: a·a.
Misol: $7^2=49$.
Bu emas: $2a$ a² emas.
💡 Geometrik kvadrat yuzi formulasidagi a² bilan bir xil algebraik ma’no.
$a^3$ son yoki ifodaning uchinchi darajasi.
a·a·a.
Misol: $4^3=64$.
Bu emas: $3a$ a³ emas.
💡 Kub hajmi formulasidagi a³ bilan bog‘liq.
Noldan farqli har qanday $a$ uchun $a^0=1$.
Asos nol bo‘lmasa, nol daraja doim 1.
Misol: $7^0=1$, $(-5)^0=1$.
Bu emas: $0^0$ bu qoida bilan oddiy 1 deb olinmaydi.
💡 a^m/a^m=a^{m-m}=a^0=1 mantiqidan kelib chiqadi.
$a^{-n}=1/a^n$, bunda $a\ne0$.
Minus ko‘rsatkich natijani manfiy qilmaydi; u teskarisini olishni bildiradi.
Misol: $2^{-3}=1/8$.
Bu emas: $2^{-3}=-8$ noto‘g‘ri.
💡 Kasr asosda $(a/b)^{-n}=(b/a)^n$.
Musbat, nol yoki manfiy butun ko‘rsatkich.
…,−2,−1,0,1,2,… ko‘rsatkichlarning barchasi shu turga kiradi.
Misol: $x^{-4}, x^0, x^7$.
Bu emas: $x^{1/2}$ butun ko‘rsatkichli emas.
💡 Asos nol bo‘lsa manfiy ko‘rsatkich aniqlanmaydi.
$a^{m/n}$ ko‘rinishidagi daraja; mos haqiqiy son shartlarida $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$.
Maxraj ildiz darajasini, surat esa darajani bildiradi.
Misol: $16^{1/2}=4$, $8^{2/3}=4$.
Bu emas: Manfiy asos uchun juft maxrajli haqiqiy ildiz har doim mavjud emas.
💡 Masalan, $(-8)^{1/3}=-2$, lekin $(-4)^{1/2}$ haqiqiy son emas.
Daraja amali qatnashgan sonli yoki algebraik ifoda.
Bir yoki bir nechta darajalar va boshqa amallardan iborat ifoda.
Misol: $a^3b^{-2}$, $(2x^2)^3$.
Bu emas: $a+b$ daraja qatnashmagan oddiy algebraik ifoda.
💡 Soddalashtirishda xossalarni faqat mos tuzilishga qo‘llang.
Noma’lum son daraja ko‘rsatkichi yoki darajali ifodada qatnashgan tenglama.
Bir xil asosga keltirilsa ko‘rsatkichlarni taqqoslash mumkin.
Misol: $2^{x+1}=16=2^4$.
Bu emas: $2x+1=16$ darajali tenglama emas.
💡 Murakkab ko‘rsatkichli tenglamalar keyingi alohida mavzuga olib boradi.
Manfiy asosning juft natural darajasi musbat, toq natural darajasi manfiy bo‘ladi.
Manfiy omillar soni juft bo‘lsa musbat, toq bo‘lsa manfiy.
Misol: $(-2)^4=16$, $(-2)^5=-32$.
Bu emas: $-2^4=-16$ — bu $(−2)^4$ emas.
💡 Qavs ishorani asos tarkibiga kiritadi.
Natural ko‘rsatkich darajaning boshlang‘ich ma’nosi: a^n — n ta bir xil a omilning ko‘paytmasi. Daraja xossalarining aksariyati shu omillarni sanashdan kelib chiqadi.
$$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n}$$
n natural son.
Ko‘paytirishda omillar soni qo‘shiladi; bo‘lishda umumiy omillar qisqarib, ko‘rsatkichlar ayiriladi.
$$a^m a^n=a^{m+n}$$
Bo‘lishda a≠0.
(a^m)^n — a^m blokini n marta ko‘paytirish, ya’ni jami mn ta a omili.
$$(a^m)^n=a^{mn}$$
Mos aniqlanish sohasida.
