Nisbat, proporsiya va foiz kundalik hayotdagi eng ko‘p ishlatiladigan matematik tillardan biridir. Chegirma, foyda, narx o‘zgarishi, xarita masshtabi, tezlik-vaqt-masofa, retsept, ishlab chiqarish, aralashma va statistik ko‘rsatkichlarning barchasi bir miqdorning boshqasiga nisbatan qanday o‘zgarishini tushunishga tayanadi. Bu mavzu tenglamalar, funksiyalar, o‘xshashlik, ehtimollar va moliyaviy matematika uchun ham tayanchdir.
$a$ va $b$ miqdorlarning nisbati $a:b$ yoki $a/b$ ko‘rinishida yoziladi, bunda $b\ne0$.
Nisbat bir miqdor ikkinchisiga nisbatan necha marta katta-kichik yoki qanday ulushda ekanini ko‘rsatadi.
Misol: $12:8=3:2$.
Bu emas: $3+2$ nisbat emas.
💡 Nisbatdagi miqdorlar bir xil birlikda bo‘lsa, birliklar qisqaradi.
Ikki nisbatning tengligi: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, bunda $b,d\ne0$.
Ikki xil juftlik bir xil nisbatni bersa, ular proporsiya hosil qiladi.
Misol: $\frac{3}{4}=\frac{15}{20}$.
Bu emas: $\frac{2}{3}=\frac{5}{8}$ proporsiya emas.
💡 Proporsiya “a ning b ga nisbati c ning d ga nisbatiga teng” deb o‘qiladi.
$a:b=c:d$ proporsiyada $a,d$ — chetki, $b,c$ — o‘rta hadlar.
Proporsiyada tashqaridagi ikki son chetki, ichkaridagi ikki son o‘rta had hisoblanadi.
Misol: $3:5=12:20$ da 3 va 20 chetki, 5 va 12 o‘rta hadlar.
Bu emas: Hadlarning joylashuvini o‘zgartirganda proporsiya tengligi avtomatik saqlanmaydi.
💡 Asosiy xossa: chetki hadlar ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng.
$y=kx$ ko‘rinishidagi bog‘lanish, bunda $k$ — o‘zgarmas proporsionallik koeffitsienti.
Bir miqdor necha marta oshsa, ikkinchisi ham shuncha marta oshadi.
Misol: 1 kg olma 12 000 so‘m bo‘lsa, 3 kg 36 000 so‘m.
Bu emas: Tezlik oshganda bir xil masofaga ketadigan vaqt to‘g‘ri emas, teskari proporsional.
💡 To‘g‘ri proporsiyada $y/x=k$ o‘zgarmaydi.
$xy=k$ yoki $y=k/x$ ko‘rinishidagi bog‘lanish.
Bir miqdor necha marta oshsa, ikkinchisi shuncha marta kamayadi.
Misol: Bir xil ishni 4 ishchi 6 kunda, ideal sharoitda 8 ishchi 3 kunda bajaradi.
Bu emas: Narx va sotib olingan son doim teskari proporsional emas, budjet o‘zgarmasa shunday bo‘ladi.
💡 Teskari proporsiyada ko‘paytma $xy$ doimiy.
$1\%=\frac{1}{100}=0.01$. $p\%=p/100$.
Foiz — “har yuztadan nechta” degan nisbat.
Misol: $25\%=25/100=1/4=0.25$.
Bu emas: $25\%=25$ emas.
💡 100% — butun, 200% — butunning ikki baravari, 0,5% — yuzdan yarim.
A sonining $m/n$ qismi $A\cdot m/n$ ga teng.
Butunni kerakli ulushga ko‘paytiramiz.
Misol: $15$ ning $2/3$ qismi $10$.
Bu emas: $15+2/3$ qismni topish emas.
💡 Qism 1 dan katta kasr bilan ham berilishi mumkin; natija butundan katta bo‘ladi.
Boshlang‘ich qiymat $A$, yangi qiymat $B$ bo‘lsa, foizli o‘zgarish $\frac{B-A}{A}\cdot100\%$.