Daraja ko‘paytmaning har bir omiliga va bo‘linmaning surat/maxrajiga alohida qo‘llanadi.
$$(ab)^n=a^n b^n$$
$b\ne0$ bo‘linma uchun.
a^m/a^m bir tomondan 1, ikkinchi tomondan a^{m−m}=a^0. Shu xossalarni izchil saqlash uchun a^0=1 aniqlanadi.
$$a^0=1$$
a≠0.
Ko‘rsatkich bir birlik kamayganda qiymat asosga bo‘linadi. a^0=1 dan keyin a^(−1)=1/a, a^(−2)=1/a² hosil bo‘ladi.
$$a^{-n}=1/a^n$$
a≠0.
n-darajali ildiz daraja amalining teskari yo‘nalishidir. a^(1/n) n-darajali ildiz, m/n esa avval ildiz/so‘ng daraja yoki aksincha.
$$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$
Haqiqiy sonlarda juft n uchun a≥0.
Minus belgisi qavs ichida bo‘lsa asosning bir qismi; qavssiz yozuvda daraja amali minusdan oldin bajariladi.
$$(-a)^n$ vs $-a^n$$
Amallar tartibi muhim.
Agar b>0, b≠1 bo‘lsa, b^u=b^v tenglikdan u=v kelib chiqadi. Shu sabab tomonlarni bir xil asosga keltirish kuchli strategiya.
$$b^{f(x)}=b^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)$$
b>0, b≠1.
Katta ko‘rsatkichli yig‘indi va ayirmalarda eng kichik umumiy darajani ko‘paytuvchi sifatida ajratish sonlarni ulkan qiymatgacha hisoblamasdan soddalashtiradi.
$$a^m+a^m=2a^m$$
Bir xil yoki umumiy darajali omil mavjud bo‘lishi kerak.
Daraja qavsdan keyin, ko‘paytirish/bo‘lishdan oldin bajariladi. Tashqi minus darajadan keyin qo‘llanishi mumkin.
$( ) → powers → ×,÷ → +,−$
Qavslar asos va ko‘rsatkich chegarasini belgilaydi.
Takroriy ko‘paytmani ixcham yozadi.
Shart: n≥1
Xususiy holatlar: a¹=a.
Bir xil asosli ko‘paytuvchilarning omillar soni qo‘shiladi.
Xususiy holatlar: a²·a³=a⁵.
Umumiy a omillar qisqaradi va ko‘rsatkichlar ayiriladi.
Shart: a≠0
Xususiy holatlar: m<n bo‘lsa manfiy ko‘rsatkich chiqishi mumkin.
Ichki daraja n marta takrorlanadi.
Xususiy holatlar: (a²)³=a⁶.
Daraja har bir omilga taqsimlanadi.
Xususiy holatlar: (2x)³=8x³.
Daraja surat va maxrajga alohida qo‘llanadi.
Shart: b≠0
Xususiy holatlar: (3/2)³=27/8.
Daraja xossalarini nol ko‘rsatkichga izchil davom ettiradi.
Shart: a≠0
Xususiy holatlar: 0^0 alohida noaniq/kelishuvga bog‘liq holat.
Manfiy ko‘rsatkich asosning musbat darajali teskarisini bildiradi.
Shart: a≠0
Xususiy holatlar: (a/b)^{-n}=(b/a)^n.
Kasr teskari qilinadi va ko‘rsatkich musbatga aylanadi.
Shart: a≠0,b≠0
Xususiy holatlar: (3/2)^{-1}=2/3.
Daraja va ildiz yozuvlarini bog‘laydi.
Shart: n>0; haqiqiy sonlarda juft n uchun a≥0
Xususiy holatlar: a^{1/2}=√a, a^{1/3}=∛a.
Bir xil asosning bir qiymatli eksponential bog‘lanishidan ko‘rsatkichlar tengligi keladi.
Shart: b>0, b≠1
Xususiy holatlar: 2^{x+1}=2^4 → x=3.
Juft sondagi manfiy omillar musbat ko‘paytma beradi.
Xususiy holatlar: (−3)^4=81.
Toq sondagi manfiy omillar manfiy ko‘paytma beradi.
Xususiy holatlar: (−3)^3=−27.
Bir xil darajali hadlar umumiy ko‘paytuvchi sifatida ajratiladi.
Xususiy holatlar: 4·3^2222 / 3^2223 =4/3.
Eng kichik darajani umumiy ko‘paytuvchi sifatida ajratadi.
Shart: Mos algebraik kontekstda
Xususiy holatlar: 2^100+2^102=2^100(1+4).
Natural $m,n$ uchun $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$. Xossa aniqlanish shartlari bilan butun va ratsional ko‘rsatkichlarga ham kengayadi.
Birinchi darajada m ta, ikkinchisida n ta bir xil a omil bor; ko‘paytirilganda jami m+n ta bo‘ladi.
Berilgan: a^m va a^n, m,n natural.
Isbotlash kerak: a^m·a^n=a^{m+n}.
Demak a^m·a^n=a^{m+n}. ∎
Noldan farqli $a$ va musbat butun $n$ uchun $a^{-n}=\frac1{a^n}$.
Ko‘rsatkichlar ayirilishi xossasini n dan kichik ko‘rsatkichlarga davom ettirsak teskari son tabiiy ravishda paydo bo‘ladi.
Berilgan: $a\ne0$, n>0.
Isbotlash kerak: $a^{-n}=1/a^n$.
$a^{-n}=\frac1{a^n}$. ∎
Mos haqiqiy son shartlarida $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ va $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$.
Agar x=a^{1/n} bo‘lsa, darajaning darajasi x^n=(a^{1/n})^n=a bo‘lishi kerak; bu aynan n-darajali ildiz ta’rifi.
Berilgan: a va n mos haqiqiy aniqlanish shartlarini qanoatlantiradi.
Isbotlash kerak: a^{1/n}=ⁿ√a.
Kasr ko‘rsatkich va ildiz orasidagi bog‘lanish olindi. ∎
💡 Maslahat: Bir xil 2 omili nechta ekanini sanang.
✅ Javob: 2^5
Nega bu usul ishlaydi: Ko‘rsatkich takrorlanayotgan asoslar sonini bildiradi.
⚠️ 2·5=10 deb ko‘paytirish — daraja yozuvining ma’nosini yo‘qotadi.
💡 Maslahat: Har xil asoslarni alohida guruhlang.
✅ Javob: 5^3\cdot7^4
Nega bu usul ishlaydi: Daraja faqat bir xil omillarning takroriy ko‘paytmasini ixchamlashtiradi.
⚠️ 5 va 7 har xil asos bo‘lgani uchun ularni bitta darajaga birlashtirish.
💡 Maslahat: Darajalarni avval hisoblang.
✅ Javob: 89
Nega bu usul ishlaydi: Amallar tartibida daraja qo‘shishdan oldin bajariladi.
⚠️ 2^3+3^4 ni 5^7 deb birlashtirish — bunday xossa yo‘q.
💡 Maslahat: Qavs asos tarkibini o‘zgartiradi.
✅ Javob: 16 va −16
Nega bu usul ishlaydi: Daraja amali qavssiz minusdan oldin bajariladi.
Muqobil usul: $(-2)^4=(-2)(-2)(-2)(-2)$.
⚠️ Qavsni e’tiborsiz qoldirib ikkala ifodani bir xil deb olish.
💡 Maslahat: Darajaning darajasi, so‘ng bo‘lish xossasini qo‘llang.
✅ Javob: 27
Nega bu usul ishlaydi: Bir xil asosli darajalar bo‘linganda ko‘rsatkichlar ayiriladi.
⚠️ (3^2)^4 ni 3^6 deb ko‘rsatkichlarni qo‘shish.
💡 Maslahat: Manfiy darajalarni avval musbat maxrajli kasrga aylantiring.