O‘zgarish miqdorini boshlang‘ich qiymatga nisbatan o‘lchaymiz.
Misol: 80 dan 100 ga oshish: 20/80·100%=25%.
Bu emas: 20/100·100%=20% deb yangi qiymatni maxrajga olish noto‘g‘ri.
💡 Foiz o‘zgarishining bazasi har doim boshlang‘ich qiymat.
$1:n$ masshtab xaritadagi 1 birlik haqiqiy hayotda $n$ shu birlikka tengligini bildiradi.
Xaritadagi kichik masofa real masofaning bir xil koeffitsient bilan kichraytirilgan ko‘rinishi.
Misol: $1:100000$ da xaritadagi 1 cm — haqiqatda 100000 cm = 1 km.
Bu emas: $1:100000$ ni 1 cm = 100000 km deb talqin qilish noto‘g‘ri.
💡 Hisobdan oldin xarita va real masofani bir xil birlikka keltiring.
Nisbat kasr kabi surat va maxrajning umumiy bo‘luvchisiga bo‘linib soddalashtiriladi. O‘lchov birliklari turlicha bo‘lsa, avval bir xil birlikka keltiriladi.
$$a:b=\frac{a}{b}$$
12:18=2:3. 2 m : 50 cm ni 200 cm : 50 cm = 4:1 deb olish kerak.
Qismni topishda ko‘paytiramiz; qismi berilganda butunni topishda esa berilgan qiymatni ulushga bo‘lamiz.
$$P=A\cdot f,\quad A=P/f$$
f nol bo‘lmagan kasr yoki ratsional ulush.
Proporsiyaning noma’lum hadini topishda kasrlarni bir xil maxrajga keltirish shart emas; diagonal ko‘paytmalar tengligidan foydalaniladi.
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc$$
Maxrajlar nolga teng emas.
Masalada bir miqdor oshganda ikkinchisining qanday o‘zgarishini tekshiring. Birgalikda bir xil yo‘nalishda va bir xil koeffitsientda o‘zgarsa to‘g‘ri; ko‘paytma saqlansa teskari proporsiya.
$$y=kx$ vs $xy=k$$
Barcha real bog‘lanishlar proporsional emas; shartlarni tekshirish kerak.
Har bir foiz masalasida uchta miqdordan ikkitasi ma’lum: butun (base), qism (amount), foiz. Ular $P/A=p/100$ proporsiya bilan bog‘langan.
$$\frac{P}{A}=\frac{p}{100}$$
A ≠ 0.
Oshish yoki kamayishni bir qadamda ko‘paytiruvchi orqali yozish mumkin. +p% uchun 1+p/100, −p% uchun 1−p/100.
$increase: 1+r; decrease: 1-r$
r foiz emas, o‘nli ulush: 25% → 0.25.
Ikkinchi foiz birinchi o‘zgarishdan keyingi yangi qiymatga qo‘llanadi. Shuning uchun koeffitsientlar ko‘paytiriladi, foizlar esa odatda oddiy qo‘shilmaydi.
$$A_{final}=A_0k_1k_2\cdots$$
Masalan +15%, keyin +20%: 1.15·1.20=1.38, ya’ni +38%.
Yakuniy qiymatdan boshlang‘ich qiymatni topishda yangi qiymatni o‘zgarish koeffitsientiga bo‘lish kerak.
$$A_0=A_{new}/k$$
Masalan +25% dan keyin yangi qiymat 1.25A; qaytish uchun 0.8 ga kamayish kerak, 25% emas.
Masshtab proporsiya masalasi. Eng katta xato km, m va cm ni aralashtirish; barcha masofalar bir xil birlikka o‘tkazilgach nisbat qo‘llanadi.
$$L_{map}/L_{real}=1/n$$
Birliklar mos bo‘lishi shart.
Ikki miqdorni bo‘lish orqali taqqoslaydi.
Shart: b ≠ 0
Xususiy holatlar: Birliklar turlicha bo‘lsa, avval bir xil birlikka keltiring.