✅ Javob: 1
Nega bu usul ishlaydi: Manfiy ko‘rsatkich teskari qiymatni beradi; keyin oddiy kasr amallari ishlaydi.
Muqobil usul: 11/18 va 18/11 o‘zaro teskari ekanini ko‘rib darhol 1 olish mumkin.
⚠️ 3^{−2}=−9 deb olish.
💡 Maslahat: Manfiy daraja kasrni teskari qiladi.
✅ Javob: 35/12
Nega bu usul ishlaydi: Kasrning manfiy darajasida surat va maxraj o‘rin almashadi, so‘ng musbat daraja olinadi.
⚠️ Faqat ko‘rsatkich ishorasini o‘zgartirib (2/3)^2 deb qoldirish.
💡 Maslahat: 16 ni 2 asosli daraja sifatida yozing.
✅ Javob: x=3
Nega bu usul ishlaydi: Bir xil asosli eksponential ifodalar bir qiymatli bo‘lgani uchun ko‘rsatkichlar tenglashadi.
Muqobil usul: Qiymatlarni sinab ko‘rish: x=3 →2^4=16.
⚠️ 2x+1=16 deb darajani chiziqli ifodaga aylantirish.
💡 Maslahat: 125=5^3.
✅ Javob: x=3/2
Nega bu usul ishlaydi: Bir xil asosga keltirish ko‘rsatkichlarni tenglashtirish imkonini beradi.
⚠️ 2x=125 deb yozish.
💡 Maslahat: Maxraj 3 — kub ildiz, surat 2 — kvadrat.
✅ Javob: 9
Nega bu usul ishlaydi: Kasr ko‘rsatkich ildiz va darajani birlashtiradi.
Muqobil usul: 27^{2/3}=∛(27²)=∛729=9.
⚠️ 2/3 ko‘rsatkichni 27·2/3 deb talqin qilish.
💡 Maslahat: Nol va manfiy ko‘rsatkichlarni alohida soddalashtiring.
✅ Javob: -210
Nega bu usul ishlaydi: Manfiy daraja teskarilik, nol daraja esa 1 qoidalarini to‘g‘ri qo‘llagach oddiy arifmetika qoladi.
⚠️ 1:6^{−3} ni 1/6^3=1/216 deb olish; aslida 6^{−3}=1/216 ga bo‘linmoqda.
💡 Maslahat: Darajaning darajasida ko‘rsatkichlar ko‘payadi.
✅ Javob: 1/100
Nega bu usul ishlaydi: Darajaning darajasi kasr va manfiy ko‘rsatkichlarda ham mos shartlarda ishlaydi.
⚠️ (−1/4)+(−8) deb ko‘rsatkichlarni qo‘shish.
💡 Maslahat: Har bir omilni kub ko‘rinishiga ajrating.
✅ Javob: \left(-\frac32c^{15}n^4\right)^3
Nega bu usul ishlaydi: Ko‘paytmaning darajasi xossasini teskari yo‘nalishda ishlatamiz.
⚠️ c^{45} ni (c^{42})^3 deb yozish; (c^{15})^3=c^{45}.
💡 Maslahat: Suratda 3^{2222} umumiy ko‘paytuvchini ajrating.
✅ Javob: 4/3
Nega bu usul ishlaydi: Katta darajalarni bevosita hisoblash kerak emas; umumiy darajali omil qisqaradi.
⚠️ 3^{2222}+3^{2222}=3^{4444} deb ko‘rsatkichlarni qo‘shish; bu ko‘paytirish xossasi, qo‘shishga tegishli emas.
💡 Maslahat: Surat va maxrajdan eng kichik umumiy darajalarni ajrating.
✅ Javob: 16/3
Nega bu usul ishlaydi: Umumiy daraja ajratish ulkan sonlarni kichik koeffitsientlarga aylantiradi.
⚠️ Yig‘indidagi ko‘rsatkichlarni bevosita qo‘shish.
❌ $a^m+a^n=a^{m+n}$ deb qo‘shishda ko‘rsatkichlarni qo‘shish.