Ikki nisbat teng bo‘lsa diagonal ko‘paytmalar teng.
Shart: b ≠ 0, d ≠ 0
Xususiy holatlar: 12:16=18:x → 12x=288 → x=24.
Butunning berilgan kasr qismini beradi.
Shart: n ≠ 0
Xususiy holatlar: A·m ni n ga bo‘lish bilan teng.
Ma’lum qism va ulush orqali butun qiymatni tiklaydi.
Shart: m ≠ 0, n ≠ 0
Xususiy holatlar: 2/3 qismi 18 bo‘lsa A=18·3/2=27.
Foizni kasr yoki o‘nli koeffitsientga aylantiradi.
Xususiy holatlar: 120%=1.2; 0.5%=0.005.
A sonining p foizini hisoblaydi.
Xususiy holatlar: 25% uchun 1/4 dan foydalanish tezroq bo‘lishi mumkin.
Foizli qism orqali asl butunni topadi.
Shart: p ≠ 0
Xususiy holatlar: 5% i 20 bo‘lsa A=20·100/5=400.
Bir qiymat ikkinchisining necha foizi ekanini beradi.
Shart: A ≠ 0
Xususiy holatlar: 30/120·100%=25%.
Foiz o‘zgarishini ko‘paytiruvchi koeffitsient orqali bir qadamda hisoblaydi.
Shart: Kamayishda p < 100 bo‘lsa qiymat musbat qoladi.
Xususiy holatlar: +25% → ×1.25; −20% → ×0.80.
Har bir keyingi foiz yangi qiymatga qo‘llanishini hisobga oladi.
Xususiy holatlar: +15%, so‘ng +20% → 1.15·1.20=1.38.
Yangi qiymatdan boshlang‘ich qiymatni tiklaydi.
Shart: Maxraj 0 bo‘lmasligi kerak.
Xususiy holatlar: 25% oshirilgan qiymatdan asl qiymatga qaytish uchun yangi qiymatni 1.25 ga bo‘ling.
x necha marta o‘zgarsa y ham shuncha marta o‘zgaradi.
Xususiy holatlar: y/x=k.
x necha marta oshsa y shuncha marta kamayadi.
Shart: x ≠ 0
Xususiy holatlar: x1y1=x2y2.
Xarita va real masofa orasidagi proporsiyani beradi.
Shart: Masofalar bir xil birlikda bo‘lishi kerak.
Xususiy holatlar: 1:2 500 000 da 1 cm = 25 km.
Agar $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ va $b,d\ne0$ bo‘lsa, u holda $ad=bc$. Aksincha, $ad=bc$ va $b,d\ne0$ bo‘lsa, ikki nisbat teng.
Ikki kasr teng bo‘lsa, ularni bir xil maxrajga keltirganda suratlar mos keladi; diagonal ko‘paytirish shu fikrning qisqa ko‘rinishi.
Berilgan: $a/b=c/d$, b,d\ne0.
Isbotlash kerak: $ad=bc$ ekanini va teskari yo‘nalishni ko‘rsatish.
Ko‘paytmalar xossasi ikki tomonlama isbotlandi. ∎
Boshlang‘ich qiymat $A_0$ avval $p\%$, keyin $q\%$ o‘zgarsa, yakuniy qiymat $A_0(1\pm p/100)(1\pm q/100)$ ga teng. Umumiy foiz o‘zgarishi koeffitsientlar ko‘paytmasidan topiladi, foizlarning oddiy yig‘indisidan emas.
Ikkinchi foiz boshlang‘ich qiymatga emas, birinchi o‘zgarishdan keyingi yangi qiymatga qo‘llanadi.
Berilgan: Boshlang‘ich qiymat A0; birinchi bosqich koeffitsienti k1, ikkinchi bosqich koeffitsienti k2.
Isbotlash kerak: Yakuniy qiymat A0·k1·k2 bo‘lishini ko‘rsatish.
Foizlarni emas, o‘zgarish koeffitsientlarini ko‘paytirish kerak. ∎
💡 Maslahat: Butunni ulushga ko‘paytiring.
✅ Javob: 10
Nega bu usul ishlaydi: Sonning m/n qismi A·m/n formula bilan topiladi.
Muqobil usul: 2/3=0,666… deb o‘nli ko‘rinishda ham hisoblash mumkin, lekin kasr aniqroq.
⚠️ 15 ni 2/3 ga bo‘lib yuborish — qismni emas, qismidan butunni topish amali.
💡 Maslahat: Bu safar butun noma’lum; 18 ni 2/3 ga bo‘ling.
✅ Javob: 27
Nega bu usul ishlaydi: Qism topish amalining teskarisi bo‘lishdir.
Muqobil usul: Proporsiya: 18/A=2/3 → 2A=54 → A=27.
⚠️ 18·2/3 deb hisoblash butunni emas, 18 ning qismini topadi.
💡 Maslahat: 25%=1/4.
✅ Javob: 90
Nega bu usul ishlaydi: Foiz yuzdan bir nisbat bo‘lgani uchun A·p/100 formula ishlaydi.
Muqobil usul: 360·0,25=90.
⚠️ 25 ni 360 ga qo‘shish yoki 25% ni 25 deb olish.
💡 Maslahat: 20 — butunning 5% qismi.
✅ Javob: 400
Nega bu usul ishlaydi: Foizli qism P=A·p/100, shuning uchun A=P·100/p.
Muqobil usul: Proporsiya: 20/A=5/100 → 5A=2000 → A=400.
⚠️ 20·0,05=1 deb qismni yana kichraytirish.
💡 Maslahat: Qismni butunga bo‘lib 100% ga ko‘paytiring.
✅ Javob: 25%
Nega bu usul ishlaydi: Foiz qismning butunga nisbati ×100% bilan topiladi.
Muqobil usul: 120 ning 25%i 30 ekanini tekshirish mumkin.
⚠️ 30/100 deb olish — foiz maxraji 100 bo‘lsa ham, avval qism/butun nisbatini topish kerak.
💡 Maslahat: Diagonal ko‘paytmalarni tenglashtiring.
✅ Javob: 24
Nega bu usul ishlaydi: Proporsiya xossasiga ko‘ra chetki hadlar ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng.
Muqobil usul: 12:16=3:4, demak 18:x=3:4 → x=24.
⚠️ 12·18=16x deb diagonal juftliklarni noto‘g‘ri tanlash.
💡 Maslahat: 25% ni kasrga aylantiring.
✅ Javob: 7/20
Nega bu usul ishlaydi: Ikkala qism ham aynan butun ishga nisbatan berilgan, shuning uchun ulushlar bevosita qo‘shiladi.
Muqobil usul: 2/5+1/4=8/20+5/20=13/20; qolgan 7/20.
⚠️ 25% ni qolgan ishning 25%i deb talqin qilish — matnda bunday deyilmagan.
💡 Maslahat: Foizlarni qo‘shmang; koeffitsientlarni ko‘paytiring.
✅ Javob: 38%
Nega bu usul ishlaydi: Ikkinchi yilgi 20% 100 ga emas, 115 ga qo‘llanadi.
Muqobil usul: 1,15·1,20=1,38 → +38%.
⚠️ 15%+20%=35% deyish ketma-ket foizlarning bazasi o‘zgarganini e’tiborsiz qoldiradi.
💡 Maslahat: Yangi narx 125% bo‘ldi; kamayish foizining bazasi endi 125.
✅ Javob: 20%
Nega bu usul ishlaydi: Foiz o‘zgarishi har doim o‘sha bosqichdagi boshlang‘ich bazaga nisbatan olinadi.
Muqobil usul: Reverse percent: 100/125=0,8, demak yangi qiymatni 20% kamaytirish kerak.
⚠️ 25% oshgan bo‘lsa 25% kamaytirish qaytaradi deb o‘ylash; 125·0,75=93,75.