Ko‘rsatkichlarni qo‘shish xossasi ko‘paytirishga tegishli, qo‘shishga emas.
✅ Faqat bir xil had bo‘lsa koeffitsientlarni qo‘shing yoki umumiy darajani ajrating.
$a^3+a^3=2a^3$, $a^3+a^4=a^3(1+a)$.
❌ $(a^m)^n=a^{m+n}$ deb yozish.
Darajaning darajasida bir xil a omili m·n marta paydo bo‘ladi.
✅ Ko‘rsatkichlarni ko‘paytiring.
$(a^3)^4=a^{12}$.
❌ $a^{-n}=-a^n$ deb olish.
Ko‘rsatkichdagi minus natija ishorasi emas, teskari qiymatni bildiradi.
✅ $a^{-n}=1/a^n$.
$2^{-3}=1/8$.
❌ $a^0=0$ deb o‘ylash.
Noldan farqli asosning nol darajasi 1.
✅ a≠0 bo‘lsa a^0=1.
$15^0=1$.
❌ $(-a)^2=-a^2$ deb qavsni e’tiborsiz qoldirish.
Qavs ichidagi minus asosning bir qismi va juft daraja uni musbat qiladi.
✅ Asos chegarasini qavs bo‘yicha aniqlang.
$(-3)^2=9$, $-3^2=-9$.
❌ $(a+b)^n=a^n+b^n$ deb darajani yig‘indiga taqsimlash.
Ko‘paytmaning darajasi xossasi yig‘indiga tatbiq etilmaydi.
✅ Yig‘indi darajasi uchun ko‘paytirish/formulalardan foydalaning.
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
❌ $a^m/a^n=a^{m/n}$ deb ko‘rsatkichlarni bo‘lish.
Bir xil asosli darajalar bo‘linganda ko‘rsatkichlar ayiriladi.
✅ $a^m/a^n=a^{m-n}$.
$x^7/x^3=x^4$.
❌ $(a/b)^{-n}=a^n/b^n$ deb kasrni teskari qilmaslik.
Manfiy daraja butun asosning teskarisini talab qiladi.
✅ $(a/b)^{-n}=(b/a)^n$.
$(2/3)^{-2}=9/4$.
❌ Kasr ko‘rsatkichda surat va maxraj vazifasini almashtirish.
$a^{m/n}$ da n — ildiz darajasi, m — keyingi daraja.
✅ $a^{m/n}=ⁿ√(a^m)$.
$8^{2/3}=(∛8)^2=4$.
❌ Bir xil asosga keltirmasdan darajali tenglamada ko‘rsatkichlarni tenglashtirish.
$a^u=b^v$ dan u=v faqat asoslar tegishli tarzda bir xil bo‘lganda kelib chiqadi.
✅ Avval tomonlarni bir xil asosga keltiring.
$4^x=2^6 →2^{2x}=2^6 →x=3$.
❌ Katta darajali yig‘indini bevosita kalkulyatsiya qilishga urinish.
Bu keraksiz ulkan sonlar hosil qiladi va xatoni oshiradi.
✅ Eng kichik umumiy darajani ajrating.
$2^{100}+2^{102}=2^{100}(1+4)$.
❌ Manfiy asosning ishorasini ko‘rsatkichdan mustaqil deb olish.
Juft/toq ko‘rsatkich manfiy omillar sonini belgilaydi.
✅ Juft daraja → musbat; toq daraja → manfiy.
$(-2)^4=16$, $(-2)^5=-32$.
Daraja a·n degani.
Yo‘q. a^n natural n uchun a ni o‘ziga n marta ko‘paytirish; masalan 3^4=81, 3·4=12 emas.
Manfiy ko‘rsatkich natijani manfiy qiladi.
Yo‘q. U teskari qiymatni bildiradi: 2^{-2}=1/4 musbat.
0^0 oddiy qoida bilan albatta 1.
a^0=1 xossasi a≠0 sharti bilan beriladi; 0^0 ko‘plab kontekstlarda aniqlanmagan yoki alohida kelishuv talab qiladi.