💡 Maslahat: Vaqt = masofa / tezlik.
✅ Javob: 50% ga ortadi
Nega bu usul ishlaydi: t=s/v bo‘lgani uchun masofa va tezlikning foiz o‘zgarishlari vaqtga nisbat ko‘rinishida ta’sir qiladi.
Muqobil usul: 100 km va 100 km/soat: vaqt 1 soat; yangi holat 120/80=1,5 soat.
⚠️ 20%−20%=0 deb vaqt o‘zgarmaydi deyish.
💡 Maslahat: Ikkinchi son ikkala nisbatda ham bir xil ulushga ega bo‘lishi kerak.
✅ Javob: 32, 40, 60
Nega bu usul ishlaydi: Ikki nisbat umumiy o‘rta miqdor orqali yagona uchlik nisbatiga birlashtiriladi.
Muqobil usul: b=10k deb olib a=8k,c=15k; 33k=132 → k=4.
⚠️ 4:5 va 2:3 ni to‘g‘ridan-to‘g‘ri 4:5:3 deb birlashtirish.
💡 Maslahat: Avval 360 km ni santimetrga aylantiring yoki 1 cm ga mos real km ni toping.
✅ Javob: 14,4 cm
Nega bu usul ishlaydi: Masshtab bir xil birlikdagi nisbat; 1 cm xarita =25 km real masofa.
Muqobil usul: 360 km=36 000 000 cm; 36 000 000/2 500 000=14,4.
⚠️ 360 ni 2 500 000 ga birliklarni tenglashtirmasdan bo‘lish.
❌ Sonning qismini topishda kasrga bo‘lish.
A ning m/n qismini topish A·m/n orqali bajariladi; bo‘lish esa qismi berilganda butunni tiklash uchun.
✅ Savolda “A ning m/n qismi” bo‘lsa ko‘paytiring; “m/n qismi P ga teng” bo‘lsa P ni m/n ga bo‘ling.
15 ning 2/3 qismi =10; 2/3 qismi 18 bo‘lgan son =27.
❌ Proporsiyada istalgan ikki hadni diagonal deb ko‘paytirish.
Faqat chetki hadlar ko‘paytmasi o‘rta hadlar ko‘paytmasiga teng.
✅ $a:b=c:d$ ni a/b=c/d ko‘rinishda yozib ad=bc ni qo‘llang.
12:16=18:x → 12x=16·18.
❌ 25% ni 25 deb hisoblash.
Foiz yuzdan bir ulush: 25%=25/100=0,25.
✅ Har doim p% ni p/100 ga aylantiring.
360·25%=360·0,25=90.
❌ Ketma-ket foizlarni oddiy qo‘shish.
Har bir keyingi foiz yangi qiymatga qo‘llanadi.
✅ Koeffitsientlarni ko‘paytiring.
+15%, +20% → 1,15·1,20=1,38 → +38%.
❌ Foiz oshish va teskari kamayish bir xil foiz bo‘ladi deb o‘ylash.
Bazalar turlicha: +25% 100 dan 125 ga, qaytish esa 25/125=20%.
✅ Reverse percentda yangi qiymatni koeffitsientga bo‘ling yoki o‘zgarishni yangi baza bilan hisoblang.
+25% dan keyin −20% asl qiymatga qaytaradi.
❌ Foizni topishda yangi qiymatni maxrajga qo‘yish.
Foizli o‘zgarishning bazasi boshlang‘ich qiymatdir.
✅ (yangi−eski)/eski·100% formulasidan foydalaning.
80→100: 20/80=25%, 20/100=20% emas.
❌ Masshtabda km va cm ni bevosita nisbatga qo‘yish.
Masshtab bir xil birlikdagi nisbat.
✅ Avval birliklarni tenglashtiring yoki 1 cm ga mos real masofani toping.
1:2 500 000 → 1 cm=25 km.
❌ To‘g‘ri va teskari proporsiyani nomiga qarab taxmin qilish.