Har qanday manfiy asosning kasr darajasi haqiqiy son.
Yo‘q. Masalan (−4)^{1/2} haqiqiy son emas, lekin (−8)^{1/3}=−2.
Daraja xossalari qo‘shish va ayirishga ham xuddi ko‘paytirishdek taqsimlanadi.
Yo‘q. $(a+b)^n$ odatda a^n+b^n ga teng emas.
a^m=a^n bo‘lsa har qanday a uchun m=n.
a>0 va a≠1 kabi shartlar kerak; a=1 bo‘lsa barcha darajalar 1, a=0 holatlari ham alohida.
Kasr ko‘rsatkich yangi butunlay alohida amal.
U ildiz va darajaning birlashgan yozuvi: a^{m/n}=ⁿ√(a^m) mos shartlarda.
Katta ko‘rsatkichli sonni soddalashtirish uchun uning qiymatini to‘liq topish kerak.
Ko‘pincha yo‘q. Daraja xossalari va faktorlash ulkan sonlarni hisoblamasdan soddalashtiradi.
Juda katta va juda kichik sonlar 10 ning darajalari orqali ixcham yoziladi; astronomiya va mikroskopik o‘lchovlarda ayniqsa muhim.
Kvadrat yuzi a², kub hajmi a³ kabi formulalar daraja tushunchasining to‘g‘ridan-to‘g‘ri geometrik qo‘llanishidir.
Inverse-square qonunlar, birliklar va o‘lchamlar ko‘pincha musbat/manfiy darajalar bilan yoziladi.
Xotira hajmlari, ikkilik tizim va algoritmik o‘sishda 2^n kabi darajalar muntazam uchraydi.
Murakkab foiz va eksponential o‘sish formulalarida ko‘paytiruvchi bir necha marta darajaga ko‘tariladi.
Bakteriya va hujayralarning ikki baravar ko‘payishi 2^n tipidagi eksponential modellar bilan ifodalanadi.
Birhadlar, ko‘phadlar, ildizlar, logarifmlar va eksponential funksiyalardagi soddalashtirishlarning katta qismi daraja xossalariga tayanadi.
Ko‘rsatkich har safar 1 ga kamayganda qiymat asosga bo‘linadi. Shu ketma-ketlik a⁰=1 va manfiy ko‘rsatkichning teskari son ma’nosini tabiiy ko‘rsatadi.
Cheat sheet: 1) a^n — a asosning n-darajasi; 2) a^m·a^n=a^(m+n); 3) a^m/a^n=a^(m−n), a≠0; 4) (a^m)^n=a^(mn); 5) (ab)^n=a^n b^n; 6) (a/b)^n=a^n/b^n; 7) a^0=1, a≠0; 8) a^(−n)=1/a^n; 9) a^(m/n)=ⁿ√(a^m) mos shartlarda; 10) (−a)^juft — musbat, (−a)^toq — manfiy; 11) −a^2 va (−a)^2 bir xil emas; 12) bir xil asosli darajali tenglamada asoslar teng va mos shartlar bajarilsa ko‘rsatkichlar tenglashtiriladi; 13) katta ko‘rsatkichli yig‘indida eng kichik umumiy darajani ajratish foydali.
Keyingi mavzularda daraja xossalari birhad va ko‘phadlar, qisqa ko‘paytirish formulalari, ildizlar, ko‘rsatkichli tenglamalar va funksiyalarni soddalashtirishning asosiy vositasi bo‘ladi.
Oldin bilishingiz kerak: Natural sonlar va ular ustida amallar, Ratsional sonlar va ular ustida amallar
Bog'liq mavzular: Geometrik shakllar
Keyingi mavzular: O'lchov birliklar. Birhadlar va algebraik ifodalar, Ko'phadlar va ular ustida amallar, Qisqa ko'paytirish formulalari, Arifmetik kvadrat ildiz va uning xossalari, Ratsional ko'rsatkichli daraja va uning xossalari, Ko'rsatkichli tenglama