Bog‘lanish shartga bog‘liq. Masalan ishchilar soni va vaqt faqat ish hajmi va unumdorlik doimiy bo‘lsa teskari proporsional.
✅ y/x yoki xy ning doimiyligini tekshiring.
Bir xil masofada tezlik·vaqt=masofa doimiy.
100% dan katta foiz mumkin emas.
Mumkin. 120% =1,2 butun; 500%=5 baravar. Foiz faqat 100 gacha cheklanmaydi.
50% kamayishdan keyin 50% oshish asl qiymatga qaytaradi.
Yo‘q. 100→50→75. Asl 100 ga qaytish uchun 50 dan 100 ga +100% kerak.
Ikki foiz o‘zgarishining jami har doim ularning yig‘indisi.
Faqat maxsus holatlarda; odatda koeffitsientlar ko‘payadi. +10% va +10% → +21%.
Nisbat faqat butun sonlar orasida bo‘ladi.
Nisbat kasr, o‘nli va o‘lchovli miqdorlar orasida ham bo‘lishi mumkin; birliklarni moslashtirish kifoya.
To‘g‘ri proporsiyada y ga doim x qo‘shiladi.
To‘g‘ri proporsiya qo‘shilish emas, doimiy ko‘paytiruvchi bilan bog‘lanish: y=kx.
Masshtab maxraji katta bo‘lsa xaritadagi obyekt kattaroq chiqadi.
Aksincha, 1:n da n kattalashsa bir xil real masofa xaritada kichikroq tasvirlanadi.
Chegirma, ustama, foyda, zarar, soliq, komissiya va narx o‘zgarishi foiz va nisbatlar bilan hisoblanadi.
Masshtab xarita, plan, maket va chizmalarda real o‘lchamlarni kichraytirib yoki kattalashtirib tasvirlashga xizmat qiladi.
Ingredientlar nisbati, eritma konsentratsiyasi va retseptlarni kattalashtirish-kichraytirish proporsiyaga tayanadi.
Ishchilar soni, vaqt va ish hajmi orasidagi to‘g‘ri/teskari proporsiyalar rejalashtirishda ishlatiladi.
Masofa, tezlik va vaqt bog‘lanishlarida proporsional fikrlash hamda foizli o‘zgarishlar qo‘llanadi.
Ulushlar va kategoriyalar taqsimoti ko‘pincha foizlarda beriladi; bu ma’lumotlarni tez taqqoslash imkonini beradi.
Yildan-yilga ishlab chiqarish, savdo yoki auditoriya o‘sishi ketma-ket foiz koeffitsientlari orqali hisoblanadi.
Foiz bir butunni 100 teng ulush deb qarash usulidir. 25% bir butunning choragi — 1/4 — bilan bir xil qiymatni bildiradi.
Cheat sheet: 1) a:b=a/b; 2) a/b=c/d bo‘lsa ad=bc; 3) sonning m/n qismi = A·m/n; 4) m/n qismi B bo‘lgan son = B·n/m; 5) p%=p/100; 6) A ning p%i = A·p/100; 7) B son A ning necha foizi = B/A·100%; 8) p% oshish koeffitsienti 1+p/100, kamayish koeffitsienti 1−p/100; 9) ketma-ket o‘zgarishlar koeffitsientlari ko‘paytiriladi; 10) teskari foizda yangi qiymat tegishli koeffitsientga bo‘linadi; 11) masshtabda xaritadagi va haqiqiy masofa bir xil birlikda bo‘lishi shart.
Keyingi mavzularda nisbat va proporsiya geometriyadagi o‘xshashlik, masshtab va o‘lchovlar, algebraik ifodalar hamda funksional bog‘lanishlarda qayta ishlatiladi.
Oldin bilishingiz kerak: Ratsional sonlar va ular ustida amallar, Oddiy kasrlar va ular ustida amallar
Bog'liq mavzular: O'nli kasrlar, davriy o'nli kasrlar. Haqiqiy sonlar ustida amallar, O'lchov birliklar. Birhadlar va algebraik ifodalar
Keyingi mavzular: Geometrik shakllar